Material de álgebra, teoría y ejercicios aplicativos del tema esencial del álgebra. El material no es propio, es la Universidad Nacional "Pedro Ruíz Gallo"

1. 163
Grado de las Expresiones
Algebraicas
DEFINICIONES PREVIAS:
o MONOMIO : Expresión del tipo Racional
entera de UN solo término
Ejemplo:
4
o POLINOMIO: Es aquella expresión
matemática donde intervienen las
operaciones de adición y sustracción para
unir monomios.
Ejemplo:
4 7 8
GRADO DE UN POLINOMIO
Se denomina grado a la característica relacionada
con los exponentes de las variables de una
expresión algebraica. Se distinguen dos tipos de
grados: Grado Absoluto (GA) y Grado Relativo (GR).
Para un Monomio:
Grado Relativo: Es el exponente que afecta a la
variable indicada.
Grado Absoluto: Es la suma de los exponentes que
afectan a todas las variables indicadas.
Ejemplo:
Dado el monomio F (x,y,z) = -52x9
y5
x
GR(x) = 9 GR(y) = 5 GR(z) = 1 GA(F) = 15
Para un Polinomio:
Grado Relativo: Es el mayor exponente que afecta
a la variable seleccionada en toda la expresión.
Grado Absoluto: Es el grado absoluto
(simplemente grado), del término de mayor grado
en dicho polinomio.
Dado el polinomio
356427 yx5yx3yx7)y,x(P +-=
GR(x) = 7 GR(y) = 6 GA = 10
Nota: El grado del término independiente es cero.
Representación general de polinomios de acuerdo
al grado
Considerando la variable "x" y las constantes a, b, c
y d tal que a ¹ 0, tenemos :
De grado cero: a
De primer grado: ax + b
De segundo grado: ax2
+ bx + c
De tercer grado: ax3
+ bx2
+ cx + d
Grados en operaciones con polinomios
Sean los polinomios P(x) de grado m, y Q (x) de
grado n (con m > n), entonces:
1. GA [P(x) ± Q (x) ] = m
2. GA [P(x) . Q(x) ] = m + n
3. GA ú
û
ù
ê
ë
é
)x(Q
)x(P
= m - n
4. GA r
)]x(P[ = r.m
5. GA
r
m
)x(Pr = , r ¹ 0
POLINOMIOS ESPECIALES
Ø Polinomio Homogéneo
Es aquel polinomio cuyos términos tienen el mismo
grado absoluto. A éste grado común se le denomina
grado de homogeneidad.
Ejemplo :
P( x, y, z ) = x3
- 6x2
y + 7xy2
- 9y3
Es un polinomio homogéneo de grado 3
PROPIEDAD:
Sea ),( yxP un polinomio homogéneo de grado ""n
Entonces: ),(),( yxpkkykxP n
=
Ø Polinomio Ordenado
Con respecto a una variable, un polinomio está
ordenado si los exponentes de esta variable lo
están ya sea en forma ascendente o descendente,
no necesariamente en forma consecutiva.
Ejemplo:
P(x,y) = x5
y - x3
y2
+ xy3
, es un polinomio ordenado
en forma descendente respecto a "x" y en forma
ascendente respecto a "y".
Ø Polinomio completo
Con respecto a una variable, un polinomio es
completo, si existen todos los exponentes de dicha
variable, desde el exponente 0 hasta el grado del
polinomio.
Teorema: Si un polinomio es completo en una variable,
entonces el número de términos es igual a su grado
aumentado en 1, es decir:
NT = GA + 1
Ejemplo:

