Este documento presenta diferentes temas relacionados con expresiones algebraicas y polinomios. Introduce conceptos como expresiones literales, valor numérico de expresiones, división de polinomios usando la regla de Ruffini, teorema del resto y descomposición factorial de polinomios. Incluye ejemplos resueltos de cada tema y objetivos de aprendizaje relacionados con trabajar con expresiones algebraicas y polinomios.
1) El documento explica varios métodos para factorizar polinomios como sacar factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de segundo grado y la regla de Ruffini.
2) Se dan ejemplos detallados de cómo aplicar cada método a diferentes polinomios.
3) A menudo se pueden combinar los métodos, aplicando primero sacar factor común y luego otros métodos a los factores restantes.
Division de polinomios Pre universitarioScarlosAcero
Este documento presenta los objetivos y contenidos sobre la división de polinomios en el nivel preuniversitario de álgebra. Explica los diferentes métodos para dividir polinomios como la división normal, por coeficientes separados, el método de Horner y Ruffini. También define las clases de división, propiedades de grados y casos que se presentan al dividir polinomios. Finalmente, propone una serie de ejercicios para practicar la aplicación de estos conceptos.
El documento proporciona información sobre la división de polinomios. Explica cómo dividir polinomios por monomios y cómo realizar la división entera de polinomios. También describe la regla de Ruffini para dividir un polinomio por (x-a) y los teoremas del resto y del factor. Finalmente, cubre cómo calcular las raíces de un polinomio y factorizar polinomios.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones polinómicas y racionales. Define polinomios y sus operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Luego, introduce las raíces de un polinomio y las ecuaciones polinómicas, así como la divisibilidad y factorización de polinomios, que son útiles para encontrar las raíces de un polinomio.
Método clásico y ruffini ( teorema del resto).Danilo Vargas
Este documento presenta información sobre la división de polinomios utilizando la regla de Ruffini. Explica cómo dividir polinomios de la forma (x-a) en tres pasos. También introduce el teorema del resto, el cual establece que el resto de una división polinómica es igual al valor del polinomio cuando se sustituye la variable por el número divisor. El documento concluye con ejemplos para ilustrar estas ideas.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo realizar operaciones básicas como sumar, restar y multiplicar con ellos. Los objetivos son crear expresiones algebraicas a partir de enunciados, hallar valores numéricos, y clasificar y operar con monomios y polinomios. Incluye ejemplos resueltos de estas operaciones.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo sumar, restar y multiplicar estos conceptos algebraicos. También incluye ejemplos resueltos de operaciones con monomios y polinomios, y objetivos de aprendizaje relacionados con expresiones algebraicas.
Relación de problemas del teorema del restoklorofila
Este documento presenta 16 problemas relacionados con el teorema del resto y la simplificación de fracciones algebraicas. Los problemas involucran calcular valores desconocidos en polinomios para que cumplan ciertas condiciones como ser divisibles por expresiones dadas o tener restos específicos. Las soluciones proporcionan los valores que cumplen las condiciones para cada polinomio.
1) El documento explica varios métodos para factorizar polinomios como sacar factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de segundo grado y la regla de Ruffini.
2) Se dan ejemplos detallados de cómo aplicar cada método a diferentes polinomios.
3) A menudo se pueden combinar los métodos, aplicando primero sacar factor común y luego otros métodos a los factores restantes.
Division de polinomios Pre universitarioScarlosAcero
Este documento presenta los objetivos y contenidos sobre la división de polinomios en el nivel preuniversitario de álgebra. Explica los diferentes métodos para dividir polinomios como la división normal, por coeficientes separados, el método de Horner y Ruffini. También define las clases de división, propiedades de grados y casos que se presentan al dividir polinomios. Finalmente, propone una serie de ejercicios para practicar la aplicación de estos conceptos.
El documento proporciona información sobre la división de polinomios. Explica cómo dividir polinomios por monomios y cómo realizar la división entera de polinomios. También describe la regla de Ruffini para dividir un polinomio por (x-a) y los teoremas del resto y del factor. Finalmente, cubre cómo calcular las raíces de un polinomio y factorizar polinomios.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones polinómicas y racionales. Define polinomios y sus operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Luego, introduce las raíces de un polinomio y las ecuaciones polinómicas, así como la divisibilidad y factorización de polinomios, que son útiles para encontrar las raíces de un polinomio.
Método clásico y ruffini ( teorema del resto).Danilo Vargas
Este documento presenta información sobre la división de polinomios utilizando la regla de Ruffini. Explica cómo dividir polinomios de la forma (x-a) en tres pasos. También introduce el teorema del resto, el cual establece que el resto de una división polinómica es igual al valor del polinomio cuando se sustituye la variable por el número divisor. El documento concluye con ejemplos para ilustrar estas ideas.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo realizar operaciones básicas como sumar, restar y multiplicar con ellos. Los objetivos son crear expresiones algebraicas a partir de enunciados, hallar valores numéricos, y clasificar y operar con monomios y polinomios. Incluye ejemplos resueltos de estas operaciones.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo sumar, restar y multiplicar estos conceptos algebraicos. También incluye ejemplos resueltos de operaciones con monomios y polinomios, y objetivos de aprendizaje relacionados con expresiones algebraicas.
Relación de problemas del teorema del restoklorofila
Este documento presenta 16 problemas relacionados con el teorema del resto y la simplificación de fracciones algebraicas. Los problemas involucran calcular valores desconocidos en polinomios para que cumplan ciertas condiciones como ser divisibles por expresiones dadas o tener restos específicos. Las soluciones proporcionan los valores que cumplen las condiciones para cada polinomio.
Ecuaciones de tercer grado por el metodo de ruffiniTania León
El documento describe el método de Ruffini para descomponer polinomios algebraicos de alto grado en polinomios de grado menor. Explica que este método descompone un polinomio de grado n en un binomio y otro polinomio de grado n-1 al conocer una de sus raíces. Luego ilustra el proceso con un ejemplo de dividir el polinomio x3 + 2x2 + x - 4 entre x - 1 para obtener (x - 1)(x2 + 3x + 4).
Este documento presenta un taller sobre la factorización en matemáticas básicas. Explica cinco casos fundamentales de factorización e ilustra cada uno con ejemplos. El objetivo es familiarizar a los estudiantes con los diferentes métodos de descomponer expresiones matemáticas en factores. Finalmente, concluye que la práctica de ejercicios de factorización ayuda a recordar estas técnicas y mejorar las habilidades matemáticas.
