Este documento presenta varios ejercicios de álgebra que involucran operaciones con polinomios como sacar factor común, desarrollar cuadrados, dividir usando la regla de Ruffini, calcular raíces de polinomios, y determinar si un polinomio es divisible por otro usando el teorema del resto. Se proveen soluciones detalladas a cada uno de los ejercicios planteados.

1. Solución a los ejercicios de polinomios Ejercicios del 1 al 10

2. Saca factor común en las siguientes expresiones I

3. Saca factor común en las siguientes expresiones II

4. Desarrolla los siguientes cuadrados

5. Calculad y simplificad Importante: cuando se desarrollan estas expresiones algebraicas tened cuidado con la operación resta, pues hay que modificar el signo de cada sumando del denominador

6. Realizad mediante la regla de Ruffini las siguientes divisiones I Importante: cuando se aplica la regla de Ruffini hay que poner un cero por cada término del polinomio que falte. 1/3 73/81 73/81 0 -1142/243 73/27 -8/9 -8/3 1 73/243 -8/27 -8/9 1/3 -5 3 0 -3 1

7. Realizad mediante la regla de Ruffini las siguientes divisiones II Importante: aunque la regla de Ruffini únicamente se puede aplicar al dividir por un polinomio del tipo x-a . Lo que hemos hecho en esta ocasión es dividir por el coeficiente que acompaña a x a ambos polinomios, de tal forma que no varía la expresión y podemos aplicar la regla de Ruffini. -1/2 -99/32 13/32 -7/2 -13/16 13/8 -9/4 5/2 -13/16 9/8 -5/4 0 1/2 -1 5/2

8. Realizad mediante la regla de Ruffini las siguientes divisiones III 2/3 152/81 62/81 10/3 31/27 20/9 -2/3 -1 40/27 -4/9 -2/3 -1/3 8/3 0 -1

9. Probad que… I Este ejercicio se puede hacer de dos formas distintas: La primera es aplicar la regla de Ruffini y comprobar que la división por x – a proporciona el polinomio del miembro izquierdo de la expresión. La segunda consiste en desarrollar el producto y simplificar la expresión resultante a 0 Resto a 2 a 1 a 3 a 2 a -a 3 0 0 1

10. Probad que… II -a 0 a 2 -a 1 -a 3 a 2 -a a 3 0 0 1 -a 3 -a 3 0 -a 0 a 2 -a 1 a 4 a 2 -a -a 4 0 0 1

11. El polinomio P(x) es de grado 2; el resto de dividirlo entre x + 1 es -3; da de resto 12 si se divide entre x – 2 y es múltiplo de x + 2. Hallar P(x) y sus raices. I Como el polinomio es de grado 2 tiene la forma ax 2 + bx + c . Como sabemos que es un múltiplo de x + 2 , este polinomio divide al polinomio anterior, es decir, el resto de dividirlo es 0 . Por tanto, utilizando el teorema del resto podemos poner: Utilizando de nuevo el teorema del resto para x + 1 y x – 2 y sus correspondientes restos, podemos poner: Por tanto, disponemos de un sistema lineal de tres ecuaciones, con tres incógnitas que resolveremos a continuación para calcular a, b y c .

12. El polinomio P(x) es de grado 2; el resto de dividirlo entre x + 1 es -3; da de resto 12 si se divide entre x – 2 y es múltiplo de x + 2. Hallar P(x) y sus raices. II Hemos resuelto este sistema mediante el método de reducción. Multiplicamos por 4 la segunda ecuación, que sustituimos por su suma con la primera ecuación. Multiplicamos por -1 la tercera ecuación, sumamos con la primera y sustituimos por la tercera ecuación. Resultando la tercera ecuación con una única incógnita que resolvemos.

13. El polinomio P(x) es de grado 2; el resto de dividirlo entre x + 1 es -3; da de resto 12 si se divide entre x – 2 y es múltiplo de x + 2. Hallar P(x) y sus raices. II Falta calcular las raíces de este polinomio, para ello resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta de igualar el polinomio a 0. Podríamos también, utilizar el método de Ruffini, pues sabemos que una de sus raíces es -2 ( x+2 es múltiplo del polinomio).

14. Halla las raíces de los siguientes polinomios I Hemos sacado factor común en el polinomio de grado 3 puesto que no dispone de término independiente, posteriormente hemos resuelto la ecuación de segundo grado para calcular los valores que anulan el polinomio.

15. Halla las raíces de los siguientes polinomios II Las raíces de un polinomio son los valores que lo anulan, por lo que resolvemos la ecuación de segundo grado para calcular los valores

16. Halla las raíces de los siguientes polinomios III Aprovechamos que la variable x se encuentra en todos los términos del polinomio, para factorizar parcialmente el polinomio y obtener la primera raíz 0 . Posteriormente calculamos los valores que anulan el polinomio de segundo grado para calcular las otras dos raíces que son 6 y 3 .

17. Halla el valor k del polinomio sabiendo que x=4 es una raíz del mismo. Halla la otra raíz. Como 4 es una raíz, anula el polinomio, al realizar la sustitución queda una ecuación con una incógnita que despejamos. Para calcular la otra raíz podemos resolver la ecuación de segundo grado que resulta de igualar a 0 el polinomio una vez sustituido el valor de k . Otro método sería utilizar la regla de Ruffini. Utilizaremos este método. Por tanto, la otra raíz es -6 4 0 6 1 24 4 -24 2 1

18. Halla el valor k del polinomio sabiendo que x=3 es una raíz del mismo. Halla la otra raíz. Calculamos el valor de k igualando a 0 el resultado de sustituir la raíz en el polinomio, pues ese valor debe anularlo. Una vez obtenido k procedemos a resolver la ecuación de segundo grado para calcular la otra raíz. Por tanto, la otra raíz es 7. Importante : si una de las soluciones no hubiera sido 3 habría un problema en la solución de este problema

19. Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones I 16 14 2 -2 -33 -7 2 1 -32 -4 -2 -1 -3 4 1

20. Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones II 84 78 6 26 30 -4 3 244 10 3 1 252 9 3 -8 1 0 1

21. Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones III 0 -64 64 16 16 0 -4 -4 -4 1 16 -4 -20 0 1

22. Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones IV 14 14 0 7 8 -1 2 33 4 2 1 28 4 2 5 0 0 2

23. -34 -39 5 -13 -12 -1 3 -4 -3 1 -9 3 5 -6 1

24. Aplicando el teorema del resto indica si … es divisible por es divisible por es divisible por