El documento describe brevemente la situación de los polinomios en la enseñanza secundaria en España. Explica que los polinomios han estado entrando y saliendo de los planes de estudio y que existen diferentes enfoques, como trabajar con expresiones algebraicas sin definir el concepto de polinomio. También resume algunos conceptos y operaciones básicas con polinomios como suma, resta, producto y división.

1. Polinomios Maria José Morralla Nicolau Darío Rozalén Badal

2. POLINOMIOS Situación de los polinomios en la enseñanza secundaria ALGEBRA (Iniciación) ARITMÉTICA GEOMETRIA Fórmulas Interpretación geométrica Funciones Igualdades notables Operaciones básicas Factorización Ruffini Valor numérico Teorema del resto Teorema del factor Raíces Teorema fundamental del álgebra Resolución de ecuaciones Gráficas Expresiones racionales

3. Diapositiva oculta: Comentario del grafico Los polinomios es un tema que ha estado entrando y saliendo de los currículos oficiales de la enseñanza secundaria cada vez que estos se modificaban. Además con la E.S.O. y la distinción de itinerarios encontramos vertientes distintas. Así, hay una rama en la educación en la que no se nombran los polinomios, sino que a partir de una generalización de la aritmética los alumnos trabajan con expresiones algebraicas pero sin llegar al concepto de polinomio, simplemente para resolver ecuaciones.Hay alumnos que no oyen hablar de polinomios, pero si de funciones polinómicas en cursos superiores. De los que si que estudian polinomios hay quién no da el algoritmo de Ruffini y factorizan polinomios sacando factor común y probando con todos los divisores del término independiente. También hay que recalcar que en la mayor parte de los casos no se trabaja con expresiones racionales en la E.S.O. En un libro de tercero de Bachillerato (13 años) de 1958 hay una gran variedad de problemas de simplificación de este tipo de expresiones. Notemos que en el grafico no se han relacionado los conceptos de gráfica, raíz y resolución de ecuaciones cuando todos sabemos que los puntos de corte, las raíces y las soluciones de las ecuaciones son lo mismo en contextos distintos y distintas maneras de representar lo mismo. Línea roja (con polinomios) Línea azul (sin polinomios) Línea violeta matemáticas de humanidades. Libros consultados:Editorial SM, titulo 2º ESO numeros, aritmos, 3º ESO algorisme 2000 , 4º ESO sigma, Gauss y editorial Santillana.

4. ¿Qué es un polinomio? -Pues una suma de monomios. ¿Y qué es un monomio? ¿Son monomios las siguientes expresiones? A= πr 2 πr 2 4x 5 P (x) =4x 5 x x y f(x)=4x 3xy 2 abcd 3x 2 = 27 a n x n k z r f

5. Definición e interpretación geométrica Definición: Un polinomio es una suma de monomios. Un monomio es una expresión algebraica en la que solo aparece la multiplicación por un numero y la potenciación natural de números generalizados. Ejemplos: monomios polinomios Se llama grado del polinomio al mayor exponente de la x Se llama termino independiente al sumando sin x Interpretación geométrica: 1 1 1 x 1 1 x x 1 x x x

6. Notas sobre la interpretación geométrica: Solo podemos dibujar figuras geométricas de hasta 3 dimensiones, por tanto la interpretación geométrica se reduce a los polinomios de grado menor que 4. ¿Representamos de la misma manera polinomios de distintos grados? NO Un polinomio de grado 3 necesita 3 dimensiones pero uno de 2 no, aunque siempre podamos darle profundidad 1. Así, el siguiente polinomio lo podemos representar de varias maneras distintas según nos convenga: P (x) = 2x 2 + x + 2 Y el polinomio 2x + 1: O O O O O x x x 1 1 1 x 1

7. Operaciones básicas con polinomios Suma y resta: Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para sumar P ( x ) = 2x 3 +2x 2 +3x+4 con Q ( x ) = x 3 + 2 x 2 + x + 3 se procede así: P ( x ) + Q ( x ) = (2x 3 +2x 2 +3x+4) + (x 3 + 2x 2 + x + 3) = (2+1)x 3 + (2+2)x 2 + (3+1)x + (4+3) P ( x ) + Q ( x ) = 3x 3 + 4x 2 + 4x + 7 Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro). Se llama diferencia de dos polinomios, P (x) – Q (x) , al resultado de sumarle a P (x) el opuesto de Q (x) . Interpretación geométrica de la suma: P (x) + Q (x) P (x) + Q (x) Texto:Página web de Silvia Sokolovsky