Este documento explica las ecuaciones de tercer grado y el método de Ruffini para resolverlas. Las ecuaciones de tercer grado tienen la forma general ax3 + bx2 + cx + d = 0. El método de Ruffini involucra descomponer un polinomio de grado n en un binomio y otro polinomio de grado n-1 mediante la división. Esto permite encontrar las raíces de la ecuación de tercer grado.
Este documento presenta un resumen de la unidad V de Matemáticas II. Incluye cuatro módulos que tratan sobre los números reales: postulados de orden, números racionales, representación geométrica de los números reales y resolución de inecuaciones. Explica conceptos como campo ordenado, números racionales e irracionales, y representa números en la recta real.
El documento presenta los conceptos y propiedades fundamentales de la división algebraica. Define la división algebraica como la operación que permite obtener un cociente y, opcionalmente, un resto al dividir dos expresiones algebraicas conocidas como dividendo y divisor. Explica la nomenclatura de los grados involucrados y enlista cinco propiedades de la división. Luego, describe los casos básicos de división de monomios y polinomios, incluyendo diferentes métodos como el normal, de coeficientes separados y de Horner. Finalmente, presenta ejemplos ilustr
El documento define los diferentes tipos de ecuaciones polinómicas, incluyendo ecuaciones de primer, segundo, tercer y n-ésimo grado. También describe ecuaciones polinómicas racionales e irracionales, así como ecuaciones no polinómicas como exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
- Un polinomio es una suma de monomios.
- Un polinomio reducido no tiene monomios semejantes. Su grado es el grado del término de mayor grado.
- El valor numérico de un polinomio, para x = a, se obtiene sustituyendo la variable x por a y operando.
Este documento presenta conceptos básicos sobre inecuaciones y desigualdades, incluyendo: definiciones de términos como "menor que", "mayor que", intervalos, propiedades de las desigualdades, resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones de grado mayor que 1 con una incógnita, inecuaciones racionales y sistemas de inecuaciones con una incógnita. Se incluyen ejemplos detallados de resolución de cada tipo de inecuación.
El documento define una expresión algebraica como un conjunto finito de constantes y variables relacionadas por operaciones matemáticas como la suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Explica que los exponentes deben ser racionales y fijos, y clasifica las expresiones algebraica como racionales e irracionales dependiendo de si sus variables tienen exponentes enteros o fraccionarios/radicales. Además, describe los elementos de un término algebraico y cómo realizar operaciones como la suma, resta, multiplicación y división con polinomios.
Este documento presenta información sobre expresiones algebraicas, operaciones con expresiones algebraicas como suma, multiplicación y división de polinomios, identidades notables, fracciones algebraicas, ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones. Explica conceptos como monomios, polinomios, coeficientes, grados, ecuaciones, incógnitas y métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado como sustitución y reducción.
Este documento presenta los diferentes casos de factorización de polinomios, incluyendo: factor común, factor común por agrupación, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, combinación de diferencia de cuadrados con trinomio cuadrado perfecto, trinomio incompleto, trinomio de la forma x^2 + bx + c, trinomio de la forma ax^2 + bx + c, suma y diferencia de potencias impares y suma y diferencia de potencias pares. Explica los pasos para factorizar polinomios en
Este documento presenta instrucciones para evaluar expresiones algebraicas. Explica que se debe conocer el orden de operaciones y los signos de agrupación para sustituir valores de variables y simplificar expresiones. Incluye vocabulario clave como variable y expresión algebraica. Contiene ejemplos y ejercicios de práctica para evaluar expresiones algebraicas.
El documento presenta una guía didáctica sobre la adición, resta, multiplicación y división de polinomios. Explica los conceptos teóricos con ejemplos numéricos y también incluye una autoevaluación para que los estudiantes verifiquen su comprensión.
El documento define una expresión algebraica como un conjunto finito de constantes y variables con exponentes racionales y fijos, relacionados por operaciones matemáticas. Explica que un término algebraico es una expresión cuyas bases no están relacionadas por suma o resta. Además, clasifica los términos en racionales e irracionales dependiendo de si sus variables tienen exponentes enteros o fraccionarios/radicales.
El documento explica conceptos básicos sobre expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado. Introduce las definiciones de expresión algebraica, monomio, igualdad, identidad y ecuación. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y las reglas de la suma y el producto. El objetivo final es enseñar a los estudiantes a encontrar el valor de la incógnita que hace cierta una ecuación de primer grado.
El documento describe conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, variables, monomios, polinomios, operaciones con ellos como suma, resta, multiplicación, división, y valor numérico. Explica que una expresión algebraica combina letras y números usando operaciones y que su valor numérico se obtiene sustituyendo valores.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como el uso de letras para representar números, expresiones algebraicas, el valor numérico de una expresión, ecuaciones y cómo resolver ecuaciones. Explica que una ecuación representa una igualdad entre expresiones algebraicas y que resolver una ecuación significa encontrar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen expresiones algebraicas racionales e irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos que son el producto de un coeficiente y una potencia de la variable.
Este documento trata sobre operaciones con polinomios. Explica cómo sumar y restar polinomios agregando o restando los coeficientes de los términos del mismo grado. También cubre la multiplicación de polinomios multiplicando cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo, y la división de polinomios realizando repetidas sustracciones del dividendo por el divisor multiplicado. Por último, presenta algunas igualdades notables de polinomios.
MéTodo De Ruffini Juan Francisco Bermejoguest4d17af
Este documento explica el método de Ruffini para resolver una división de polinomios P(x) entre Q(x) donde Q(x) = x+a. El método involucra escribir los coeficientes del polinomio dividendo, bajar el primer coeficiente y multiplicarlo por a para sumarlo al siguiente coeficiente, repitiendo este paso hasta terminar con el último número y obtener el resto de la división.
Este documento resume las expresiones algebraicas racionales y raíces de polinomios. Cubre temas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas racionales, simplificación de fracciones complejas, división sintética de polinomios y encontrar raíces racionales de ecuaciones polinomiales de grado 3 o 4. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.
El documento presenta información sobre ecuaciones de primer y segundo grado. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general. También presenta ejemplos de problemas resueltos utilizando este tipo de ecuaciones.
