Este documento explica cómo calcular la función primitiva del producto de dos funciones utilizando la fórmula de integración por partes. La fórmula es ∫udv = uv - ∫vdu, donde u y v son funciones de la variable de integración y dv y du son sus diferenciales. El documento proporciona un ejemplo paso a paso de cómo aplicar esta fórmula para calcular la integral ∫xcosxdx.

1. INTEGRACIÓN POR PARTES.
OBJETIVO: Calcular la función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra
función de la misma variable.
Se basa en la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones:
d(uv) = udv + vdu
Integrando ambos miembros:
∫ d (uv) = ∫ udv + vdu
uv=∫udv + ∫ vdu
Despejando la primera integral:
∫ udv = uv − ∫ vdu
La anterior fórmula se usa para integrar un gran número de integrales no inmediatas, que se
plantean como producto de funciones: algebraicas, logarítmicas y trigonométricas.
Para aplicar la fórmula se procederá de la siguiente manera:
FÓRMULA:
∫ udv = uv − ∫ vdu
INTEGRAR:
∫ x cos xdx
SE DESCOMPONE EL INTEGRANDO EN DOS FUNCIONES “u” y “v”.
DE LA EXPRESIÓN DEL INTEGRANDO QUE SE IGUALA A “u” SE CALCULA SU DIFERENCIAL.
u=x
du= dx

2. LA FUNCIÓN QUE EN APARIENCIA ES MÁS COMPLICADA Y QUE CONTIENE A dx SE IGUALA dv.
dv = cos x dx
PARA OBTENER v SE INTEGRA LA EXPRESIÓN IGUALADA A dv:
∫ dv = ∫ cos xdx
v = senx
LA EXPRESIÓN DEL INTEGRANDO QUE SE IGUALA A “dv” DEBE SER FÁCILMENTE INTEGRABLE.
LOS VALORES OBTENIDOS:
U=x
du = dx
dv= cos x dx
v= sen x
SE SUSTITUYE EN LA FÓRMULA:
∫ udv = uv − ∫ vdu
∫ x cos xdx = xsenx − ∫ senxdx
Integrando :
xsenx − (− cos x) + C
xsenx + cos x + C