Este documento presenta los objetivos y contenidos sobre la división de polinomios en el nivel preuniversitario de álgebra. Explica los diferentes métodos para dividir polinomios como la división normal, por coeficientes separados, el método de Horner y Ruffini. También define las clases de división, propiedades de grados y casos que se presentan al dividir polinomios. Finalmente, propone una serie de ejercicios para practicar la aplicación de estos conceptos.
Este documento presenta varios problemas de álgebra que involucran exponentes, polinomios, productos notables y división de polinomios. El documento contiene 28 problemas con sus respectivas opciones de respuesta para que los estudiantes las resuelvan como parte de un seminario de álgebra.
El documento describe las sucesiones numéricas, incluyendo su definición, ejemplos de sucesiones notables como los números naturales y cuadrados, y tipos de sucesiones como las aritméticas, cuadráticas y geométricas. Explica cómo calcular el término general y la suma de los términos para cada tipo de sucesión.
1. El documento presenta 47 problemas matemáticos relacionados con polinomios. Los problemas abarcan temas como calcular el grado de polinomios, determinar si polinomios son homogéneos o completos, hallar valores de variables en polinomios, y realizar operaciones con polinomios como sumas y sustituciones.
2. Los problemas van desde determinar el grado de un polinomio dado hasta operaciones más complejas como hallar el valor de expresiones algebraicas dadas ciertas condiciones sobre polinomios.
3. El
Este documento trata sobre la factorización de expresiones algebraicas. La factorización consiste en transformar una expresión algebraica en un producto de factores primos. Explica diferentes métodos para factorizar como el factor común, las identidades algebraicas, el método del aspa simple y doble. También define conceptos clave como factores primos, factores compuestos y ceros de un polinomio.
Este documento presenta 17 ejercicios de matemática sobre exponentes y raíces. El autor es el Lic. Leonardo E. Ticona Laqui, quien mantiene un blog de matemática. Los ejercicios incluyen operaciones con exponentes, raíces y variables. Al final se incluyen algunas preguntas de práctica adicionales para que los estudiantes continúen practicando en casa.
Este documento presenta la información sobre una sesión de taller de laboratorio de matemáticas en el IE PNP Martín Esquicha Bernedo. La sesión se centra en la geometría y medición, en particular en ángulos en posición normal. El taller analiza cómo determinar el cuadrante donde se ubica un ángulo dado sus coordenadas cartesianas y calcular las seis razones trigonométricas del ángulo. Los estudiantes practican este concepto resolviendo varios ejercicios numéricos.
Este documento presenta una lista de triángulos rectángulos notables y sus relaciones entre los catetos y la hipotenusa. Se proporcionan ejemplos numéricos de triángulos rectángulos con valores dados para uno de los catetos o la hipotenusa, y se pide calcular el otro lado. El documento contiene tablas con más de 20 triángulos rectángulos notables y sus relaciones.
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios de problemas resueltos utilizando el método de la falsa suposición o regla del rombo. Este método se aplica cuando en un problema participan elementos divididos en dos grupos con valores unitarios conocidos que suman un valor total dado. El documento explica cómo ubicar la información en un diagrama de rombo para calcular el número de elementos de un grupo. Luego, proporciona una serie de ejercicios para que el lector practique este método.
Este documento presenta varios problemas de álgebra que involucran exponentes, polinomios, productos notables y división de polinomios. El documento contiene 28 problemas con sus respectivas opciones de respuesta para que los estudiantes las resuelvan como parte de un seminario de álgebra.
El documento describe las sucesiones numéricas, incluyendo su definición, ejemplos de sucesiones notables como los números naturales y cuadrados, y tipos de sucesiones como las aritméticas, cuadráticas y geométricas. Explica cómo calcular el término general y la suma de los términos para cada tipo de sucesión.
