Este video tutorial explica cómo calcular los extremos de una función de beneficios f(x) de una empresa en función de la inversión x. Se determina que la inversión que maximiza los beneficios es 9000 euros, obteniendo unos beneficios máximos de 300000 euros. También se calcula el valor de f'(7) y se concluye que la función es creciente en ese punto. Finalmente, se determina que para obtener unos beneficios de 138000 euros se requiere una inversión de 18000 euros.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: aplicaciones de las derivadas
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Calcular los extremos relativos de una función.
• Estudiar la derivada de una función.

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PROBLEMA RESUELTO: aplicaciones de las derivadas
ENUNCIADO
La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad
invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por
𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 36𝑥 + 138 𝑥 ≥ 0.
a) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio
óptimo.
b) Calcule 𝑓´(7) e interprete el signo del resultado.
c) Dibuje la función de beneficios 𝑓(𝑥). ¿Para qué valor o valores de la inversión, x, el
beneficio es de 138 mil euros?

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a) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo.
Para determinar la inversión que maximiza el beneficio de la empresa es necesario estudiar los máximos de la
función 𝑓 𝑥 = −2𝑥2
+ 36𝑥 + 138 𝑥 ≥ 0.
Como se trata de una función polinómica, es derivable, de modo que hallamos su derivada y calculamos los
puntos críticos.
𝑓´ 𝑥 = −4𝑥 + 36
Si igualamos a cero y resolvemos tenemos:
−4𝑥 + 36 = 0 𝑥 = 9

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Por tanto la función tiene un único punto crítico en x=9. (Si observamos la función es una parábola que tiene las
ramas hacia abajo, por lo tanto x=9 es un máximo).
Si estudiamos el signo de la derivada se tiene:
Por lo tanto:
𝑓 es creciente en 0,9
𝑓 es decreciente en 9, +∞
𝑓 tiene un máximo relativo en x=9 y vale 9, 𝑓 9 = 9,300
9
Signo f´(x)
𝑓´ 1 = −4 + 36 = 32 > 0 𝑓´ 10 = −40 + 36 = −4 < 0
+ -
0

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Por lo tanto la inversión que maximiza los beneficios es 9000 euros, y los beneficios máximos son 300000 euros.
b) Calcule 𝑓´(7) e interprete el signo del resultado.
Como f(x) es una parábola, podemos representarla fácilmente:

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Tal y como hemos estudiado en el apartado anterior la función es creciente en el intervalo (0,9), por lo tanto es
creciente en x=7, de hecho es estrictamente creciente en x=7, lo cual nos indica que la derivada es positiva, es
decir que la recta tangente en ese punto tiene pendiente positiva y por lo tanto la función beneficio en ese punto
es estrictamente creciente.
𝑓´ 𝑥 = −4𝑥 + 36 𝑓´ 7 = −28 + 36 = 8
c) Dibuje la función de beneficios 𝑓(𝑥). ¿Para qué valor o valores de la inversión, x, el beneficio es de 138 mil
euros?
La gráfica ya la tenemos realizada en el apartado anterior.
Nos piden que hallemos el valor de la inversión para que el beneficio sea de 138 mil euros.

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Para ello basta con resolver la ecuación
𝑓 𝑥 = 138 − 2𝑥2 + 36𝑥 + 138 = 138
Resolviendo llegamos a:
−2𝑥2 + 36𝑥 = 0
𝑥 = 0
𝑥 = 18
Según los cálculos existen dos soluciones. Podemos llegar a tener unos beneficios de 138 mil euros con una
inversión de 18 mil euros o con una inversión de 0 euros, aunque esta última solución hay que descartarla porque
no es lógica aunque si sea solución matemática del problema.
Por lo tanto para llegar a unos beneficios de 138 mil euros es necesaria una inversión de 18 mil euros.
FIN