2. 164
P(x) = 2 +x5
+ 2x- p x4
+ 4x3
+ ( 2 -1)x2
, es
de quinto grado con seis términos.
Ø Polinomio entero en “x”
Es aquel que depende únicamente de la variable "x",
siendo sus coeficientes números enteros.
Ejemplo :
P(x) = 3x3
+ 2x2
- 1 , es un polinomio entero en "x"
de tercer grado.
Ø Polinomio mónico
Es aquel polinomio entero en "x" que se
caracteriza por que su coeficiente principal
(coeficiente de la variable con mayor exponente) es
igual a la unidad.
Ejemplo :
P(x) = x5
– 5x + 8, es un polinomio mónico de
quinto grado.
Ø Polinomios idénticos
Dos o más polinomios en las mismas variables son
idénticos, cuando tienen los mismos valores
numéricos para cualquier valor que se le asigne a
sus variables.
Ejemplo:
P(x,y) = (x+y)2
-4xy
Q(x,y) = (x-y)2
Vemos que P y Q tienen el mismo valor numérico, y
se denota por: P(x,y) ºQ(x,y)
Teorema: Polinomios idénticos son aquellos cuyos
términos semejantes poseen el mismo coeficiente.
Ø Polinomios equivalentes
Son aquellos polinomios que teniendo formas
diferentes aceptan igual valor numérico para un
mismo sistema de valores asignados a sus variables.
Ejemplo. Dados los polinomios
P(x,y) = (x + y)2
+ (x - y)2
Q (x,y) = 2(x2
+ y2
)
Nótese que : P(x,y) y Q (x,y) son equivalentes
y denotamos:
P(x,y) Q (x,y)
Ø Polinomio idénticamente nulo
Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su
valor es cero para cualquier valor de la variable.
Ejemplo:
Si P(x) = ax4
+ bx + c es idénticamente nulo. Se
cumplirá que: a = b = c = 0 y se representa por :
P(x) º 0
Valor numérico de un polinomio
Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le
asigna un determinado valor a su variable.
Ejemplo:
Si P(x) = x3
– 5x2
+ 4, entonces
P(1) = (1)3
– 5(1)2
+ 4 = 0
P(-2) = (-2)3
– 5(-2)2
+ 4 = 6
Nota :
La suma de los coeficientes del polinomio P(x) es
P(1), es decir,
S coef. de P(x) = P(1)
El término independiente del polinomio P(x) es
P(0), es decir
T. I. de P(x) = P(0)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar la suma de valores de “n” para los cuales
la expresión.
n
n
yx 2
128
2
210
34 -
-
es un polinomio
a) –14 b) 8 c) 6 d) 9 e) 3
Solución
Por ser polinomio:
NyN n
n
ÎÎ
-
2
128
2
210
Sólo se cumple si: n = 1,2,3
å n = 1+2+3 = 6
Respuesta : alternativa “c”
2. En el polinomio homogéneo
1n42n42n41n4
yxyyxx ----
++++ L que
también es completo y ordenado se verifica que
la suma de los grados absolutos de sus
términos es de 240. Hallar su grado de
homogeneidad:
a) 4 b) 15 c) 16 d) 60 e) 4n
Solución
Por dato del problema :

3. 165
å de los grados absolutos = 240, entonces
(4n-1) + (4n-1) + (4n-1) + LL + (4n-1) = 240
como el polinomio es completo, homogéneo y
ordenado, entonces :
# de términos = G.A. + 1
además G.A. = 4n - 1
entonces # de términos = 4n
luego
240)1n4()1n4()1n4(
vecesn4
=-++-+-
444444 3444444 21
L
4n(4n-1) = 240
de donde n = 4
luego el grado de homogeneidad es:
4n-1 = 15
Respuesta: alternativa “b”
3. Dado el polinomio P(x) y Q(x), se sabe que los
polinomios: P3
(x).Q(x) y P3
(x) ¸ Q2
(x), son de
grado 17 y 2 respectivamente. Hallar el grado
de P(x).Q(x).
a) 4 b) 6 c) 10 d) 15 e) 9
Solución
Sea P(x) un polinomio de grado m
Sea Q(x) un polinomio de grado n
Luego: P3
(x).Q(x) = 3m + n
P3
(x) ¸ Q2
(x) = 3m – 2n
Entonces: 3m + n = 17
3m – 2n = 2
de donde m = 4 y n = 5
entonces P(x).Q(x) es de grado:
m + n = 9
Respuesta: alternativa “e”
4. En el polinomio
P(x + 1) = (3x+2)2n
(5x+7)2
(4x+7)
Se observa que:
3å coef = 343 veces el término independiente
Calcular el valor de n
a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 0
Solución
I. å coef = P(1)
Si x = 0
→ P(1) = 22n
. 72
. 7 = 2n . 343
II. T. Ind. = P(o)
Si: x = -1
→ P(o) = (-1)2n
. (-5 + 7)2
. (-4 + 7)= 22
. 3
Por dato: 3(22n
. 343) = 343 . 22
. 3
n = 1
Respuesta: alternativa “c”
5. Determinar el valor de “k” si el polinomio
5
202b
1a5
2b
ka2a
y3yx2x)y,x(P
+
+++
+-=
es homogéneo ; a < b < 9 , k Î Z
Solución
como P(x,y) es homogéneo entonces:
5
20b
1a
5
b
kaa
22
2 +
=++=++ Þ
5
20b
1a
5
b 22 +
=++
4
5
b
1a
5
b 22
+=++ Þ a = 3
luego como a < b < 9 entonces 3 < b < 9 y
puesto que
5
20b2
+
debe ser entero por ser
P(x,y) un polinomio, entonces b = 5. ahora
5
20b
kaa
2
2 +
=++ Þ 12 + k = 9
Þ k = -3
Respuesta: alternativa “c”