1. El documento presenta 47 problemas matemáticos relacionados con polinomios. Los problemas abarcan temas como calcular el grado de polinomios, determinar si polinomios son homogéneos o completos, hallar valores de variables en polinomios, y realizar operaciones con polinomios como sumas y sustituciones.
2. Los problemas van desde determinar el grado de un polinomio dado hasta operaciones más complejas como hallar el valor de expresiones algebraicas dadas ciertas condiciones sobre polinomios.
3. El
Este documento trata sobre la factorización de expresiones algebraicas. La factorización consiste en transformar una expresión algebraica en un producto de factores primos. Explica diferentes métodos para factorizar como el factor común, las identidades algebraicas, el método del aspa simple y doble. También define conceptos clave como factores primos, factores compuestos y ceros de un polinomio.
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Este documento presenta la información sobre una sesión de taller de laboratorio de matemáticas en el IE PNP Martín Esquicha Bernedo. La sesión se centra en la geometría y medición, en particular en ángulos en posición normal. El taller analiza cómo determinar el cuadrante donde se ubica un ángulo dado sus coordenadas cartesianas y calcular las seis razones trigonométricas del ángulo. Los estudiantes practican este concepto resolviendo varios ejercicios numéricos.
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Este documento contiene 20 preguntas de matemáticas con opciones de respuesta. Las preguntas incluyen temas como números enteros, polinomios, fracciones, sistemas de ecuaciones, divisibilidad, MCM, MCD y otros. El objetivo es calcular valores numéricos o identificar la opción correcta para cada pregunta.
Este documento presenta 20 problemas de álgebra que involucran conceptos como polinomios, grados de monomios y polinomios, identidades polinómicas y propiedades de polinomios como ser homogéneo y ordenado. Los problemas deben resolverse calculando valores numéricos de variables como "n" o expresando relaciones polinómicas.
Este documento contiene un resumen de 10 problemas de geometría analítica resueltos. Los problemas incluyen hallar ecuaciones de rectas, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, encontrar puntos de intersección y distancias entre puntos y rectas. El profesor Erick Vásquez Llanos corrige los ejercicios de un alumno en la asignatura de matemáticas.
Este documento presenta una serie de ejercicios de razonamiento matemático que involucran hallar el siguiente número en una sucesión numérica o identificar patrones en sucesiones. Contiene 27 ejercicios que van desde hallar el siguiente número en una progresión aritmética o geométrica hasta identificar el término faltante o siguiente en una sucesión dada.
Este documento presenta varios ejemplos de problemas de movimiento rectilíneo uniforme, incluyendo tiempo de encuentro, tiempo de alcance y velocidad. Explica conceptos como distancia, velocidad y tiempo, y cómo calcularlos cuando dos objetos se mueven en la misma o direcciones opuestas. También incluye 23 ejercicios de práctica sobre estos temas.
El documento presenta la estructura de un curso dividido en 10 semanas. Cada semana contiene una sección de teoría y ejercicios de diferentes años (2020, 2019, 2018). Los números que aparecen indican las páginas correspondientes a cada sección y semana.
1) El documento explica cómo factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c usando el método del aspa simple. 2) Este método involucra descomponer los términos ax2 y c en factores que, al multiplicarlos, vuelvan a dar los términos originales y colocarlos en una aspa. 3) Luego se comprueba si la suma de los productos de los factores en la aspa es igual al término del medio bx para poder factorizar el trinomio.
El documento describe diferentes operaciones matemáticas y sus símbolos. Define operadores como símbolos que representan operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación y división. Presenta ejemplos de operaciones no estándar definidas por reglas o leyes particulares y resuelve ejercicios aplicando dichas definiciones y reglas.
La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial. Muchos países experimentaron fuertes caídas en el PIB y aumentos en el desempleo debido a los cierres. Ahora, a medida que se levantan las restricciones, la recuperación económica será gradual a medida que los consumidores y las empresas se readaptan a la nueva normalidad.
