El documento define un polinomio como una expresión formada por la suma de términos que consisten en números multiplicados por potencias de una variable. Explica que el grado de un polinomio se refiere al exponente más alto de dicha variable, y que el coeficiente principal es el número que multiplica a la variable elevada al grado del polinomio. Además, introduce los conceptos de valor numérico de un polinomio para un valor concreto de la variable, así como la noción de raíz de un polinomio.

1. Polinomios
Jes´s Garc´ de Jal´n de la Fuente
u ıa o
IES Avenida de los Toreros
Madrid
jesus.garciadejalon@gmail.com
JGJ Polinomios

2. Polinomios
Definici´n
o
Un polinomio es una operaci´n indicada de sumas y productos
o
entre n´meros y una variable x (indeterminada):
u
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
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3. Polinomios
Definici´n
o
Un polinomio es una operaci´n indicada de sumas y productos
o
entre n´meros y una variable x (indeterminada):
u
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
n: grado del polinomio
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4. Polinomios
Definici´n
o
Un polinomio es una operaci´n indicada de sumas y productos
o
entre n´meros y una variable x (indeterminada):
u
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
n: grado del polinomio
an : coeficiente principal
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5. Polinomios
Definici´n
o
Un polinomio es una operaci´n indicada de sumas y productos
o
entre n´meros y una variable x (indeterminada):
u
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
n: grado del polinomio
an : coeficiente principal
a0 : t´rmino independiente
e
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6. Valor num´rico.
e
Definici´n
o
El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que
e u
se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x
por a.
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7. Valor num´rico.
e
Definici´n
o
El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que
e u
se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x
por a.
Sea, por ejemplo, el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
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8. Valor num´rico.
e
Definici´n
o
El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que
e u
se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x
por a.
Sea, por ejemplo, el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
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9. Valor num´rico.
e
Definici´n
o
El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que
e u
se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x
por a.
Sea, por ejemplo, el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
P (−3) = 2 · (−3)4 − 5 · (−3)2 + 4 · (−3) − 2
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10. Valor num´rico.
e
Definici´n
o
El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que
e u
se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x
por a.
Sea, por ejemplo, el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
P (−3) = 2 · (−3)4 − 5 · (−3)2 + 4 · (−3) − 2
= 2 · 81 − 5 · 9 + 4 · (−3) − 2
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11. Valor num´rico.
e
Definici´n
o
El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que
e u
se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x
por a.
Sea, por ejemplo, el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
P (−3) = 2 · (−3)4 − 5 · (−3)2 + 4 · (−3) − 2
= 2 · 81 − 5 · 9 + 4 · (−3) − 2
= 162 − 45 − 12 − 2
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12. Valor num´rico.
e
Definici´n
o
El valor num´rico de un polinomio para x = a es el n´mero que
e u
se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x
por a.
Sea, por ejemplo, el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
P (−3) = 2 · (−3)4 − 5 · (−3)2 + 4 · (−3) − 2
= 2 · 81 − 5 · 9 + 4 · (−3) − 2
= 162 − 45 − 12 − 2
= 103
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13. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
JGJ Polinomios

14. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
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15. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
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16. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
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17. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
–3
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18. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
–3
2
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19. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
–3 –6
2
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20. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
–3 –6
2 –6
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21. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18
2 –6
JGJ Polinomios

22. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18
2 –6 13
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23. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18 –39
2 –6 13
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24. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18 –39
2 –6 13 –35
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25. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18 –39 105
2 –6 13 –35
JGJ Polinomios