Ecuaciones de tercer grado por el metodo de ruffiniTania León
El documento describe el método de Ruffini para descomponer polinomios algebraicos de alto grado en polinomios de grado menor. Explica que este método descompone un polinomio de grado n en un binomio y otro polinomio de grado n-1 al conocer una de sus raíces. Luego ilustra el proceso con un ejemplo de dividir el polinomio x3 + 2x2 + x - 4 entre x - 1 para obtener (x - 1)(x2 + 3x + 4).
Este documento presenta un taller sobre la factorización en matemáticas básicas. Explica cinco casos fundamentales de factorización e ilustra cada uno con ejemplos. El objetivo es familiarizar a los estudiantes con los diferentes métodos de descomponer expresiones matemáticas en factores. Finalmente, concluye que la práctica de ejercicios de factorización ayuda a recordar estas técnicas y mejorar las habilidades matemáticas.
Este documento explica las ecuaciones de tercer grado y el método de Ruffini para resolverlas. Las ecuaciones de tercer grado tienen la forma general ax3 + bx2 + cx + d = 0. El método de Ruffini involucra descomponer un polinomio de grado n en un binomio y otro polinomio de grado n-1 mediante la división. Esto permite encontrar las raíces de la ecuación de tercer grado.
Este documento presenta un resumen de la unidad V de Matemáticas II. Incluye cuatro módulos que tratan sobre los números reales: postulados de orden, números racionales, representación geométrica de los números reales y resolución de inecuaciones. Explica conceptos como campo ordenado, números racionales e irracionales, y representa números en la recta real.
El documento presenta los conceptos y propiedades fundamentales de la división algebraica. Define la división algebraica como la operación que permite obtener un cociente y, opcionalmente, un resto al dividir dos expresiones algebraicas conocidas como dividendo y divisor. Explica la nomenclatura de los grados involucrados y enlista cinco propiedades de la división. Luego, describe los casos básicos de división de monomios y polinomios, incluyendo diferentes métodos como el normal, de coeficientes separados y de Horner. Finalmente, presenta ejemplos ilustr
El documento define los diferentes tipos de ecuaciones polinómicas, incluyendo ecuaciones de primer, segundo, tercer y n-ésimo grado. También describe ecuaciones polinómicas racionales e irracionales, así como ecuaciones no polinómicas como exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
- Un polinomio es una suma de monomios.
- Un polinomio reducido no tiene monomios semejantes. Su grado es el grado del término de mayor grado.
- El valor numérico de un polinomio, para x = a, se obtiene sustituyendo la variable x por a y operando.
Este documento presenta conceptos básicos sobre inecuaciones y desigualdades, incluyendo: definiciones de términos como "menor que", "mayor que", intervalos, propiedades de las desigualdades, resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones de grado mayor que 1 con una incógnita, inecuaciones racionales y sistemas de inecuaciones con una incógnita. Se incluyen ejemplos detallados de resolución de cada tipo de inecuación.
El documento define una expresión algebraica como un conjunto finito de constantes y variables relacionadas por operaciones matemáticas como la suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Explica que los exponentes deben ser racionales y fijos, y clasifica las expresiones algebraica como racionales e irracionales dependiendo de si sus variables tienen exponentes enteros o fraccionarios/radicales. Además, describe los elementos de un término algebraico y cómo realizar operaciones como la suma, resta, multiplicación y división con polinomios.
Este documento presenta información sobre expresiones algebraicas, operaciones con expresiones algebraicas como suma, multiplicación y división de polinomios, identidades notables, fracciones algebraicas, ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones. Explica conceptos como monomios, polinomios, coeficientes, grados, ecuaciones, incógnitas y métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado como sustitución y reducción.
Este documento presenta los diferentes casos de factorización de polinomios, incluyendo: factor común, factor común por agrupación, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, combinación de diferencia de cuadrados con trinomio cuadrado perfecto, trinomio incompleto, trinomio de la forma x^2 + bx + c, trinomio de la forma ax^2 + bx + c, suma y diferencia de potencias impares y suma y diferencia de potencias pares. Explica los pasos para factorizar polinomios en
Este documento presenta instrucciones para evaluar expresiones algebraicas. Explica que se debe conocer el orden de operaciones y los signos de agrupación para sustituir valores de variables y simplificar expresiones. Incluye vocabulario clave como variable y expresión algebraica. Contiene ejemplos y ejercicios de práctica para evaluar expresiones algebraicas.
El documento presenta una guía didáctica sobre la adición, resta, multiplicación y división de polinomios. Explica los conceptos teóricos con ejemplos numéricos y también incluye una autoevaluación para que los estudiantes verifiquen su comprensión.
El documento define una expresión algebraica como un conjunto finito de constantes y variables con exponentes racionales y fijos, relacionados por operaciones matemáticas. Explica que un término algebraico es una expresión cuyas bases no están relacionadas por suma o resta. Además, clasifica los términos en racionales e irracionales dependiendo de si sus variables tienen exponentes enteros o fraccionarios/radicales.
El documento explica conceptos básicos sobre expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado. Introduce las definiciones de expresión algebraica, monomio, igualdad, identidad y ecuación. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y las reglas de la suma y el producto. El objetivo final es enseñar a los estudiantes a encontrar el valor de la incógnita que hace cierta una ecuación de primer grado.
El documento describe conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, variables, monomios, polinomios, operaciones con ellos como suma, resta, multiplicación, división, y valor numérico. Explica que una expresión algebraica combina letras y números usando operaciones y que su valor numérico se obtiene sustituyendo valores.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como el uso de letras para representar números, expresiones algebraicas, el valor numérico de una expresión, ecuaciones y cómo resolver ecuaciones. Explica que una ecuación representa una igualdad entre expresiones algebraicas y que resolver una ecuación significa encontrar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen expresiones algebraicas racionales e irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos que son el producto de un coeficiente y una potencia de la variable.
Este documento trata sobre operaciones con polinomios. Explica cómo sumar y restar polinomios agregando o restando los coeficientes de los términos del mismo grado. También cubre la multiplicación de polinomios multiplicando cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo, y la división de polinomios realizando repetidas sustracciones del dividendo por el divisor multiplicado. Por último, presenta algunas igualdades notables de polinomios.
MéTodo De Ruffini Juan Francisco Bermejoguest4d17af
Este documento explica el método de Ruffini para resolver una división de polinomios P(x) entre Q(x) donde Q(x) = x+a. El método involucra escribir los coeficientes del polinomio dividendo, bajar el primer coeficiente y multiplicarlo por a para sumarlo al siguiente coeficiente, repitiendo este paso hasta terminar con el último número y obtener el resto de la división.