1. El documento presenta fórmulas para transformar expresiones trigonométricas de suma o diferencia a producto y viceversa. Incluye ejemplos como transformar Sen6x + Sen2x a 2Sen4x • Cos2x.
2. Se explican identidades para transformar expresiones como SenA + SenB, CosA + CosB, SenA - SenB, etc. a formas de producto.
3. El documento concluye con problemas aplicativos que involucran usar las transformaciones presentadas.
1. Se describe el movimiento de dos esferas A y B lanzadas simultáneamente sobre un piso.
2. Se calcula la distancia recorrida por cada esfera en función del tiempo usando la ley de Kepler para MRU.
3. Se aplica la ley de cosenos para determinar que la distancia de separación entre las trayectorias es de 2 m y que la esfera A recorre 10 m hasta el instante en que se cruza con B.
1) El documento presenta una serie de ejercicios matemáticos que involucran operaciones con exponentes, fracciones, raíces y expresiones algebraicas. 2) Los ejercicios incluyen simplificar expresiones, calcular valores, reducir términos y efectuar operaciones. 3) El documento proporciona las instrucciones y datos necesarios para resolver cada uno de los doce ejercicios presentados.
Este documento presenta 10 situaciones problemáticas relacionadas con sumas y términos interpolados de progresiones aritméticas. Propone estrategias como usar fórmulas de progresiones aritméticas y gráficas para resolver los problemas planteados. El objetivo es desarrollar habilidades matemáticas como modelar situaciones reales usando interpolación aritmética.
El documento describe los criterios de congruencia de triángulos, incluyendo la definición de congruencia y los postulados y teoremas fundamentales relacionados con la congruencia de lados y ángulos. Presenta ejemplos para ilustrar los conceptos y proporciona problemas resueltos y propuestos relacionados con la determinación de medidas desconocidas en triángulos congruentes.
El documento presenta fórmulas y valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. También incluye fórmulas para ángulos negativos. A continuación, propone 25 ejercicios para calcular valores utilizando estas funciones y fórmulas.
Este documento contiene 20 problemas de adición, sustracción y otros conceptos matemáticos. Cada problema viene acompañado de su resolución. Los problemas incluyen hallar valores desconocidos, efectuar operaciones, determinar patrones numéricos y calcular sumas. El documento proporciona las respuestas correctas a cada uno de los 20 problemas planteados.
Problemas selectos de Razonamiento Matemático PAMER ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento presenta información sobre el ordenamiento y razonamiento matemático. Explica tres tipos de ordenamiento: lineal, circular y por relación de datos. Luego, introduce el concepto de sucesiones matemáticas, incluyendo sucesiones gráficas, literales y numéricas. Finalmente, describe propiedades de las sucesiones lineales o progresiones aritméticas.
Este documento presenta 20 proyectos o ejercicios de matemáticas para un examen bimestral de segundo año de secundaria. Cada proyecto contiene un problema matemático con su solución correspondiente. El examen evalúa conceptos como operaciones con polinomios, ecuaciones y expresiones algebraicas.
Este documento presenta diferentes temas relacionados con expresiones algebraicas y polinomios. Introduce conceptos como expresiones literales, valor numérico de expresiones, división de polinomios usando la regla de Ruffini, teorema del resto y descomposición factorial de polinomios. Incluye ejemplos resueltos de cada tema y objetivos de aprendizaje relacionados con trabajar con expresiones algebraicas y polinomios.
Este documento presenta las leyes de exponentes y conceptos relacionados con exponentes como potencias, radicación y ecuaciones exponenciales. Incluye definiciones, teoremas y propiedades de exponentes, así como ejemplos y problemas resueltos sobre operaciones con exponentes.
Este documento contiene 20 preguntas de matemáticas con opciones de respuesta. Las preguntas incluyen temas como números enteros, polinomios, fracciones, sistemas de ecuaciones, divisibilidad, MCM, MCD y otros. El objetivo es calcular valores numéricos o identificar la opción correcta para cada pregunta.
