Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como el uso de letras para representar números, expresiones algebraicas, el valor numérico de una expresión, ecuaciones y cómo resolver ecuaciones. Explica que una ecuación representa una igualdad entre expresiones algebraicas y que resolver una ecuación significa encontrar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado.

1. M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
S
Tema 5. Conceptos generales de álgebra y ecuaciones de
primer grado
En álgebra se usan las letras para representar números y con
ellas se realizan operaciones, por ejemplo la suma de dos
números: a + b, la multiplicación: a × b, la resta: a – b y la
división: a/b. Una expresión algebraica tiene números, símbolos
(que representan números), signos de operaciones aritméticas y
paréntesis, por ejemplo: a) x 2 + y − 3 , b) 5 x 2 + 3 x 3 y 3 z . Las literales
(letras) son las variables.
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2. Humberto tiene una “máquina” a la que le da un número y ésta
le regresa otro. Hizo tres experimentos:
Él se ha preguntado cuál es la regla que sigue la máquina y se
ha dado cuenta que le aumenta tres unidades al número que
se le introduce. ¿Qué número se le debe dar para que la
máquina regrese el número 16? Ya que 16 – 3 = 13, entonces al
colocar el número 13 obtiene 16. La máquina tiene en su interior
la expresión x + 3, al obtener un número hace el proceso de
sustituir la x por este valor: 3 + 3 = 6, 6 + 3 = 9, 13 + 3 = 16.
Se llama valor numérico de una expresión algebraica al
resultado de sustituir valores en cada una de las variables. Por
ejemplo:
a) ¿Cuál es el valor numérico de 7p + 8 , si p = 45? Se sustituye el
valor de p en la expresión:
7p + 8 = 7(45) + 8 = 315 + 8 = 323
6 x + 10y
b) Sea , donde x = 1 y = 2, z = 13 .
,
z
6 x + 10y 6 (1) + 10 (2 ) 6 + 20 26
El valor numérico es: = = = = 2.
z 13 13 13
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas.
Por ejemplo: 4y + 7 = −2y , 7 z − 9 z 3 + 12 = 0 , 3 x − 6.3 xy = x − 11.6y
Una ecuación se puede ver como una
balanza que siempre está en equilibrio. Si se
modifica la expresión algebraica de algún
extremo, se tiene que hacer exactamente lo
mismo del otro.
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3. Por ejemplo, en la ecuación x + 2 = 5:
a) Si se suma 10 al lado izquierdo la balanza
no estará en equilibrio, entonces se suma 10
al lado derecho. Es decir, x + 2 + 10 = 5 + 10,
x + 12 = 15.
b) Al sumar -2 a ambos lados, entonces:
x+2– 2 =5– 2 , x=3
Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita
M
(x) que hacen cierta la igualdad, por ejemplo:
A
a) En la ecuación: 1 2
b) En la ecuación m + = la T
− 4y + 1 = 13 la solución es 3 3 E
y = −3 , pues − 4y + 1 = 13 1 1 1 2 M
solución es m = , ya que + =
− 4(−3) + 1 = 13 3 3 3 3 Á
12 + 1 = 13 T
I
C
Otra forma de visualizar una ecuación es por medio de la recta A
numérica. Por ejemplo: S
a) x + 2 = 5
El segmento de recta del 0 al 5
representa en total a: x + 2, así que el
valor de x es el segmento del 0 al 3. La
solución es x = 3.
b) Sea 4x = 8
El segmento de recta del 0 al 8
representa al valor 4x, ¿cuál es el
intervalo que al multiplicarlo por 4 es
igual a 8? Del 0 al 2, el valor de x es 2.
c) Sea 2x + 5 = 8,
El segmento de recta del 0 al 8 tiene
el valor 2x + 5, primero se identifica el
intervalo que al sumarle 5 dé 8, éste es
del 0 al 3. Ahora, el intervalo del 0 al 3
representa a 2x, entonces x simboliza
del 0 al 1.5, x = 1.5.
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4. A continuación se presentan ejemplos de problemas en donde
se resuelven ecuaciones.
a) En 10 – f = 7, ¿cuál será el valor de la letra f? El valor de f es 3,
pues 10 – 3 es 7.
b) ¿Cuál es el valor de “a” en 28a = 84? Se busca un número
que multiplicado por 28 dé como resultado 84, a = 3.
c) Un terreno mide el doble de largo que de ancho
y para cercarse se usaron 132 m de malla, ¿cuál n
será su largo?
2n
Si n representa el ancho, entonces 2n simbolizará el
largo, la ecuación que constituye los metros que se usaron para
cercase (haciendo referencia al perímetro) es: n + 2n + n + 2n =
132. Entonces al sumar los números n, 6n = 132. La solución es n
= 22 m, por lo que el largo es 2n = 44 m.
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