Este documento resume las expresiones algebraicas racionales y raíces de polinomios. Cubre temas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas racionales, simplificación de fracciones complejas, división sintética de polinomios y encontrar raíces racionales de ecuaciones polinomiales de grado 3 o 4. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.
El documento presenta información sobre ecuaciones de primer y segundo grado. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general. También presenta ejemplos de problemas resueltos utilizando este tipo de ecuaciones.
El documento trata sobre los polinomios y su tratamiento en la enseñanza secundaria. Explica que los polinomios han tenido una presencia variable en los planes de estudio y que existen diferentes enfoques, desde no mencionarlos explícitamente hasta estudiar sus propiedades y operaciones de manera formal. También analiza conceptos como grado, términos, sumas, productos, divisiones, factorización, raíces y valor numérico de polinomios.
El documento describe brevemente la situación de los polinomios en la enseñanza secundaria en España. Explica que los polinomios han estado entrando y saliendo de los planes de estudio y que existen diferentes enfoques, como trabajar con expresiones algebraicas sin definir el concepto de polinomio. También resume algunos conceptos y operaciones básicas con polinomios como suma, resta, producto y división.
Este documento presenta las reglas básicas para realizar operaciones con fracciones algebraicas, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. El objetivo es aplicar estas reglas para simplificar fracciones algebraicas y operar con ellas de manera equivalente. Se proveen ejemplos detallados de cada tipo de operación y los valores que no pueden tomar las variables para que las expresiones sean válidas. El tiempo estimado para completar los ejercicios propuestos es de tres horas.
Este documento explica tres métodos para resolver ecuaciones de segundo grado: 1) por despeje para ecuaciones de la forma ax2 + c = 0, 2) por factorización descomponiendo la ecuación en factores, y 3) usando la fórmula general. Proporciona ejemplos resueltos de cada método y ejercicios para practicar.
Este documento explica tres métodos para resolver ecuaciones de segundo grado: 1) por despeje para ecuaciones de la forma ax2 + c = 0, 2) por factorización descomponiendo la ecuación en factores, y 3) usando la fórmula general. Proporciona ejemplos resueltos de cada método y ejercicios para practicar.
Este documento explica tres métodos para resolver ecuaciones de segundo grado: 1) por despeje para ecuaciones de la forma ax2 + c = 0, 2) por factorización descomponiendo la ecuación en factores, y 3) usando la fórmula general. Proporciona ejemplos resueltos de cada método y ejercicios para practicar.
El documento trata sobre operaciones con polinomios. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios utilizando leyes como la distributiva, exponentes y signos. También cubre factorización de polinomios, cálculo de raíces y resolución de ecuaciones e inecuaciones polinomiales.
El documento presenta los métodos de Horner y Ruffini para dividir polinomios. Explica las propiedades de la división algebraica como el grado del cociente y residuo. Luego, detalla los pasos para aplicar los métodos de Horner y Ruffini a ejemplos numéricos, resolviendo la división de polinomios. Finalmente, propone una serie de ejercicios prácticos sobre división de polinomios para aplicar los conceptos.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones matemáticas. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la suma de términos que son el producto de un coeficiente y una potencia de la variable.
El documento explica diferentes métodos para multiplicar y dividir polinomios, incluyendo multiplicar un número por un polinomio, multiplicar monomios y polinomios completos, dividir polinomios usando el método del cociente y el resto, y aplicar el teorema del resto. También describe diferentes casos de factorización de polinomios como el factor común, cuadrados perfectos, y diferencia de cuadrados.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo realizar operaciones básicas con ellos como sumar, restar y multiplicar monomios y polinomios. Incluye ejemplos resueltos de estas operaciones y objetivos de aprendizaje relacionados con la creación y manipulación de expresiones algebraicas.
El documento describe ecuaciones y fracciones algebraicas. Explica que las ecuaciones algebraicas involucran variables y operaciones racionales como adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Distingue entre ecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Luego resuelve ejemplos numéricos de ecuaciones cúbicas y cuárticas usando descomposición en factores y la regla de Ruffini. Finalmente, cubre conceptos básicos sobre fracciones algebraicas como simplificación, dominio de definición y operaciones como multiplicación y
Este documento explica los pasos para dividir un polinomio entre un binomio utilizando la división sintética y la regla de Ruffini. Primero se describen los 6 pasos de la división sintética, luego se muestran 2 ejemplos resueltos. Luego se explican los pasos de la regla de Ruffini y se da un ejemplo. Finalmente, se explica el teorema del residuo, el cual establece que el residuo de dividir un polinomio entre un binomio es igual al valor de la función en ese punto.
Este documento resume los pasos para resolver diferentes tipos de ecuaciones en una variable, incluyendo ecuaciones polinómicas lineales, cuadráticas, cúbicas y de mayor grado, así como ecuaciones con valor absoluto, raíces y racionales. Explica métodos como factorización, completar el cuadrado y división sintética para resolver cada tipo de ecuación.
Este documento presenta los pasos para resolver diferentes tipos de ecuaciones algebraicas de una variable, incluyendo ecuaciones polinómicas lineales, cuadráticas, cúbicas y de mayor grado, así como ecuaciones con valor absoluto, raíces y racionales. Explica métodos como factorización, uso de fórmulas, división sintética y aislamiento de términos para resolver cada tipo de ecuación.
El documento presenta un trabajo sobre ecuaciones cuadráticas. Explica qué son las ecuaciones cuadráticas, los métodos para resolverlas y provee ejemplos resueltos paso a paso de ecuaciones y inecuaciones cuadráticas.
El documento presenta un trabajo sobre ecuaciones cuadráticas. Explica qué son las ecuaciones cuadráticas, los métodos para resolverlas y provee ejemplos resueltos paso a paso de ecuaciones y inecuaciones cuadráticas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre álgebra como monomios, polinomios, multiplicación, división y factorización de expresiones algebraicas. Explica qué son monomios y polinomios, cómo multiplicarlos y dividirlos. También cubre temas como factor común, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, y trinomio cuadrado perfecto. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto. El objetivo es proporcionar una introducción a estas nociones fundamentales del álgebra.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. MATEMÁTICAS A 61
Antes de empezar
1.Expresiones algebraicas ………………… pág. 64
De expresiones a ecuaciones
Valor numérico
Expresión en coeficientes
2.División de polinomios …………………… pág. 67
División
División con coeficientes
Regla de Ruffini
Teorema del resto
3.Descomposición factorial ……………… pág. 70
Factor común xn
Polinomios de 2º grado
Regla de Ruffini reiterada
Identidades notables
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Objetivos
En esta quincena aprenderás:
• A trabajar con expresiones
literales para la obtención de
valores concretos en fórmulas y
ecuaciones en diferentes
contextos.