26. Valor num´rico. Regla de Ruffini(1)
e
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente
e a
mediante la Regla de Ruffini.
Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18 –39 105
2 –6 13 –35 103
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27. Ra´ de un polinomio
ıces
Definici´n
o
Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del
u ız e
polinomio para x = r es cero.
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0
ız
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28. Ra´ de un polinomio
ıces
Definici´n
o
Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del
u ız e
polinomio para x = r es cero.
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0
ız
Propiedad: las ra´
ıces enteras de un polinomio con coeficientes
enteros son divisores del t´rmino independiente:
e
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29. Ra´ de un polinomio
ıces
Definici´n
o
Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del
u ız e
polinomio para x = r es cero.
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0
ız
Propiedad: las ra´
ıces enteras de un polinomio con coeficientes
enteros son divisores del t´rmino independiente:
e
r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
ız
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30. Ra´ de un polinomio
ıces
Definici´n
o
Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del
u ız e
polinomio para x = r es cero.
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0
ız
Propiedad: las ra´
ıces enteras de un polinomio con coeficientes
enteros son divisores del t´rmino independiente:
e
r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
ız
=⇒ a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · = 0
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31. Ra´ de un polinomio
ıces
Definici´n
o
Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del
u ız e
polinomio para x = r es cero.
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0
ız
Propiedad: las ra´
ıces enteras de un polinomio con coeficientes
enteros son divisores del t´rmino independiente:
e
r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
ız
=⇒ a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · = 0
=⇒ a0 = −a1 r − a2 r2 − a3 r3 − · · ·
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32. Ra´ de un polinomio
ıces
Definici´n
o
Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del
u ız e
polinomio para x = r es cero.
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0
ız
Propiedad: las ra´
ıces enteras de un polinomio con coeficientes
enteros son divisores del t´rmino independiente:
e
r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
ız
=⇒ a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · = 0
=⇒ a0 = −a1 r − a2 r2 − a3 r3 − · · ·
=⇒ a0 = −r(a1 + a2 r + a3 r2 + · · · )
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33. Ra´ de un polinomio
ıces
Definici´n
o
Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del
u ız e
polinomio para x = r es cero.
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0
ız
Propiedad: las ra´
ıces enteras de un polinomio con coeficientes
enteros son divisores del t´rmino independiente:
e
r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
ız
=⇒ a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · = 0
=⇒ a0 = −a1 r − a2 r2 − a3 r3 − · · ·
=⇒ a0 = −r(a1 + a2 r + a3 r2 + · · · )
=⇒ r es divisor de a0
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34. Polinomios primos y compuestos
Son polinomios compuestos los que pueden
descomponerse como producto de polinomios de menor
grado. Por ejemplo x2 − 1 es compuesto porque puede
descomponerse como:
x2 − 1 = (x + 1)(x − 1)
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35. Polinomios primos y compuestos
Son polinomios compuestos los que pueden
descomponerse como producto de polinomios de menor
grado. Por ejemplo x2 − 1 es compuesto porque puede
descomponerse como:
x2 − 1 = (x + 1)(x − 1)
Son polinomios primos los que no pueden descomponerse
como producto de polinomios de menor grado. Por
ejemplo, 3x − 6 o x2 + 1 son polinomios primos.
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36. Polinomios primos y compuestos
Son polinomios compuestos los que pueden
descomponerse como producto de polinomios de menor
grado. Por ejemplo x2 − 1 es compuesto porque puede
descomponerse como:
x2 − 1 = (x + 1)(x − 1)
Son polinomios primos los que no pueden descomponerse
como producto de polinomios de menor grado. Por
ejemplo, 3x − 6 o x2 + 1 son polinomios primos.
Los polinomios primos son los polinomios de primer
grado y los de segundo que no tienen ra´
ıces (los de
discriminante menor que cero). Todos los dem´s pueden
a
descomponerse en factores y son compuestos.
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37. Polinomios primos y compuestos
Son polinomios compuestos los que pueden
descomponerse como producto de polinomios de menor
grado. Por ejemplo x2 − 1 es compuesto porque puede
descomponerse como:
x2 − 1 = (x + 1)(x − 1)
Son polinomios primos los que no pueden descomponerse
como producto de polinomios de menor grado. Por
ejemplo, 3x − 6 o x2 + 1 son polinomios primos.
Los polinomios primos son los polinomios de primer
grado y los de segundo que no tienen ra´
ıces (los de
discriminante menor que cero). Todos los dem´s pueden
a
descomponerse en factores y son compuestos.
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38. Teorema del factor
Teorema (Teorema del factor)
Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r
ız e
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x)
ız
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39. Teorema del factor
Teorema (Teorema del factor)
Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r
ız e
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x)
ız
Demostraci´n.
o
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40. Teorema del factor
Teorema (Teorema del factor)
Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r
