1. WENDY ANGEL GUERRERO
ING. SARA CRUZ
ADMINISTRACIÓN “E”
2013

2. INTRODUCCION
El presente portafolio es la recopilación del trabajo con las cuales obtuvimos el
conocimiento matemático y aprendizajes logrados durante este modulo de
matemáticas que contiene los trabajos que hemos desarrollado en clases
capitulo 1,2, 4 y 11 aquí podrán encontrar todos los temas llevados con sus
respectivas definiciones, reflexiones ejemplos y ejercicios.
La importancia de las matemáticas está comprobada porque siempre van
involucradas en cualquier carrera que uno elija en el futuro la cual nos
garantiza una mejor práctica educativa y un mejor razonamiento lógico en los
alumnos.
Joselyn Vega 2

3. OBJETIVOS
 Consolidar la formación de manera que permita dominar los contenidos
del modulo de matemáticas
 Destacar la importancia del desarrollo individual, e intentar integrar los
conocimientos previos en la situación de aprendizaje
 Desarrollar la capacidad para localizar información, para formular,
analizar y resolver problemas
 Aprender matemáticas en una forma distinta a otros métodos de trabajo.
Joselyn Vega 3

4. CAPITULO I
Lógica y Conjunto
1.1 PROPOSICIÓN
Una proposición es una unidad semántica que o solo es verdadero o es falso
ejemplo.
A: es un número primo
B: 2+2 es 5
C: 4 es múltiplo de 16
Oraciones que no son proposiciones
¡Auxilio!
¡Hola!
Buenas noches
1.2VALOR DE VERDAD
El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe
adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso.
Y puede ser representado de la siguiente forma:
V 1 + Si True
F 0 - No False
V 1 + Si True
Joselyn Vega 4

5. 1.3TABLA DE VERDAD
Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad
que podría tomar una proposición. Ejemplo.
A B
0 0
0 1
A
1 0
1
1 1
0
1.4 OPERADORES LÓGICOS
Operador lógico: Son usados para poder formar proposiciones más
complejas.
Negación (¬a): Este operador permite cambiar el valor de verdad de las
proposiciones.
Su tabla de verdad es la siguiente:
Los términos gramaticales más usados son: “NO”, “NO ES VERDAD”, “NO ES
CIERTO QUE “, “NI”.
Joselyn Vega 5

6. Conjunción: (a Λ b): Este operador solo es VERDADERO cuando las dos
proposiciones son verdaderas, en otro caso, es FALS. Su tabla de verdad es la
siguiente:
Los términos gramaticales más usados son: “Y”, “PERO”, “MAS” (sin tilde), sin
embargo y los signos de puntuación: coma, punto y coma, y punto.
Disyunción: (a V b) Este operador solo es FALSO solo cuando las dos
proposiciones son FALSAS, en otro caso, es VERDADERA. Su tabla de verdad
es la siguiente:
Los términos gramaticales son: “O”
Disyunción Exclusiva: (a ⊻b): Este operador solo es FALSO cuando las dos
proposiciones son FALSAS, en otro caso, es VERDADERA. Su tabla de verdad
es la siguiente.
Joselyn Vega 6

7. Sus términos gramaticales más usados son: “O…., O”.
Condicional (a→b):Este operador solo es FALSO cuando la primera
proposición es verdadera, y la segunda es falsa, en otro caso, es
VERDADERA. Su tabla de verdad es la siguiente:
Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada
simbólicamente por a →b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está
dado por la siguiente tabla de verdad.
A: Juan gana el concurso.
B: Dona 10.000 dólares.
La condicional entre a y b es:
A→B: si juan gana el concurso, dona $10.000
Joselyn Vega 7