• La regla de Ruffini.
• El teorema del resto.
• A reconocer los polinomios con
coeficientes reales irreducibles.
• A factorizar polinomios con
raíces enteras.
Polinomios4
3. MATEMÁTICAS A 63
Antes de empezar
Para dividir x²+4x+3 entre
x+1 tomamos piezas:
una de área x²
cuatro de área x
tres de área 1.
Y formamos con ellas el
rectángulo mayor posible que
tenga de base x+1.
En la figura vemos que
x²+4x+3=(x+1)·(x+3).
Te proponemos un repaso de algunas de las cosas aprendidas en los cursos anteriores:
Expresiones algebraicas Elementos de un polinomio
Producto de polinomios Ecuaciones de segundo grado
Polinomios
4. 64 MATEMÁTICAS A
1. Expresiones algebraicas
Transformar enunciados en expresiones
Son muchas las situaciones en las que se utilizan
expresiones algebraicas, en la derecha se presentan
algunas.
Cuando la expresión algebraica es de estos tipos:
3xy2
; 2x10
; 3/4·x2
·y5
solo con productos de números y potencias de
variables de exponente natural, se denomina
monomio. La suma de varios monomios es un
polinomio.
Valor numérico
Si en una expresión algebraica sustituimos las letras
(variables) por números, lo que tendremos será una
expresión numérica. El resultado de esta expresión es
lo que llamamos valor numérico de la expresión
algebraica para esos valores de las variables.
Observa los ejemplos de la escena de la derecha.
Es importante que tengas en cuenta
la prioridad de las operaciones
1. Potencias
2. Productos y cocientes
3. Sumas y restas
Polinomios. Expresión en coeficientes
Los polinomios son expresiones algebraicas en las que
las partes literales no llevan por exponentes números
negativos o fracciones, los coeficientes pueden llevar
raices y se puede dividir por números, pero en los
polinomios no aparece un literal dividiendo ni dentro
de una raíz.
Es muy conveniente que recuerdes la manera de
expresar un polinomio por sus coeficientes, tal y como
se explica en la escena de la derecha.
No olvides poner un cero en el coeficiente cuando en
el polinomio falta la potencia de un grado, así en
2x3
+x+5 escribimos 2 0 1 5.
A golpe de vista y sin pasos intermedios debes saber
ver la expresión en coeficientes de un polinomio.
Con la calculadora
Puedes utilizar la calculadora para
hallar el valor numérico de un
polinomio. Recuerda que para realizar
la potencia 74
se utiliza la tecla xy
,
7 xy
4= 2041
Polinomios
5. MATEMÁTICAS A 65
EJERCICIOS resueltos
1. Halla las expresiones algebraicas asociadas a cada imagen
Área del
rectángulo
x
y
Longitud del segmento
marrón Qué polinomio expresa
la media aritmética de
dos números x, y
El triple de un número
menos cinco
La suma de los
cuadrados de dos
números
La diagonal de un
cuadrado de lado x
La diagonal de un
rectángulo de base x y
altura y
Soluciones
x·y
Polinomio de grado 2 y
dos variables
x3
Monomio de grado 3
x-2y
Polinomio de grado1
Dos variables
0,5x+0,5y
Polinomio de grado1
Dos variables
3x-5
Polinomio de grado 1
Una variable
x2
+y2
2 x⋅
2 2
x y+
2. Escoge la expresión algebraica en cada caso
1 El triple de un
número más seis
2 La quinta parte
de un nº más 10.
3 Un cuarto de la
suma un nº más 7.
4 La semisuma de
dos números.
5 La mitad del producto
de 2 n0 s
.
6 La raíz cuadrada
de la suma de 2
cuadrados.
7 El 40% de un
número.
.
8 El cuadrado de la
suma de 2
números.
9 El cuadrado de la
semisuma de 2
números.
10 La media aritmética
de tres números
Soluciones: 1 B; 2 A; 3 A; 4 B; 5 A; 6 D; 7 A; 8 A; 9 C; 10 C.
Polinomios
6. 66 MATEMÁTICAS A
EJERCICIOS resueltos
3. Halla los valores numéricos indicados en cada caso.
4. Valor numérico en -3
5. Valor numético en 0.1
6.
Solución: grado 3. Solución: grado 4.
Coeficientes: 1 0 4 -2 Coeficientes: 1 -2 -1 -2 0
Polinomios
7. MATEMÁTICAS A 67
2. División de polinomios
División
Para realizar la división se dividen los monomios de
mayor grado, se multiplica y se cambia de signo, y
se suma. Este proceso se repite hasta obtener un
resto de grado menor que el del divisor.
La división de polinomios debe cumplir estas dos
condiciones:
El grado del cociente es la diferencia de los grados del
Dividendo y del divisor. Cuando el resto es cero, se
dice que el dividendo es divisible entre el divisor.
División por coeficientes
A continuación se ve una division de polinomios con la
expresión en coeficientes, algunas veces puede ser
conveniente este método o simplemente será cuestión
de preferencias elegir un método u otro.
Dividendo=divisor·cociente+resto
gr(resto)<gr(divisor)
Polinomios
8. 68 MATEMÁTICAS A
Regla de Ruffini
La regla de Ruffini es útil para dividir polinomios entre
x-a.
En el ejemplo de la derecha se divide 3x3
-5x2
+1 entre
x-2, obteniendo de cociente 3x2
+x+2 y de resto 5.
La regla explicada para a=2, vale también cuando a
es un número racional o real, en el siguiente ejemplo
se toma a=-3/2 y representa la división de
4x2
+5x+2 entre x+3/2
4 5 2
-3/2 -6 3/2
4 -1 7/2 resto
cociente
4x-1
Teorema del resto
Al dividir un polinomio P(x) por (x-a) el resto es
siempre de grado cero y se obtiene un cociente C(x)
que verifica:
P(x)=(x-a)·C(x)+resto
Si sustituimos ahora la x por a,
P(a) = (a-a)· C(a) + resto
En la igualdad anterior (a-a)=0, por tanto,
valor numérido de P en a = resto
Este resultado se conoce como teorema del resto
Así el valor numérico P(x) en a será cero cuando P(x)
sea divisible por (x-a), es decir, el resto de P(x) entre
x-a es cero, en este caso decimos que a es raíz del
polinomio P(x).
