En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de optimización, para ello en primer lugar obtendremos la relación existente entre las variables que intervienen y finalmente la función a optimizar. Hallaremos el valor óptimo de la función que resuelve el problema.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: OPTIMIZACIÓN
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Resolver un problema de optimización.
• Calcular los puntos críticos de una función.
• Estudiar si los puntos críticos de una función son extremos relativos.

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PROBLEMA RESUELTO: OPTIMIZACIÓN
ENUNCIADO
De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las
dimensiones del que tiene área máxima

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En primer lugar realizamos una representación gráfica para tener una visión más concreta del problema:
y
x
10
Por lo tanto utilizando el Teorema de Pitágoras, llegamos a:
𝑥2
+ 𝑦2
= 102

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En primer lugar realizamos una representación gráfica para tener una visión más concreta del problema:
Nos indican que debemos buscar de entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mida 10 unidades el
que tenga mayor área.
El área de este triángulo viene dada por:
𝐴 =
𝑥𝑦
2
y
x
10
Por lo tanto utilizando el Teorema de Pitágoras, llegamos a:
𝑥2
+ 𝑦2
= 102

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Por lo tanto tenemos que:
𝐴 = 𝑥𝑦 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎
𝑥2
+ 𝑦2
= 100
Despejamos de la ecuación la variable “y” y tenemos que:
𝑦 = 100 − 𝑥2
Ahora sustituyo en la expresión del área, y denominamos 𝑓(𝑥) a la expresión resultante:
𝑓 𝑥 = x 100 − 𝑥2
Tenemos que buscar el máximo de esta función, por lo tanto derivamos la expresión:

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𝑓´ 𝑥 = 100 − 𝑥2 + 𝑥
−2𝑥
2 100 − 𝑥2
= 100 − 𝑥2 + 𝑥
−𝑥
100 − 𝑥2
Si realizamos la suma, se tiene que:
𝑓´ 𝑥 =
100 − 𝑥2 − 𝑥2
100 − 𝑥2
=
100 − 2𝑥2
100 − 𝑥2
Para buscar los extremos relativos, igualamos a cero y resolvemos:
100 − 2𝑥2
100 − 𝑥2
= 0 100 − 2𝑥2
= 0 𝑥 = ± 50

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Estudiamos si dichos valores son máximos o mínimos, para ello podemos estudiar si hay cambios en el signo de la
primera derivada o el signo de la segunda derivada en dichos puntos.
Observamos que 𝑥 = − 50 no puede ser solución al problema porque se trata de una cantidad negativa, y
estamos buscando la medida de los lados de un triángulo.
Por lo tanto estudiaremos únicamente si el valor 𝑥 = 50 es un extremo relativo. Lo haremos estudiando el signo
de la segunda derivada.
𝑓´´ 𝑥 =
−4𝑥 100 − 𝑥2 − 100 − 2𝑥2 −2𝑥
2 100 − 𝑥2
100 − 𝑥2
=
−4𝑥 100 − 𝑥2
− 100 − 2𝑥2
𝑥
100 − 𝑥2 100 − 𝑥2
De donde simplificando tenemos.
𝑓´´ 𝑥 =
6𝑥3
− 500𝑥
100 − 𝑥2 100 − 𝑥2

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Si ahora estudiamos el signo de 𝑓´´( 50) tenemos que:
𝑓´´ 50 =
6 50
3
− 500 50
100 − 50
2
100 − 50
2
= −4 < 0
Por lo tanto la función 𝑓(𝑥) alcanza un máximo relativo en 𝑥 = 50. En conclusión tenemos que el triángulo de
área máxima cuya hipotenusa mide 10 unidades es el que sus catetos miden:
𝑥 = 50 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑦 = 100 − 50
2
= 50 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
FIN
50 𝑢
50 𝑢
10𝑢