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Este documento contiene un resumen de 10 problemas de geometría analítica resueltos. Los problemas incluyen hallar ecuaciones de rectas, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, encontrar puntos de intersección y distancias entre puntos y rectas. El profesor Erick Vásquez Llanos corrige los ejercicios de un alumno en la asignatura de matemáticas.
Este documento presenta una serie de ejercicios de razonamiento matemático que involucran hallar el siguiente número en una sucesión numérica o identificar patrones en sucesiones. Contiene 27 ejercicios que van desde hallar el siguiente número en una progresión aritmética o geométrica hasta identificar el término faltante o siguiente en una sucesión dada.
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El documento presenta la estructura de un curso dividido en 10 semanas. Cada semana contiene una sección de teoría y ejercicios de diferentes años (2020, 2019, 2018). Los números que aparecen indican las páginas correspondientes a cada sección y semana.
1) El documento explica cómo factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c usando el método del aspa simple. 2) Este método involucra descomponer los términos ax2 y c en factores que, al multiplicarlos, vuelvan a dar los términos originales y colocarlos en una aspa. 3) Luego se comprueba si la suma de los productos de los factores en la aspa es igual al término del medio bx para poder factorizar el trinomio.
El documento describe diferentes operaciones matemáticas y sus símbolos. Define operadores como símbolos que representan operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación y división. Presenta ejemplos de operaciones no estándar definidas por reglas o leyes particulares y resuelve ejercicios aplicando dichas definiciones y reglas.
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1. El documento presenta fórmulas para transformar expresiones trigonométricas de suma o diferencia a producto y viceversa. Incluye ejemplos como transformar Sen6x + Sen2x a 2Sen4x • Cos2x.
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1. Se describe el movimiento de dos esferas A y B lanzadas simultáneamente sobre un piso.
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3. Se aplica la ley de cosenos para determinar que la distancia de separación entre las trayectorias es de 2 m y que la esfera A recorre 10 m hasta el instante en que se cruza con B.
1) El documento presenta una serie de ejercicios matemáticos que involucran operaciones con exponentes, fracciones, raíces y expresiones algebraicas. 2) Los ejercicios incluyen simplificar expresiones, calcular valores, reducir términos y efectuar operaciones. 3) El documento proporciona las instrucciones y datos necesarios para resolver cada uno de los doce ejercicios presentados.
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Este documento explica los pasos para dividir un polinomio entre un binomio utilizando la división sintética y la regla de Ruffini. Primero se describen los 6 pasos de la división sintética, luego se muestran 2 ejemplos resueltos. Luego se explican los pasos de la regla de Ruffini y se da un ejemplo. Finalmente, se explica el teorema del residuo, el cual establece que el residuo de dividir un polinomio entre un binomio es igual al valor de la función en ese punto.
El documento presenta los métodos de Horner y Ruffini para dividir polinomios. Explica las propiedades de la división algebraica como el grado del cociente y residuo. Luego, detalla los pasos para aplicar los métodos de Horner y Ruffini a ejemplos numéricos, resolviendo la división de polinomios. Finalmente, propone una serie de ejercicios prácticos sobre división de polinomios para aplicar los conceptos.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su definición, tipos (monomio, binomio, trinomio, polinomio), operaciones (suma, resta, multiplicación, división) y ejemplos. Explica que un polinomio es una expresión algebraica compuesta por la suma de monomios con variables y constantes, y puede ser de diferentes grados dependiendo del exponente más alto. Además, detalla los pasos para realizar operaciones como la suma, resta, multiplicación y división de polin
Este documento contiene un índice de 8 capítulos sobre álgebra. El capítulo I trata sobre la división de polinomios usando el método de Horner. El capítulo II explica la división de polinomios usando el método de Ruffini y el teorema del resto. El capítulo III cubre el MCD y MCM de polinomios. Los capítulos restantes abordan fracciones algebraicas, factoriales, el binomio de Newton y un repaso general.