Recuerda
El teorema se puede aplicar para calcular algunos
valores numéricos.
También se utiliza nos para resolver problemas como
el siguiente, hallar m para que el polinomio
P(x)=x3
+mx-4
sea divisible por x-2, que se resuelve sustituyendo la
x por 2, igualando a 0 y despejando m, así m=-2.
Observa la división y como se realiza la
Regla de Ruffini paso a paso
Se vuelve a multiplicar y a sumar
obteniendo
a es raíz de P(x) P(x)=(x-a)·C(x) P(a)=0
Con la calculadora
Para calcular el valor numérico de un
polinomio con la calculadora, valor de
P(x)= 3x3
-5x2
+1 en x=2
Podemos aplicar la regla de Ruffini,
para ello teclea la siguiente
secuencia:
2M in x 3 → 3
-5 = → 1
x MR + 0= → 2
x MR + 1 =5
Obtenemos: 5 que es el resto de
dividir P(x) para x-2 y el valor
numérico en x=2.
De paso han ido saliendo los
coeficientes del cociente cada vez
que se pulsaba =.
Polinomios
9. MATEMÁTICAS A 69
EJERCICIOS resueltos
7. Halla el cociente y el resto de la división de P(x) entre Q(x) en cada caso
a) P(x)=3x2
-11x-13 Q(x)=x2
-3x-4 b) P(x)=-9x3
-15x2
+8x+16 Q(x)=3x+4
Sol. Cociente=3 Resto=-2x-1 Sol. Cociente= -3x2
-x+4 Resto=0
8. Aplica la regla de Ruffini para dividir P(x)=x3
+5x2
-2x+1, Q(x)=2x4
-5 y
R(x)=x3
-4x+3x2
entre x-3
1 5 -2 1 2 0 0 0 -5 1 3 -4 0
3) 3 24 66 3) 6 18 54 162 3) 3 18 42
1 8 22 67 2 6 18 54 157 1 6 14 42
Cociente x2
+8x+22 Cociente 2x3
+6x2
+18x+54 Cociente x2
+6x+14
Resto 67 Resto 157 Resto 42
9. Aplica la regla de Ruffini para dividir P(x)=x3
+3x2
-2x+1, Q(x)=x4
-2 y
R(x)=x3
-4x2
-x entre x+1
1 3 -2 1 1 0 0 0 -2 1 -4 -1 0
-1) -1 -2 4 -1) -1 1 -1 1 -1) -1 5 -4
1 2 -4 5 1 -1 1 -1 -1 1 -5 4 -4
Cociente x2
+2x-4 Cociente x3
-x2
+x-1 Cociente x2
-5x+4
Resto 5 Resto -1 Resto -4
10. Si el valor numérico de un polinomio en 2 es igual a 3 y el cociente de su división de
entre x-2 es x ¿Sabes de que polinomio se trata?
Dividendo = divisor·cociente +resto, el divisor es x-2, el cociente x y el resto 3, por
tanto el polinomio es x2
-2x+3
11. Halla m para que mx2
+2x-3 sea divisible entre x+1
El polinomio será divisible entre x+1 si su valor en -1 es 0, luego ha de ser
m-2-3=0, es decir, m=5
12. Aplica el Terorema del resto y la regla de Ruffini para hallar el valor numérico de
P(x)=x3
-15x2
+24x-3 en x=13
Aplicando la regla de Ruffini por x-13 da de resto –29, que es el valor numérico
pedido.
13. ¿Existe algún valor de m para que el polinomio x3
+mx2
-2mx+5 sea divisible por
x-2?
Por el teorema del resto basta resolver la ecuación 23
+m·22
-2m·2+5=0, lo que da
una igualdad imposible 13=0, por tanto no hay ningún valor de m para el cual el
polinomio sea divisible por x-2
Polinomios
10. 70 MATEMÁTICAS A
3. Descomposición factorial
Sacar factor común una potencia de x
Al descomponer un polinomio en factores lo primero
que tendremos que observar es si se puede sacar
factor común de todos los sumandos alguna potencia
de x.
Esto será posible solo cuando el coeficiente de grado
cero del polinomio sea nulo.
En la parte inferior puedes practicar esta extracción.
Tambien es interesante que busques, si es posible el
m.c.d. de los coeficientes y lo extraigas como factor
así en
6x5
+15x2
se puede sacar factor común 3x2
,
6x5
+15x2
=3x2
(2x3
+5)
Polinomios de 2º grado
Recuerda la fórmula para resolver la ecuación de 2º
grado ax2
+ bx + c=0:
A b2
-4ac se le llama discriminante de la ecuación y se
suele designar por Δ.
Esto determina la descomposición factorial de los
polinomios de 2º grado:
Las soluciones de 2x2
-8x+6 =0 son 1 y 3, luego
2x2
-8x+6 = 2·(x-1)·(x-3), discriminante positivo.
Las soluciones de 3x2
+6x+3 =0 son 1 y 1, luego
3x2
+6x+3=(x-1)2, Δ =0.
Las soluciones de 2x2
+6 = 0 no son reales,
b2
-4ac es negativo, 2x2
+6 no descompone.
Polinomios
11. MATEMÁTICAS A 71
Regla de Ruffini reiterada
Si x-a es un divisor del polinomio P(x), se dice que a
es raíz de P(x), por el teorema del resto sabemos
que esto equivale a decir que P(a)=0.
P(x)=pnxn
+pn-1xn-1
+...+p1x+p0 y a raíz de P(x),
pnan
+pn-1an-1
+...+p1a+p0=0,
y despejando p0
p0=-pnan
-pn-1an-1
-...-p1a
Por tanto, si los coeficientes de P(x) son números
enteros y a también, p0 es múltiplo de a.
La descomposición de un polinomio de tercer grado
con raíces 4, 1 y -2 será a·(x-4)·(x-1)·(x+2).
Se llama multiplicidad de una raíz al número de
veces que aparece en la descomposición.