8. Parafraseando la condicional tenemos:
Juan Gana el concurso solo si dona 10.000
 B cada vez que A
 B ya que A
 B debido a que A
 B puesto que A
 B porque A
 Se tiene B si se tiene A
 Solo si B,A
 B puesto A
 A implica B
 Cuando A,B
 Solo A son B
En base a este ejemplo, nos podemos preguntar: ¿cuándo se quebrantará la
Promesa de Juan? Esto será únicamente cuando Juan gane el concurso y no
Done el dinero.
Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional a→b, las cuales
Se denominan: recíproca, inversa y Contrareciproca (o contra positiva).
PROPOSICIÓN: a →b
RECIPROCA:b → a
INVERSA:¬a → ¬b
CONTRARECIPROCA:¬b→¬a
(a→b)= ¬b→¬a
La proposición condicional tiene equivalencia lógica con su Contrareciproca.
Bicondicional (a ↔b):Este operador es VERDADERO cuando las dos
proposiciones son VERDADERAS, y es FALSA cuando las dos proposiciones
son FALSAS. Su tabla de verdad es la siguiente:
Joselyn Vega 8

9. Los términos gramaticales más usados son:”a si y solo si b”, “ a si y solamente
si b”, “a implica que b y b implica a”, “a cuándo y solo cuando b”
A partir de la proposición:
“Si es un automóvil, entonces es un medio de transporte”.
La Recíproca sería:
“Si es un medio de transporte, entonces es un automóvil”.
La Inversa sería:
“Si no es un automóvil, entonces no es un medio de transporte”.
La Contrareciproca sería:
“Si no es un medio de transporte, entonces no es un automóvil”.
Joselyn Vega 9

10. Tarea #1
Fecha: Martes 8 de enero del 2013
Dada las siguientes preposiciones
A: Elizabeth cumple con sus obligaciones.
B: Elizabeth aprueba el examen.
C: Elizabeth se va de vacaciones.
D: Elizabeth trabaja.
E: Elizabeth come.
Traduzca literalmente las siguientes proposiciones:
I. a→¬[b→(¬c˅d)]
II. [ b ^ ¬ (d ↔ ¬ a ) ] ˅ [ ( c ˅ d ) → ( d ^ c ) ]
III. c→[(a↔d)^(b↔¬e)]
IV. (a^b)↔[c˅(d→¬e)]
Respuestas:
1. Elizabeth cumple con sus obligaciones entonces, es mentira que, si
Elizabeth aprueba el examen entonces ella se va de vacaciones y no
trabaja.
2. Elizabeth aprueba el examen y es mentira que, ella trabaja si y solo si
ella no cumple con sus obligaciones; o, si Elizabeth se va de vacaciones
o trabaja entonces ella trabaja y come.
3. Si Elizabeth se va de vacaciones entonces, ella cumple con sus
obligaciones si y solo si trabaja y Elizabeth aprueba el examen si y solo
si ella no come.
4. Elizabeth cumple con sus obligaciones y aprueba el examen; si y solo si,
ella se va de vacaciones y, si Elizabeth trabaja entonces ella no come.
Joselyn Vega 10

11. Ejercicio 2:
Teniendo las preposiciones:
A Como espinaca.
B La lógica es fácil.
C Me divierto con esto.
Parafrasear las siguientes proposiciones.
I. (a^b)↔c
II. ( b ^ c) → a
III. ¬ a → ( ¬ b ˅ ¬c )
Respuestas:
A. Primer ejercicio
1. Me divierto con esto si y solo si, como espinaca y la lógica es
fácil.
2. Como espinaca y la lógica es fácil, si y solo si me divierto con
esto.
3. Me divierto con esto si y solo si, como espinaca y también la
lógica es fácil.
4. Como espinaca aunque la lógica es fácil, si y solo si me divierto
con esto
5. Me divierto con esto si y solo si, como espinaca e incluso la lógica
es fácil.
B. Segundo ejercicio
1. Si, la lógica es fácil y me divierto con esto, entonces como
espinaca.
2. Como espinaca si, la lógica es fácil y me divierto con esto.
3. Si, la lógica es fácil e incluso me divierto con esto, entonces como
espinaca.
4. Como espinaca si, la lógica es fácil y también me divierto con
esto.
Joselyn Vega 11