Este documento resume las expresiones algebraicas racionales y raíces de polinomios. Cubre temas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas racionales, simplificación de fracciones complejas, división sintética de polinomios y encontrar raíces racionales de ecuaciones polinomiales de grado 3 o 4. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del álgebra, incluyendo la división de polinomios, la regla de Ruffini para dividir un polinomio por x-a, la factorización de polinomios, fracciones algebraicas, y la resolución de ecuaciones de segundo grado y ecuaciones bicuadráticas. Explica los procedimientos para llevar a cabo estas operaciones algebraicas y define conceptos clave como raíces, discriminante, y soluciones de ecuaciones.
Este documento presenta los conceptos básicos de los cocientes notables en álgebra. Explica que los cocientes notables son divisiones algebraicas donde el cociente y residuo se obtienen sin necesidad de realizar la operación, ya que la división es exacta. Luego, describe los cuatro casos de cocientes notables y proporciona ejemplos para ilustrar cada caso. Finalmente, establece las leyes y fórmulas que rigen los cocientes notables.
El documento presenta los objetivos y contenidos de una unidad de matemáticas de octavo grado. Los objetivos incluyen interpretar la realidad usando el lenguaje algebraico y proponer soluciones a problemas a través de la división de polinomios y cocientes notables. Los contenidos cubren división de polinomios, triángulos, y factorización. Al final de la unidad, los estudiantes aplicarán estos conceptos para resolver una situación del entorno.
El documento presenta los conceptos y propiedades fundamentales de la división algebraica. Define la división algebraica como la operación que permite obtener un cociente y, opcionalmente, un resto al dividir dos expresiones algebraicas conocidas como dividendo y divisor. Explica la nomenclatura de los grados involucrados y enlista cinco propiedades de la división. Luego, describe los casos básicos de división de monomios y polinomios, incluyendo diferentes métodos como el normal, de coeficientes separados y de Horner. Finalmente, presenta ejemplos ilustr
La división algebraica trata sobre las propiedades y métodos para dividir polinomios. Al dividir polinomios, el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor, mientras que el grado del resto es menor que el grado del divisor. Existen dos métodos principales para dividir polinomios: el método de Horner y el método de Ruffini. El documento también presenta varios ejercicios de aplicación sobre división de polinomios.
El documento explica diferentes métodos para multiplicar y dividir polinomios, incluyendo multiplicar un número por un polinomio, multiplicar monomios y polinomios completos, dividir polinomios usando el método del cociente y el resto, y aplicar el teorema del resto. También describe diferentes casos de factorización de polinomios como el factor común, cuadrados perfectos, y diferencia de cuadrados.
El documento proporciona información sobre diferentes métodos para dividir polinomios, incluyendo la división normal, división por coeficientes separados, el método de Horner y Ruffini. También explica la identidad fundamental de la división de polinomios, las propiedades del cociente y residuo, y el teorema del resto de Descartes. Finalmente, presenta una serie de problemas sobre división de polinomios.
de
la
división:
1) El documento presenta el Teorema del Resto y sus reglas para determinar el resto de la división de polinomios.
2) Se demuestra el teorema a través de la identidad fundamental de la división y se presentan dos casos de división de polinomios.
3) Se plantean varios ejemplos resueltos para ilustrar la aplicación del teorema en la determinación del resto de divisiones polinómicas.
El documento trata sobre los polinomios y su tratamiento en la enseñanza secundaria. Explica que los polinomios han tenido una presencia variable en los planes de estudio y que existen diferentes enfoques, desde no mencionarlos explícitamente hasta estudiar sus propiedades y operaciones de manera formal. También analiza conceptos como grado, términos, sumas, productos, divisiones, factorización, raíces y valor numérico de polinomios.