Identidades notables
Suma al cuadrado
(a+b)2
=a2
+2·a·b+b2
Demostración
a b
x a b
ab b2
a2
ab
a2
+2ab+ b2
La suma al cuadrado es
igual a
cuadrado del 10
+doble del 10
por el 20
+cuadrado del 20
Diferencia al cuadrado
(a-b)2
=a2
-2·a·b+b2
Demostración
a -b
x a -b
-ab b2
a2
-ab
a2
-2ab+ b2
La diferencia al cuadrado
es igual a
cuadrado del 10
+doble del 10
por el 20
+cuadrado del 20
Suma por diferencia
(a+b)· (a-b)= a2
- b2
La suma por diferencia
es igual a la diferencia
de cuadrados.
Demostración
a b
x a -b
-ab -b2
a2
ab
a2
-b2
Descomposición factorial de
x4
-15x2
+10x+24
Las posibles raíces racionales de este
polinomio son los divisores de 24
Con la regla de Ruffini vamos viendo qué
divisores son raíces
1 0 -15 10 24
-1) -1 1 14 -24
_______________________
1 -1 -14 24 0
2) 2 2 -24
_______________________
1 1 -12 0
3) 3 12
_______________________
1 4 0
x4
-15x2
+10x+24=
(x+1)·(x-2)·(x-3)·(x+4)
Las raíces enteras no nulas de un polinomio
con coeficientes enteros, son divisores del
coeficiente de menor grado del polinomio.
Polinomios
12. 72 MATEMÁTICAS A
EJERCICIOS resueltos
14. Saca factor común una potencia de x en cada uno de los siguientes polinomios:
P(x)=2x3
+3x Q(x)= x4
+2x6
-3x5
R(x)=2x6
+6x5
+8x3
Solución: P(x)=x·(2x2
+3) Q(x)=x4
·(2x2
-3x+1) R(x)=2x3
·(x3
+3x2
+4), en
este último caso se ha podido sacar factor común también un número.
15. Halla la descomposición factorial de x3
-7x2
+4x+12
Las posibles raíces racionales de este polinomio son los divisores de 12
1 2 3 4 6 12± ± ± ± ± ±
Con la regla de Ruffini miramos que divisores son raíces del polinomio
1 -7 4 12
-1) -1 8 -12
________________
1 -8 12 0
2) 2 -12
________________
1 -6 0
x3
-7x2
+4x+12=(x+1)·(x-2)·(x-6)
16. Factoriza 2x2
-8x+6; -x2
+3x+4; x2
+2x+3; x2
+6x+9.
2x2
-8x+6=2·(x-1)·(x-3) pues 2x2
-8x+6=0 tiene por soluciones x=1; x=3.
-x2
+3x+4=-(x+1)·(x-4) pues -x2
+3x+4=0 tiene por soluciones x=-1; x=4.
x2
+2x+3 no descompone pues su discriminante es <0
x2
+6x+9=(x+3)2
pues su discriminante es 0, luego tiene una raíz doble: x=-3.
17. Halla la descomposición factorial de x7
-x6
-4x4
x7
-x6
-4x4
=x4
·(x3
-x2
-4). Se ha sacado factor común x4
.
Las posibles raíces enteras de x3
-x2
-4 son los divisores de -4:
1,-1, 2,-2, 4,-4
.
Veamos por la Regla de
Ruffini si 1 es raíz de P
1 -1 0 -4
1) 1 0 0
________________
1 0 0 -4 ≠ 0,
1 no es raíz de P
Veamos por la Regla de
Ruffini si -1 es raíz de P
1 -1 0 -4
-1) -1 2 -2
________________
1 -2 2 -6 ≠ 0
-1 no es raíz de P
Veamos por la Regla de
Ruffini si 2 es raíz de P
1 -1 0 -4
2) 2 2 4
_______________
1 1 2 0
2 es raíz de P
1 1 2 = x2
+x+2 La ecuación x2
+x+2=0 no tiene soluciones reales,
por tanto es primo
x7
-x6
-4x4
=x4
·(x-2)·(x2
+x+2)
Polinomios
13. MATEMÁTICAS A 73
EJERCICIOS resueltos
18. Halla la descomposición factorial de x4
-4
Busquemos las raíces racionales de x4
-4. Las posibles raíces en Q son los
cocientes de los divisores de -4 (coeficiente de menor grado) entre los divisores
de 1 (coeficiente de mayor grado),
Es fácil ver con la
regla de Ruffini que
ninguno de los
posibles valores
son raíces de x4
-4.
El polinomio no
tiene raíces
racionales.
Si se reconoce x4
-4 como una diferencia de cuadrados, (x2
)2
-
22
resultará fácil la descomposición factorial:
x4
-4=(x2
+2)·(x2
-2)
El primer factor es primo, pero el segundo vuelve a ser una
diferencia de cuadrados x2
-2=(x 2) (x 2)+ ⋅ −
.
x4
-4=(x2
+2)· (x 2) (x 2)+ ⋅ −
19. Halla la descomposición factorial de x4
+x3
-x2
-2x-2
Las posibles raíces enteras de x4
+x3
-x2
-2x-2 son los divisores de -2:
1,-1, 2,-2
Veamos por la Regla de Ruffini si 1 es
raíz de P
1 -1 -1 -2 -2
1) 1 0 -1 -3
_____________________
1 0 -1 -3 -5 distinto de 0,
1 no es raíz de P
Veamos por la Regla de Ruffini si -1 es
raíz de P
1 -1 -1 -2 -2
-1) -1 2 -1 3
_____________________
1 -2 1 -3 1 distinto de 0,
-1 no es raíz de P
Veamos por la Regla de Ruffini si 2 es
raíz de P
1 -1 -1 -2 -2
2) 2 2 2 0
___________________
1 1 1 0 -2 distinto de 0,
2 no es raíz de P
Veamos por la Regla de Ruffini si 1 es
raíz de P
1 -1 -1 -2 -2
-2) -2 6 -10 24
_____________________
1 -3 5 -12 22 distinto de 0,
-2 no es raíz de P
x4
+x3
-x2
-2x-2 No tiene raíces enteras
No podemos hallar la descomposición factorial de este polinomio.
Polinomios
14. 74 MATEMÁTICAS A
1. Halla la expresión algebraica de un
número de tres cifras si la cifra de las
unidades es 4 veces la cifra de las
decenas.
2. ¿Cuál es esl grado de 2x5
-x3
+3x2
? ¿Su
coeficiente de grado 3? ¿y el de grado 2?
Calcula su valor numérico en x=2
3. Halla P(x)-3·Q(x) siendo P(x)=4x2
+4x
y Q(x)=6x2
+2x.