12. 5. Si, la lógica es fácil aunque me divierto con esto, entonces como
espinaca.
C. Tercer ejercicio
1. Si no como espinacas entonces, la lógica no es fácil o no me
divierto con esto.
2. Si no como espinacas entonces es mentira que, la lógica es fácil y
me divierto con esto.
3. La lógica no es fácil o no me divierto con esto, si no como
espinacas.
4. Es mentira que, la lógica es fácil y me divierto con esto, si no
como espinacas.
5. Si no como espinacas entonces, la lógica no es fácil a menos que
no me divierta con esto.
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Son aquellas que no poseen operador lógico alguno. Las proposiciones
compuestas están formadas por otras proposiciones y operadores lógicos.
Ejemplo:
“Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los índices de asalto en la
ciudad y el turismo se desarrolla. Los índices de asalto no disminuyen, pero la
seguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla”.
Solución:
Se pueden identificar las siguientes proposiciones simples:
A: La seguridad privada es efectiva.
B: Los índices de asalto disminuyen en la ciudad.
C: El turismo se desarrolla.
Joselyn Vega 12

13. Los operadores lógicos que se encuentran presentes en esta proposición
compuesta son la condicional, la conjunción y la negación.
La traducción es:
[(a→(b∧c))∧(¬b∧a)]→(¬c)
TABLA DE VERDAD DE UNA FORMA PROPOSICIONAL.
Dada la siguiente forma proposicional:
A: [(p∧q)→(r∨¬p)]∧r
Debido a la presencia de las 3 variables proposicionales p, q y r, existirán
23 proposiciones posibles en la tabla de verdad de A.
Cuando las variables proposicionales p, q y r toman los valores de verdad 1,
0 y 1, respectivamente, se puede apreciar que la proposición resultante
esverdadera.
Joselyn Vega 13

14. TAUTOLÓGICA, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA
TAUTOLOGÍA: Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos
los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una
TAUTOLOGÍA
CONTRADICCIÓN: se tienen solamente proposiciones falsas para todos los
valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una
CONTRADICCIÓN
CONTINGENCIA: Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas
para los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una
CONTINGENCIA.
PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LOGICOS
Las operaciones lógicas definidas entre las formas proposicionales y algunasde
sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyesdel
Álgebra de Proposiciones o Leyes Lógicas. A continuación se presentanlas de
uso más frecuente:
Leyes de los Operadores Fundamentales Conjunción y Disyunción
Joselyn Vega 14

15. Leyes de los Operadores Negación, Condicional y Bicondicional
Leyes de las Implicaciones Lógicas.
Joselyn Vega 15

16. CONJUNTOS
Definición de Conjunto
Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una
característica o propiedad común bien definida. Ejemplos:
 Los números enteros.
 Los habitantes de la Luna.
 Los animales en extinción.
 Los números primos.
 Los paquetes de software.
 Los operadores de telefonía celular
Cuantificadores
1. Cuantificador Universal.- Cualquier expresión de la forma: “para todo”,
“todo”, “para cada”, “cada”, constituye en el lenguaje formal un
cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀
2. Cuantificador Existencial.- Cualquier expresión de la forma: “existe”,
“algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno”, constituye en el
lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de
∃.
Ejemplos:
∀x, 2x+3x = 5x Se lee “Para todo número x se cumple que 2x+3x=5x”.
∃x, 2x+2 = 4 Se lee “Existe al menos un número x, para el cual 2x+2=4”.
Subconjunto.- El conjunto A es subconjunto de B si y sólo si los elementos de
A están contenidos en B. Simbólicamente, este concepto se representa por:
(A ⊆ B)⇔∀x [(x ∈A) →(x ∈B)]
Si A es subconjunto de B (A ⊆ B) pero B no es subconjunto de A (B A), se dice
que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B, lo cual se representa por:
(A ⊂ B)⇔ [(A ⊆ B) ∧¬(A = B)]
Joselyn Vega 16