El documento describe brevemente la situación de los polinomios en la enseñanza secundaria en España. Explica que los polinomios han estado entrando y saliendo de los planes de estudio y que existen diferentes enfoques, como trabajar con expresiones algebraicas sin definir el concepto de polinomio. También resume algunos conceptos y operaciones básicas con polinomios como suma, resta, producto y división.
El documento describe ecuaciones y fracciones algebraicas. Explica que las ecuaciones algebraicas involucran variables y operaciones racionales como adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Distingue entre ecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Luego resuelve ejemplos numéricos de ecuaciones cúbicas y cuárticas usando descomposición en factores y la regla de Ruffini. Finalmente, cubre conceptos básicos sobre fracciones algebraicas como simplificación, dominio de definición y operaciones como multiplicación y
El documento proporciona información sobre la historia y desarrollo del método de división de polinomios. Explica que Paolo Ruffini fue el primero en demostrar la imposibilidad de resolver ecuaciones de grado superior a cuatro mediante métodos algebraicos elementales. Más tarde, Niels Abel demostró este teorema de forma definitiva. También describe que William Horner desarrolló de forma independiente el método de división de polinomios que hoy se conoce como esquema de Horner, aunque este método ya había sido descubierto
Similar a Division de polinomios Pre universitario (20)
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Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
1. Nivel Preuniversitario Álgebra
Lic. ACERO Santos Carlos Cel.…: 999973383 – 988128819 Email:
aceromatematica@gmail.com
Objetivos
1. Hallar la expansión aproximada de una expresión mediante su equivalencia a polinomios
2. Conocer la aplicación de la regla de Ruffini y de Horner
3. Saber aplicar la división de polinomios en la resolución de ecuaciones por aproximación.
Dados los polinomios dividendo D x , divisor
d x , cociente q x y residuos R x
condicionados por la definición, se cumple:
D x d x q x R x
TEOREMA
Dado el dividendo D x y el divisor d x , los
polinomios cociente q x y residuo R x son únicos.
CLASES DE DIVISIÓN
De acuerdo a su resto o residuo podemos clasificar en:
1. División exacta 0R x
Llamaremos así cuando el resto o residuo sea
un polinomio idénticamente nulo.
Luego ( ) ( )D x d x q x
2. División Inexacta 0R x
Llamada también División no exacta, toma este
nombre cuando el residuo no es idénticamente
nulo, por lo que definimos
( ) ( ) ( )D x d x q x R x
Con ( ) 0d x , se tendrá la equivalencia
siguiente
( )
( )
D x R x
q x
d x d x
Propiedades de grados
1. El grado del cociente es equivalente a la
diferencia del grado del dividendo y el grado
del divisor.
Grado q Grado D Grado d
2. El grado máximo que puede tomar el residuo será
uno menos al del divisor.
. . R 1Grado Max Grado d
Si el divisor es de grado “ n ”, el residuo a lo más
podrá ser grado 1n
CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA DIVISIÓN
DE POLINOMIOS
1. Division de Monomios
Recordemos la propiedad (1) grado del cociente
se tiene:
0 0
0
0 0
; 0
m
m n
n
a x a
x b
b x b
La división de monomios es siempre exacta.
2. División de un polinomio entre un Monomio
Se utilizará la siguiente propiedad
a b c a b c
m m m m
3. División de polinomios de más de un término
la división de polinomios de esta forma sólo estará
definida para una variable tomada como
referencia, al cual se llama variable ordenatriz.
TEOREMA
De la identidad fundamental de división entera:
P x d x q x R x
I. Si x=1
1 1 1 1P d q R
Se obtiene la suma de
coeficientes.