ız e
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x)
ız
Demostraci´n.
o
Sea r ra´ del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0.
ız
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41. Teorema del factor
Teorema (Teorema del factor)
Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r
ız e
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x)
ız
Demostraci´n.
o
Sea r ra´ del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0.
ız
Si se divide P (x) por x − r se obtiene un cociente Q(x) y
un resto R que cumplen:
P (x) = (x − r)Q(x) + R
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42. Teorema del factor
Teorema (Teorema del factor)
Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r
ız e
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x)
ız
Demostraci´n.
o
Sea r ra´ del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0.
ız
Si se divide P (x) por x − r se obtiene un cociente Q(x) y
un resto R que cumplen:
P (x) = (x − r)Q(x) + R
Para x = r:
P (r) = (r − r)Q(r) + R =⇒ R = P (r) = 0
y por consiguiente P (x) = (x − r)Q(x).
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43. Teorema del resto
Teorema (Teorema del resto)
El resto de dividir un polinomio por x − a es el valor num´rico
e
del polimomio para x = a.
P (x) = (x − a)Q(x) + R ⇐⇒ R = P (a)
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44. Teorema del resto
Teorema (Teorema del resto)
El resto de dividir un polinomio por x − a es el valor num´rico
e
del polimomio para x = a.
P (x) = (x − a)Q(x) + R ⇐⇒ R = P (a)
Demostraci´n.
o
Si se divide P (x) por x − a se obtiene un cociente Q(x) y un
resto R que cumplen:
P (x) = (x − a)Q(x) + R
Para x = a:
P (a) = (a − a)Q(a) + R =⇒ R = P (a)
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45. Regla de Ruffini(2)
La regla de Ruffini
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18 –39 105
2 –6 13 –35 103
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46. Regla de Ruffini(2)
La regla de Ruffini
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18 –39 105
2 –6 13 –35 103
puede interpretarse como una divisi´n en la que:
o
Dividendo:
Divisor:
Cociente:
Resto:
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47. Regla de Ruffini(2)
La regla de Ruffini
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18 –39 105
2 –6 13 –35 103
puede interpretarse como una divisi´n en la que:
o
Dividendo: 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Divisor:
Cociente:
Resto:
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48. Regla de Ruffini(2)
La regla de Ruffini
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18 –39 105
2 –6 13 –35 103
puede interpretarse como una divisi´n en la que:
o
Dividendo: 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Divisor: x+3
Cociente:
Resto:
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49. Regla de Ruffini(2)
La regla de Ruffini
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18 –39 105
2 –6 13 –35 103
puede interpretarse como una divisi´n en la que:
o
Dividendo: 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Divisor: x+3
Cociente: 2x3 − 6x2 + 13x − 35
Resto:
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50. Regla de Ruffini(2)
La regla de Ruffini
2 0 –5 4 –2
–3 –6 18 –39 105
2 –6 13 –35 103
puede interpretarse como una divisi´n en la que:
o
Dividendo: 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Divisor: x+3
Cociente: 2x3 − 6x2 + 13x − 35
Resto: 103
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51. Factorizaci´n de un polinomio de segundo grado
o
Sea ax2 + bx + c un polinomio de segundo grado.
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52. Factorizaci´n de un polinomio de segundo grado
o
Sea ax2 + bx + c un polinomio de segundo grado.
Seg´n el valor del discriminante:
u
∆ = b2 − 4ac
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53. Factorizaci´n de un polinomio de segundo grado
o
Sea ax2 + bx + c un polinomio de segundo grado.
Seg´n el valor del discriminante:
u
∆ = b2 − 4ac
el polinomio se descompone:
ra´
ıces Factorizaci´n
o
∆>0 r1 , r2 ax2 + bx + c = a(x − r1 )(x − r2 )
∆=0 r ax2 + bx + c = a(x − r)2
∆<0 ax2 + bx + c es primo
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54. Aplicaci´n
o
Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una
o
de las ra´
ıces.
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55. Aplicaci´n
o
Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una
o
de las ra´
ıces.
Sea, por ejemplo, la ecuaci´n x3 − 4x2 − x + 4 = 0.
o
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56. Aplicaci´n
o
Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una
o
de las ra´
ıces.
Sea, por ejemplo, la ecuaci´n x3 − 4x2 − x + 4 = 0.
o
Si sabemos que una soluci´n es x = −1, dividimos el polinomio
o
por x + 1:
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57. Aplicaci´n
o
Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una
o
de las ra´
ıces.
Sea, por ejemplo, la ecuaci´n x3 − 4x2 − x + 4 = 0.
o
Si sabemos que una soluci´n es x = −1, dividimos el polinomio
o
por x + 1:
1 –4 –1 4
–1 –1 5 –4
1 –5 4 0
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58. Aplicaci´n
o
Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una
o
de las ra´
ıces.
Sea, por ejemplo, la ecuaci´n x3 − 4x2 − x + 4 = 0.
o
Si sabemos que una soluci´n es x = −1, dividimos el polinomio
o
por x + 1:
1 –4 –1 4
–1 –1 5 –4
1 –5 4 0
Ahora podemos escribir la ecuaci´n como:
o
(x + 1)(x2 − 5x + 4) = 0
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59. Aplicaci´n
o
Una ecuaci´n de tercer grado puede resolverse si se conoce una
o
de las ra´
ıces.
Sea, por ejemplo, la ecuaci´n x3 − 4x2 − x + 4 = 0.
o
Si sabemos que una soluci´n es x = −1, dividimos el polinomio
o
por x + 1:
1 –4 –1 4
–1 –1 5 –4
1 –5 4 0
Ahora podemos escribir la ecuaci´n como:
o
(x + 1)(x2 − 5x + 4) = 0
e igualando a cero cada factor se calculan las soluciones.
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