17. Conjunto Potencia.- Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que
está formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se
utiliza para este conjunto es P(A).P(A) = {B/B ⊆ A}
Relaciones entre conjuntos
(Igualdad entre conjuntos)
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.Es
decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbólicamente,este
concepto se representa por:
(A = B)⇔[(A ⊆ B)∧(B ⊆ A)]
Representación
Subconjunto propio= ⊂
Subconjunto= ⊆
Conjunto= ∈
No pertenece al conjunto= 
Dos conjunto s iguales= A=b
Unión entre dos conjuntos= AB
Intersección entre dos conjuntos= AB
No pertenece a un subconjunto= 
Ejemplos:
Si A = {*, +, a}, entonces P(A) = {∅, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a}, {+, a}, A}.
A partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas:
{*, +} ⊂ A= falso
{*, +} ∈P(A)= verdadero
Joselyn Vega 17

18. ∅∈P(A)= verdadero
ejercicio 84:
Determine cuál de los siguientes conjuntos es vacío:
a) A = {{∅}}
b) D = {∅}
c) B = {∅,{∅}}
d) C = {∅, ∅}
e) M = { x/x ≠ x}= es conjunto vacío
Ejercicio 85:
Sean A, B, C, D y M como en el ejercicio anterior.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) N(A) = N(D)= verdadero
b) N(D) = N(C)= verdadero
c) N(C) = N(M)= falso
d) N(C) = 1= verdadero
e) N(B) = N(C) + 1= verdadero
Ejercicio 87:
Siendo A ={a,{b}, c,{d, e}} y B ={b, c}, encuentre el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
a) ¬(b ∈ a)= verdadero
b) B ⊆ A = falso
c) B ∈ A = falso
Joselyn Vega 18

19. d) A ∩ B ={c} = verdadero
e) {b} ∈ B= falso
Ejercicio 87:
Sea A ={a, {b}}. Entonces es verdad que:
a) ∅∈A= falso
b) a⊆ A = falso
c) {{b }} ∈A= falso
Operaciones Entre Conjuntos
Unión entre conjuntos.- La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo
conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto
B. Se denota por A∪B y se define como:
A∪B = {x/(x ∈A)∨(x ∈B)}
Intersección entre conjuntos.- La intersección entre los conjuntos A y B es
un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al
conjunto B. Se denota por A∩B y se define como:
A∩B = {x/(x ∈A)∧(x ∈B)}
Joselyn Vega 19

20. Diferencia entre conjuntos.- La diferencia entre los conjuntos A y B es un
nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero
no pertenecen al conjunto B. Se denota por A−B y se define como:
A−B = {x/(x ∈A)∧¬(x ∈B)}
Diferencia simétrica entre conjuntos.- La diferencia simétrica entre los
conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que
pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por AΔB y se define
como: AΔB = (A−B)∪(B−A), o también:
AΔB = {x/[(x ∈A)∧¬(x ∈B)]∨[(x ∈B)∧¬(x ∈A)]}
Complementación de conjuntos.- La complementación de un conjunto A es un
nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al
conjunto A. Se denota por AC y se define como:
AC = {x/(x ∈Re)∧¬(x ∈A)}
Joselyn Vega 20

21. Ejemplos
98) si A = , entonces
99) Sean A, B, C conjuntos no vacios. Respecto del siguiente diagrama de Venn
Re
A B
C
La región sombreada corresponde a:
a)
Re
A B
C
Joselyn Vega 21

22. b)
Re
A B
C
c)
Re
A B
C
d)
Re
A B
C
c
Joselyn Vega 22

23. 100) Sean A, B y C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de ven.
A
C
B
La región sombreada a:
a) b)
Re Re
A A
C C
B B
Propiedades De Las Operaciones Entre Conjuntos
Las operaciones entre conjuntos y algunas de sus más importantes
propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Conjuntos.
A continuación se presentan las de uso más frecuente:
Joselyn Vega 23