II. Si x=0
0 0 0 0P d q R
Se obtiene el término independiente
División de Polinomios
2. Nivel Preuniversitario Álgebra
Lic. ACERO Santos Carlos Cel.…: 999973383 – 988128819 Email: aceromatematica@gmail.com
CRITERIOS PARA DIVIDIR ALGEBRAICAMENTE
POLINOMIOS
Los procedimientos a seguir derivan de la división entera
de números enteros
1. Método clásico o división normal
Seguiremos los mismos pasos de la división de
enteros.
2. Por coeficientes separados
Es un caso similar a la división normal con la
diferencia que en este caso sólo de trabajan con
los coeficientes. En este caso sí se exige que
los polinomios, tanto dividendo y divisor, sean
completo y ordenados en forma
descendente.
4 2 6 10 0 2 3
4 6
0 -4 6
4 6
0 0 -10
10 15
0 15
2-2-5
¸
¸
¸
3. Método de Guillermo Horner
Diremos que este es un caso sintetizado de
coeficientes separados y exigen las mismas
condiciones.
El método esquemático
-i
-v
-s
-i
+d
-o
-r
Coeficientes del dividendo
Coef. del cociente Coef. del resto
¸ ·
1 °
Sedivide
Se
multiplica
SeSuma
3 °
2 °
Después de sumar
se divide
4°
4. MÉTODO DE PAOLO RUFFINI
Se considera como un caso particular del
método Horner, se utilizará cuando el divisor es
de primer grado o transformable a esta forma.
En general
Al dividir
1 2
0 1 2 ...n n n
na x a x a x a
entre:
ax b ; 0ab se presentan dos casos.
CASO I
Cuando a=1; se tendrá
1 2
0 1 2 ...n n n
na x a x a x a
x b
Cuyo esquema será:
0a 1a 2a . .. . na
x b
0c 1c
2c 2c....
0c b
1nbc
Sumar
Sumar
+
1nc
1
2
Por lo tanto
1 2 3
0 1 2 1( ) ...n n n
nq x c x c x c x c
1( ) n nR x a bc
CASO II
Cuando 1a ; se tendrá
1 2
0 1 2 ...n n n
na x a x a x a
ax b
Es similar al anterior, simplemente se divide en
la segunda por de divisor.
TEOREMA DE RENATUS DESCARTES
(TEOREMA DEL RESTO)
Finalidad. Se utiliza para hallar el resto en una
división de polinomios sin la necesidad de
efectuar dicha operación, es decir, de una
manera directa.
TEOREMA
En toda división de la forma P x entre
ax b , el resto se halla mediante el
valor numérico del polinomio P x
cuando x toma el valor de
b
a
Ejemplo de aplicación
3. Nivel Preuniversitario Álgebra
Lic. ACERO Santos Carlos Cel.…: 999973383 – 988128819 Email: aceromatematica@gmail.com
Hallar el resultado de sustituir x por 3x en
la expresión
4 3 2
2 2 5 1f x x x x x
Cuyo resultado es:
4 3 2
3 2 23 97 182 131f x x x x x
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dada la división
6 5 2 4 3
3
4 8 5 2 7 1
1 2 4
x x x x x
x x
Enunciar el valor de verdad o falsedad de cada
uno de las proposiciones
I. Su cociente es 3 2
2 1x x
II. Su resto es 2
3 2x x
III. La suma de coeficientes del cociente
es 5
2. Al dividir 4 2
8 5 1ax x x entre
2 3
3 1x x , se obtiene como cociente
2
3 2x x y como residuo 1mx . ¿Cuál
es el valor de 8a m ?
3. ¿Cuál es el cociente en la siguiente división?
31 29 5 3
2
3 1
1
x x x x x
x
4. Realizar la división exacta
2 4 3 2 3
2
5 14 9
2 3
a x ax x a x
ax x
es exacta,
¿Cuál es el valor real de a?
5. Luego de dividir
4 3 2
2
14 5 10
2 3
mx nx x x
x x
, se obtuvo
como residuo 4. ¿Cuál es el valor de m.n?