8. Producto: Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes. Por ejemplo: P (x) =2x + 3 , Q (x) =x 2 + 3x + 2 P (x) Q (x) = (2x + 3)(x 2 + 3x + 2) = 2x 3 + 6x 2 + 4x +3x 2 + 9x + 6 = 2x 3 + 9x 2 + 13x + 6 Interpretación geométrica: P (x) Q (x) P (x) Q (x) Texto:Página web de Silvia Sokolovsky

10. División de polinomios: División entera: Sean dos polinomios P (x) (dividendo) y Q (x) (divisor) tales que el grado del primero (N) es mayor que el del segundo (M) y P (x) múltiplo de Q (x) , buscamos el polinomio C (x) (cociente) tal que P (x) =Q (x) C (x) , con grado N-M. Interpretación geométrica: Si tenemos el siguiente polinomio y lo queremos dividir por este otro, notemos que estamos buscando la “altura” que hay que darle al segundo para obtener el primero, así, obtendremos éste

11. División no entera: Dados dos polinomios P ( x ) (dividendo) y Q ( x ) (divisor) de modo que el grado de P ( x ) sea mayor que el grado de Q ( x ) y Q ( x )  0 siempre hallaremos dos polinomios C ( x ) (cociente) y R ( x ) (resto) tal que: P ( x ) = Q ( x ) . C ( x ) + R ( x ) El grado de C ( x ) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el grado de R ( x ) será, como máximo, un grado menor que Q. Texto:Página web de Silvia Sokolovsky Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo siguiente, con P ( x ) = 5 x 3 + 7 x 2 - 3 y Q ( x ) = x 2 + 2 x - 1: 5 x 3 + 7 x 2 - 3 | x 2 + 2 x - 1 -5 x 3 -10 x 2 +5 x 5 x – 3 / -3 x 2 + 5 x – 3 3 x 2 + 6 x – 3 / 11 x – 6 El cociente es C ( x ) = 5 x – 3, y el resto, R ( x ) = 11 x – 6. La descripción del proceso es la siguiente: El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5 x 3 : x 2 = 5 x . Se multiplica 5 x por el divisor y el resultado se resta del dividendo. Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo. El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.

12. Valor numérico: E s el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar, luego, las operaciones indicadas. Ejemplo: sea P ( x ) = x 2 + 3 x – 4 hallar P (2)  P (2) = 2 2 + 3.2 – 4  P (2) = 4 + 6 – 4  P (2) = 6 Texto:Página web de Silvia Sokolovsky Raíces: Un número a es una raíz del polinomio P (x) si el valor numérico de P (x) para x=a es cero. Ejemplo: a=1 es raiz de P (x) = x 2 + 3 x – 4 , porque P (1) =1 + 3 - 4 = 0 Factorizar: Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios, no constantes, de manera que su producto sea el polinomio dado. Nos interesa factorizar los polinomios en binomios del tipo x – a. Para ello resulta muy útil la regla de Ruffini, que veremos a continuación. Ejemplos: (x-1),(x+1) son factores del polinomio x 2 -1. Es decir podemos factorizar x 2 -1 en el producto de los otros dos: x 2 -1 = (x-1)(x+1) O también: 2x 3 +4x 2 -2x-4 = (x 2 -1)(2x+4)

13. Paolo RUFFINI (1765 - 1822) : Matemático y médico italiano, nacido en Roma, d esarrollando toda su actividad en Módena, donde murió. Dedicó muchos años al estudio del problema de demostrar la imposibilidad de encontrar una expresión con radicales que resuelva una ecuación de quinto grado (problema que ocupó a generaciones de matemáticos), consiguiendo resolverlo, al igual que el matemático Niels H. Abel. Lo demostró, aunque deficientemente. El teorema sobre la imposibilidad de encontrar una fórmula para resolver las ecuaciones de quinto grado fue enunciado por primera vez por Ruffini en el libro Teoria generale delle equazioni , publicado en Bolonia en 1798. La demostración de Ruffini fue, sin embargo, incompleta. Esta formulación, denominada teorema Abel-Ruffini, fue demostrada definitivamente por el matemático noruego Niels Henrik Abel. Es muy conocida su regla para la división de un polinomio en x por el binomio x - a.