24. Leyes de las Operaciones Fundamentales Unión e Intersección
PREDICADOS
Predicados de una variable.- Son expresiones en términos de una variable
que al ser reemplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se
convierten en proposiciones. Si x representa a cualquier elemento de Re,
entonces la expresión p(x) se definirá como predicado.
La notación para los predicados será: p(x), q(x), r(x), etc.
Conjunto de verdad de un predicado.- Es el conjunto formado por todos los
elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposición
verdadera. La notación a utilizar para este conjunto es Ap(x), y se define como:
Ap(x) = {x/(x ∈Re)∧(p(x)⇔1)}
Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores.- Una proposición
que contiene un cuantificador universal es verdadera si y sólo si el conjunto de
verdad del predicado es igual al conjunto referencial de la expresión abierta.
∀xp(x)⇔(Ap(x) = Re)
Una proposición con un cuantificador existencial es verdadera si y sólo si el
conjunto de verdad del predicado no es vacío.
∃xp(x)⇔¬(Ap(x) = ∅)
Joselyn Vega 24

25. NUMEROS REALES
Tanto los números racionales como los irracionales forman el conjunto de los
números reales R= Q∪I. La siguiente figura muestra cómo se relacionan los
conjuntos numéricos mencionados:
Recta de los Números Reales.
CONVERTIR UN DECIMAL A FRACCIÓN.
1- Denominar como x al número decimal periódico.
2- Localizar el periodo del número.
3- Llevar el punto decimal después del primer periodo, multiplicando al número
x por l potencia de base diez, correspondiente a la cantidad de decimales
recorridos.
4- Llevar el punto decimal ante del primer periodo, multiplicando el numero por
la potencia de base diez, correspondiente a la cantidad de decimales
recorridos.
Joselyn Vega 25

26. 5- Restar las expresiones obtenidas en los numerales 3 y 4.
6- Despejar x.
7- Simplificar en caso de ser posible.
Paso 1 X=0.333333… X=0.16666666… X=0.142857142857…
Paso 2 Periodo:3 Periodo:6 Periodo:142857
Paso 3 =3.3333… 16.6666…
Paso 4 =0.3333… 1.6666… =0.142857…
Paso 5 9x=3 90x=15 999999x=142857
Paso 6 X= x= X=
Paso 7 X= X= X=
Operaciones binarias
La operación binaria puede ser considerada como una función x
Tenemos que tomar en cuenta lo siguiente:
 El orden de a y b es importante, porque (a, b)es un par ordenado y
podría suceder que .
 La operación tiene que estar definida para todos los pares ordenados (a,
b).
Propiedades de las operaciones binarias
Joselyn Vega 26

27. Propiedad clausurativa: indica que el resultado de la operaciónbinariadebe
pertenecer al conjunto que se toma como referencia.
La propiedad conmutativa: indica que el orden de los operando no es
importante al realizar la operación.
La propiedad asociativa: indica que se pueden agrupar en diferente forma los
elementos de la operación.
La propiedad de poseer elemento neutro indica que al realizar la operación
entre cualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, no lo
modifica al primero.
La propiedad de poseer elemento inverso nos indica que al realizar la
operación la operación entre cualquier elemento del referencial y este
elemento, o viceversa, se obtiene el elemento neutro. Esta propiedad solo
deberá probarse en caso de existir elemento neutro.
Ejemplos ejercicios propuestos
¿La adición de los números irracionales cumple la propiedad
clausurativa? Si no la cumple, construya un contraejemplo.
Para cada elemento Δx a,b Δ Z
Si la cumple
5. El producto de los números irracionales cumple la propiedad
clausurativa.
a) Verdadero b) Falso
Si: a= π ˅ b =π ˅ Є I → a .bЄ I
(π) (π) = π2π2 Є I
6. Dado el conjunto S = {1, 2, 3, 4} y la operación binaria en S definida
como:
Indicar cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:
Joselyn Vega 27

28. a) La operación no es conmutativa.
b) La operación no es asociativa.
c) El elemento neutro es 1.
d)
e)
6. Sea G = {a, b, c}, si sobre este conjunto se define la operación binaria
quese representa en la siguiente tabla.
∇ a b c
A b a a
b b c b
C a b c
Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa.
a) La operación binaria ∇ es conmutativa.
b) La operación binaria ∇ es asociativa.
c)
d)
e) [(a ∇b) ∇ (a ∇c)] = (c ∇b)
a) b) [(a ∇b) ∇c = (a ∇(b∇c) c) c∇c = c
c= c
1
0 1
d) = [(b∇c) ∇a e) [( ∇ c) ∇ ( ∇ c) = (b ∇ c)
b = [(b∇a [ ∇ =b
b=b b=b
1
Operaciones entre Números Reales
En el conjunto de números reales se definen las operaciones de adición (+)
ymultiplicación (.), las cuales se definen a continuación:
Joselyn Vega 28