4. Multiplica los polinomios
P(x)=-3x3
+4x2
-x-2 y Q(x)=-x2
+7.
5. Halla el cociente y el resto de la
división de x3
+2x2
+5x-7 entre
–x2
+x-1.
6. Haz la división de x3
+4x2
+2x-3 entre
x-2 con la regla de Ruffini.
7. Aplica el teorema del resto para
calcular el resto de la división de
2x3
-2x2
+x-7 entre x-5.
8. a) Halla m para que x3
+mx2
-2mx+6
sea divisible por x+2
b) Halla m para que x3
+mx2
-8mx+4
sea divisible por x-1.
9. Efectúa las potencias
a) (3x+2)2
b) (2x-4)2
c) (x-5)2
10. Descomponer, aplicando las
identidades notables, los polinomio:
a) x4
-72x2
+362
b) x4
-16
11. Descomponer los siguientes
polinomios, si es posible, aplicando la
ecuación de segundo grado.
a) 3x2
-10x+3
b) x2
-4x+5
12. Simplifica las siguientes fracciones
algebraicas
a)
2
x 8x 16
3x 12
+ +
+
b)
2
2
3x 12
x 4x 4
−
− +
c)
2
2
4x 4x 1
12x 3
+ +
−
13. Saca factor común en 12x12
+24x10
14. Halla la descomposición en factores
primos de los siguientes polinomios
a) 3x8
-39x7
+162x6
-216x5
b) 3x9
+12x8
+15x7
+6x6
15. Un polinomio de grado 3 tiene por
raíces –5, 7 y 1. Halla su
descomposición factorial sabiendo
que su valor en 2 es 128.
16. ¿Cómo realizas mentalmente el
cálculo de 232
-222
?
Para practicar
Polinomios
15. MATEMÁTICAS A 75
Para saber más
Pide a un compañero que memorice una figura del último cuadro pero que no diga cuál. Tu por telepatía la
adivinarás. Pregúntale si la figura escogida está en cada una de las siguientes tarjetas
SI = 1 NO = 0 NO = 0 SI = 1 NO = 0
Con cada respuesta afirmativa escribe 1, con la negativa un 0, para el resultado 10010, la figura es la
1·24
+1·2=18, el círculo verde. Solo hay que calcular el valor en 2 del polinomio cuyos coeficientes se obtienen con
1 o 0, con Sí o No.
Los polinomios en otras ciencias
Si investigas en la web, es probable que encuentres muchos polinomios con nombre propio: Polinomios de
Lagrange, Hermite, Newton, Chevichev... copiamos aquí un extracto de un blog que habla de los polinomios
de Zernike y su aplicación en óptica para corregir defectos visuales.
...Las matemáticas, con los polinomios de
Zernike, nos ofrecen un método para
descomponer superfices complejas en sus
componentes más simples. Así, con este
procedimiento matemático podemos
jerarquizar y definir todas las
aberraciones visuales. Un esquema que
está presente con mucha frecuencia en las
consultas de cirugía refractiva es el de las
diferentes aberraciones agrupadas y
jerarquizadas:
Lo de la jerarquía es fundamental, porque
según cuál sea el grupo de la aberración,
tendrá más o menos importancia, será más
o menos fácil de corregir, etc. Por ejemplo,
el número 4 corresponde a la miopía (y su
inverso, la hipermetropía), y el 3 y 5
corresponden al astigmatismo...
Extracto de la página
http://ocularis.es/blog/?p=29
Polinomios
16. 76 MATEMÁTICAS A
Recuerda
lo más importante
Expresión en coeficientes
Regla de Ruffini. Teorema del resto
El resto de la división por
x-a es el valor numérico del dividendo en a
División de Polinomios
Raíces de un polinomio
Polinomios
P(2)=0 P(-2)=0
17. MATEMÁTICAS A 77
Autoevaluación
1. Halla los coeficientes de P(x)·Q(x)+ P(x)·R(x) siendo
P(x)=3x+2, Q(x)=2x2
-5 y R(x)=x2
+8x.
2. Escribe los coeficientes del cociente y del resto en la
división de 2x3
-5x2
+5 entre x2
+5.
3. Calcula el valor numérico de –3x3
-5x2
+3 en x=-1
4. ¿Es cierta la igualdad 2x2
+20x+25=(2x+5)2
?
5. Calcula m para que el resto de la división de 4x2
+mx+1
entre x+5 sea 2.
6. Si P(x)=ax2
+bx+5 y a·62
+b·6=3, ¿cuál es el resto de la
división de P(x) entre x-6?
7. Halla una raíz entera del polinomio x3
+5x2
+8x+16
8. Halla la descomposición factorial de –4x2
+12x+112.
9. El polinomio 5x3
+9x2
-26x-24 tiene por raíces 2 y –3 ¿Cuál
es la otra raíz?
10. Las raíces de un polinomio de grado 3 son –6, 0 y 4.
Calcula el valor numérico del polinomio en 2 sabiendo que
su coeficiente de mayor grado es 3.
Polinomios
18. 78 MATEMÁTICAS A
Soluciones de los ejercicios para practicar
1. 100x+14y
2. grado 5; c. gr 3 -1; c. gr 2 3;
v.n. en 2 68
3. –14x2
-2x
4. 3x5
-4x4
-20x3
+30x2
-7x-14
5. Cociente -x-3 Resto 7x-10
6. Cociente x²+6x+14 Resto 25
7. -33
8. a) 1/4 b) 5/7
9. a) (3x+2)2
=9x²+12x+4
b) (2x-4)²=4x²-16x+16
c) (x-5)²=x²-10x+25
10. a) (x+6)² (x-6)²
b) (x+4)(x-2)(x²+4)
11. a) 3(x-1/3)(x-3)
b) No descompone
12. a) (x+4)/3
b) 3(x+2)/(x-2)
c) (2x+1)/(3·(2x-1))
13. 12x10
·(x²+2)
14. a) 3x5
(x-3)(x-4)(x-6)
b) 3x6
(x+2)(x+1)²
15. 2(x+5)(x-7)(x-1)
16. 23²-22²=(23+22)·(23-22)=45
No olvides enviar las actividades al tutor
Polinomios
Soluciones
AUTOEVALUACIÓN
1. 9 30 1 -10
2. Cociente 2x-5, resto –10x+30
3. 1
4. No, (2x+5)2
=4x2
+20x+25
5. m=19,8
6. 8
7. –4
8. –4(x+4)·(x-7)
9. –0,8
10. -96