14. Regla de Ruffini VS Algoritmo de la división: Sea el polinomio generalizado P (x) =a n x n + ... + a 1 x + a 0 , vamos a dividirlo por el binomio x – α , con α real. Regla de Ruffini: Algoritmo de la división: Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0. Se "baja" el primer coeficiente del dividendo. Se multiplica α por el coeficiente bajado y se c oloca el resultado debajo del segundo coeficiente (el signo de α será positivo si el divisor es del tipo (x- α ) y negativo si el divisor es del tipo (x+ α ). Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior. Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes. Planteamos la división a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0 | x – α El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: a n x n : x = a n x n-1 a n x n-1 Se multiplica a n x n-1 por el divisor -a n x n + α a n x n-1 El resultado se resta del dividendo / (a n-1 + α a n )x n-1 + ... + a 1 x + a 0 +(a n-1 + α a n )x n-2 +... = C R (x) = a n α n + a n-1 α n-1 + ... + a 1 α + a 0 Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo. El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor. C = a n x n-1 +(a n-1 + α a n )x n-2 + ... + (a n α n-1 + a n-1 α n-2 + ... + a 2 α + a 1 ) C = b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b 0

15. Teorema del resto: El resto de dividir un polinomio P (x) por x – α es igual al valor numérico del polinomio en x = α Demostración de los algoritmos de la pagina anterior, tenemos: R (x) = a n α n + a n-1 α n-1 + ... + a 1 α + a 0 que es exactamente el polinomio evaluado en α. Otra demostración como el cociente es x – α (grado 1), sabemos que el resto será de grado 0, es decir, un número. Sabemos también que P ( x ) = Q (x) . (x - α ) + R . Entonces si en esa ecuación hacemos x = α, nos queda: P ( α ) = Q ( α ) . ( α - α ) + R  P ( α ) = Q ( α ) . 0 + R  P ( α ) = R El resto es igual al valor del polinomio en α . Teorema del factor: Un polinomio P (x) tiene como factor x – α si el valor numérico del polinomio en x = α es cero. Demostración P ( α ) = 0  Por el teorema del resto la división es exacta  x – α es factor.

16. Propiedad: Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Ejemplo: Para factorizar x 3 – 7x +6 utilizando la regla de Ruffini probaremos con todos los divisores del termino independiente. 6 es divisible por: 1,-1,2,-2,3,-3,6 y –6 Veamos que no todos son raíces, pero que todas las raíces enteras son de ese grupo. Demostración Si α es raiz de P (x) , el resto R (x) = a n α n + a n-1 α n-1 + ... + a 1 α + a 0 = 0   a 0 = - (a n α n + a n-1 α n-1 + ... + a 1 α) = - α (a n α n-1 + a n-1 α n-2 + ... + a 1 )   - (a n α n-1 + a n-1 α n-2 + ... + a 1 ) donde a i y α son enteros   α divide de forma entera a a 0 12 -6 -1 1 6 1 -1 -1 6 -7 0 1 0 -6 1 1 -6 1 1 1 6 -7 0 1

17. 12 -3 -2 1 6 4 -2 -2 6 -7 0 1 0 -3 2 1 -6 4 2 2 6 -7 0 1 0 2 -3 1 -6 9 -3 -3 6 -7 0 1 12 2 3 1 6 9 3 3 6 -7 0 1 -168 29 -6 1 -174 36 -6 -6 6 -7 0 1 180 29 6 1 174 36 6 6 6 -7 0 1

18. El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente: Todo polinomio de grado n , con coeficientes complejos , tiene exactamente n raíces, no for z o s amente distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad. Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo ) X 3 - 2X 2 - 4X + 8 = (X-2) 2 (X+2) tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces. En otras palabras, todo P(X) = a n X n +a n-1 X n-1 + ... + a 1 X + a 0 se puede factorizar completamente, así : a n (X – z 0 ) (X – z 1 ) ... (X – z n ) , con los z i complejos, y a n ≠ 0. Teorema fundamental del álgebra: Para los reales el teorema se queda en: Todo polinomio de grado n , con coeficientes reales, se podrá factorizar en a lo sumo n factores.