6. Halle el resto en
2 2
3 2
2 1 6
3 3 1
x x x x
x x x
7. Halle el resto en
3435
1
1
x x x
x x
8. Del esquema de Horner de una división en
variables.
Calcule el valor de m+n
9. Indique el resto de la división algebraica
4 2
2 1 2 2 2 1
1 2
x x x
x
10. ¿Cuál es el resto en la división?
2 2 1
4 7
1
n n
x x x
x
11. Luego de efectuar la división
3 2 2 3 2
1
nx n x nx n n
x n
se obtiene que
la suma de coeficientes del cociente es igual a
n
f ¿Cuál es el valor de
1 2 20
...f f f ?
12. ¿Cuál es el resto de la división
8
2
1
1
x x
x x
?
13. Si al dividir 3 4
5 6 1x x entre 2
3 2x x
se obtiene un resto de la forma mx n ,
calcule el valor de m n
14. Calcule el valor de m n si se sabe que la
división
5 3 2
2
3 2
3
x mx nx x
x
deja un
residuo 5 10x
15. Halle el resto de la división algebraica
119
2
2 1
1
x
x x
16. Al efectuar la división
5 4 3 2
2
8 14 5 16 3 2
4 3
x x x x x
x x
se
obtiene de residuo 5 4 2m n x m n
encuentre el valor de
m
n
m
1 3 5 a 13
b d m
neca
2
4. Nivel Preuniversitario Álgebra
Lic. ACERO Santos Carlos Cel.…: 999973383 – 988128819 Email: aceromatematica@gmail.com
17. Calcule el valor de a b c si el resto de
la división
5 4 3
3 2
5 3
2 2
ax bx cx x
x x x
es
2
7 8 3x
R x x
18. Calcule el valor de n si el residuo de la
división
2
3 1 1 5 1
2
n n
x x nx x x
x
es 2 1 18x
R x . Considere n par
19. Calcule el valor de n si al dividir
17 16 15 3 2
... 1
1
n n n
x x x x x x
x
se observa que la suma de los coeficientes del
cociente es igual a 90 veces su resto
20. ¿Qué valor toma p q en la división algebraica
4
2
1
x px q
x x
, de modo que su resto sea
idéntico a 3 4x ?
21. Calcule el valor de b a si la división
5 4 3 2
2
2 3 12 6 2 1
2 1
ax a x a x b x b x
x x
deja un cociente que evaluado en 2x es
39. Considere ;a b
22. Si al efectuar la división algebraica
5 2 4 3 2 2
2
abx b x bcx abx acx c
ax bx c
Se obtiene un resto acx , calcule
b a c
ac
23. Calcule la suma de coeficientes del cociente de
la división indicada
6 4 2
14 29 36
1 2 3
x x x
x x x
24. Halle el resto en la división algebraica
4 3
2 1 2 2 2 2 4 2
2 1
x x x
x
25. Calcule la suma de coeficientes del cociente
que se obtiene al dividir
80 79
4 2
1
x x x b
x
26. Luego de efectuar la división algebraica
19 16 12 5
2
2 7 9 1
1
x x x x x
x
Dé el valor de verdad de las siguientes
proposiciones
I. Su resto es un polinomio constante
II. Su resto es 2x
III. La división es exacta
27. De la condición del problema, el polinomio
5 4 2
2x x ax bx c es divisible por
4
1x , halle
a b
a b
28. Al efectuar la división algebraica
5 32
3 2
1 1 3
1
x x x
x x x
se obtuvo un resto
x
R . Calcule el valor de
1
1
R
R
29. Al dividir 4 3 2
3 1P x ax bx cx x
entre 2
1x x se obtiene un cociente cuya
suma de coeficientes es 22 y un resto
10 1x
R x . Calcule el valor de a c
30. Al dividir F x entre 2
4 9 3x x se
obtuvo como residuo
2
2 3x . Halle el
residuo de F x entre 2
2 9 9x x