29. Adición
Propiedades
Conmutativa
Asociativa
0 es elemento neutro
aditivo
es el elemento inverso
aditivo
Multiplicación:
Propiedades
Conmutativa
Asociativa
1 es el elemento neutro
multiplicativo
B es elemento inverso
multiplicativo
A más de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva paraestas operaciones, la
cual puede expresarse así:
Relación de Orden
Joselyn Vega 29

30. Aquí en la recta numérica se observa que los enteros están ``ordenados´´ de
tal manera que un número es mayor que otro mientras más a la derecha se
encuentre de él.
Con el objeto de precisar este orden, se define una relación ``mayor que´´ entre
los elementos de , que se simboliza por
Ejemplo de orden de
Otras relaciones que se deben considerar son: “menor que”, cuyo símboloes <;
“menor o igual que”, cuyo símbolo es ≤; “mayor o igual que”, cuyosímbolo es ≥.
Además, se puede observar que el conjunto cumple con las
siguientespropiedades:
Relación de orden de números reales
En general el conjunto formado por los números reales, a
pesar de que la construcción rigurosa es un tanto complicada, en la práctica, a
partir de la presentación por medio de puntos en la recta numérica se puede
observar que si el numero está situado a la derecha del numero , se dice que
, o también que .
Joselyn Vega 30

31. Tricotomía de los Números Reales
Dados los números reales, siempre es posible relacionar su orden, de tal
manera que uno es mayor que otro o son iguales.
Divisores y múltiplos de un número entero
Ejemplo:
-20 es múltiplo de 10 porque -20= (-2) (10)
2 es factor o divisor de -20 porque -20= (2) (-10).
5 y 7 son factores o divisores de 35, por que 35 es múltiplo de 5 y 7.
En muchas ocasiones, no es necesario saber si un número entero divide a otro
sin necesidad de efectuar una división. Para ello, se aplican las sencillas reglas
o criterios de divisibilidad.
Un número entero es divisible:
 2: si termina en 0 o en cifra par.
 3: si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
 4: si sus dos últimas son 00 o es múltiplo de 4.
 5: si termina en 0 o en 5.
 6: si lo es por 2 y por 3 a la vez.
 8: si sus tres últimas cifras son 000 0 es múltiplo de 8.
 9: si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
 10: si termina en 0.
Joselyn Vega 31

32. NÚMEROS PRIMOS
P={1, 3,5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41, 43, 47,…}
NÚMERO COMPUESTO
.
Teorema Fundamental De La Aritmética
Todo número compuesto se puede descomponer de manera única como el
producto de números primos. Ejemplo:
Descomponer los números 87, 105, 2310 en sus factores primos.
Solución:
 Puesto que 8+7= 15 es múltiplo de 3, 87 también lo es. Efectuando la
división por tres, el otro factor 29, que es primo. Luego, 87 = (3) (29).
 Como 105 termina en 5, es divisible para 5. Efectuando la división por 5,
el otro factor es 21, el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7.
luego, 105 = (3) (5) (7).
 Como 2310es un numero mas grande, lo iremos dividiendo
sucesivamente por todos los números primos menores que él, por los
cuales sea divisible.
Luego, 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)
Joselyn Vega 32

33. Máximo Común Divisor
Ejemplo:
 Considerando el ejemplo anterior, el M.C.D. de los números 87, 105, y
2310 es 3.
 En el conjunto de los números 24, 36, 48:
 24 = (
 36 =
 48 =
 M.C.D.:
Mínimo Común Múltiplo
NÚMEROS PARES E IMPARES
Ejemplo de números pares e impares
 12 es par por que 2 =(2)(6)
 -5 es impar -5 = (2)(-3)+1
 0 es par porque = (2)(0)
 31es impar porque 31 = (2)(15)+1
 -140 es par por que -140 = (2)(-70)
 81 es impar porque 81 0 (2)(40)+1
Joselyn Vega 33

34. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trata del cálculo con símbolos literales y con operaciones abstractas que
generalizan las cuatro operaciones fundamentales.
El álgebra usa símbolos, en particulares las letras del abecedario en español,
con estos, se efectúan las mismas operaciones que en la aritmética, es
decir:
Es la combinación de símbolos (números y letras), a través de las diferentes
operaciones fundamentales.
Ejemplo:
Si la expresión algebraica tiene un solo termino se denomina monomio, si tiene
dos términos se denomina binomio, si tiene tres términos trinomio, y si la
expresión tiene en general más de un término se les denomina polinomios.
Se denominan términos semejantes aquellos que tienen el mismo factor literal.
Al reducir términos semejantes queremos reemplazar a todos ellos en uno solo.
Ejemplo de operaciones con fracciones
9. El valor de la expresión
a) b) c) d) e)
Joselyn Vega 34

35. PRODUCTOS NOTABLES
Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse
directamente, sin haber paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de
multiplicar del algebra elemental.
Los principales productos notables son:
 Cuadrado del binomio
 Suma por diferencia
 Producto de un binomio con un término repetido
 Cubo de un binomio
 Cuadrado de un trinomio
 Productos que desembocan en la suma de cubos perfectos
Joselyn Vega 35

36. FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como el producto
más simple de sus factores. Para llevarlas a cabo, lo primero que debe hacerse
es poner en evidencia un factor común, si es que lo hay, luego analizar si el
factor no común corresponde al desarrollo de uno o as de los productos
notables, todas las expresiones correspondientes a los productos notables
pueden ser usadas como expresiones de factorización si las leemos de
derecha a izquierda.
A continuación se ilustra la operatividad de los casos de factorización:
 Factor común
 Agrupación de términos
 Trinomio cuadrado perfecto
 Diferencia de cuadrados perfectos
 Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Joselyn Vega 36

37.  Trinomio de la forma
 Trinomio de la forma
 Cubo perfecto de binomios
 Suma o diferencia de dos potencias impares
Ejemplo de productos notables y factorización
Simplificar la expresión algebraica:
Solución:
RACIONALIZACIÓN
Joselyn Vega 37

38. Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo
denominador es irracional en una fracción equivalente, cuyo denominador sea
racional, cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción,
desaparece todo signo radical del denominador.
VALOR ABSOLUTO
Todo número se caracteriza por dos elementos: su valor absoluto y su signo.
Ejemplos de valor absoluto
 En el entero −5, el valor absoluto es 5 y el signo es negativo.
 En el entero 7, el valor absoluto es 7 y el signo es positivo.
 En el entero 0, el valor absoluto es 0 y no tiene signo.
Para poder definir el valor absoluto es necesario conocer el concepto de
intervalo. Si utilizamos el conjunto de los números reales, podemos definir
intervalos como subconjuntos de este conjunto.
Tipos de intervalo
Joselyn Vega 38

39. ▪ Intervalo cerrado

[////////////////////////]
a b
▪ Intervalo abierto

( /////////////////////////////////////////)
a b
▪ Intervalo semiabierto / semicerrado

[////////////////////////////////////)
a b

(/////////////////////////////////////]
a b
▪ Intervalos con extremo infinito
Joselyn Vega 39

40. 
/////////////////////////////////////]
a

///////////////////////////////////////)
a
Factorial
Sea n un entero no negativo, su factorial se calcula de la siguiente manera
Al encontral el valor de 6! Se obtiene:
6!=6.5
=6.5.4!
=6.5.4.3!
=6.5.4.3.2!
=6.5.4.3.2.1!
=6.5.4.3.2.0!
=720
PERMUTACIONES
Joselyn Vega 40

41. Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjuntode objetos,
considerando el orden en su ubicación. El número depermutaciones posibles
de n objetos tomando m de ellos a la vez, se simboliza como y se lo calcula
así:
N: opciones establecidas
M: número de posibilidades
Ejemplos:
En una carrera participan 10 atletas. ¿De cuántas formas distintaspodrán ser
premiados los tres primeros lugares con medalla de oro,plata y bronce?
Solución:
Se busca las diferentes ternas (m = 3) que se pueden formar con los 10atletas
(n = 10).
Combinaciones.- Una combinación es cada uno de los diferentes arreglos que
sepueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado,sin
considerar el orden en su ubicación. El número de combinacionesposibles de n
objetos tomando m de ellos a la vez, se simboliza como y se calcula así:
Ejemplos:
Joselyn Vega 41

42. Para un cierto experimento se seleccionan 3 ratones de un grupo de 5blancos y
4 cafés.
a) ¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 ratones blancos?
b) ¿De cuántas maneras se pueden escoger 2 ratones blancos y 1 café?
c) ¿De cuántas maneras se pueden escoger 1 ratón blanco y 2 cafés?
TEOREMA DE BINOMIO
Formula general:
n : Exponente del binomio.
i : Posición del término en el desarrollo del binomio disminuido en 1.
a, b : Términos del binomio.
Ejemplos:
Joselyn Vega 42

43. Encontrar el término central en el desarrollo de:
Solución: Como n = 12, entonces la cantidad de términos es 13 y el término
centrales el séptimo, con lo que i = 6.
El séptimo término tendrá la forma:
Calculando:
Estadística y Probabilidades
Probabilidades.-
Laramadelamatemáticaconocidaactualmentecomoprobabilidadconsiste
enelestudiodeciertosexperimentosllamadosaleatorios,esdecir,libresde
determinación previa
Experimentos aleatorios
 Lanzamiento de un dado.
 Lanzamiento de una moneda.
 Lanzamiento de dos monedas.
 Extracción de una carta de un mazo de naipes.
Sedenominaespaciomuestral(Ω)asociadoaunexperimentoaleatorio, al
conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento
Espacios muéstrales ejemplos:
Joselyn Vega 43

44.  Al lanzar un dado, el espacio muestral es:
 Ω={1,2,3,4,5,6}
 Al lanzar una moneda, el espacio muestral es:
 Ω={c,s}
 Donde: c:cara
 s:sello
 Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es:
 Ω={(c,c),(c,s),(s,c),(s,s)}
 Observequeelresultado(c,s)≠(s,c),esdecir,esimportanteel orden.
 Alextraerunacartadeunmazodenaipes,elespaciomuestralconsta de
52elementos.
Eventos o sucesos
EnelespaciomuestralΩ= {1,2,3,4,5,6},relacionadoconel lanzamiento de un dado,
los siguientes son eventos:
 Obtener un número primo:
 A={2,3,5}
 Obtener un número primo y par:
 B={2}
 Obtener un número mayor o igual que 5:
 C={5,6}
Eventos mutuamente excluyentes
 En el lanzamiento de un dado, los eventos:
Joselyn Vega 44

45.  A:obtener un número par.
 B:obtener el número 3.
Ay Bson mutuamente excluyentes.
El espacio muestral es Ω={1,2,3,4,5,6},y los eventos son:
A={2,4,6}y B={3}.
Como A∩B =∅ ,Ay Bson mutuamente excluyentes.
 En el lanzamiento de una moneda, los eventos:
A:obtener cara.
B:obtener sello.
Ay Bson mutuamente excluyentes.
ElespaciomuestralesΩ={c,s},yloseventossonA={c}yB={s}. Como A∩B =∅ , Ay
Bson mutuamente excluyentes.
Enesteúltimocaso,ademásA∪ B=Ω, porloqueAyBse
denominaráneventoscomplementarios,esdecir,uneventoesel complemento
del otro:
AC =ByBC =A
PROBABILIDADCLÁSICA
Sienunexperimentoaleatoriotodoslosresultadossonequiprobables(igual
Joselyn Vega 45

46. probabilidad), esdecir,laocurrenciadeunoesigualmenteposiblequela ocurrencia
de cualquiera de los demás, entonces la probabilidaddeun eventoAes la
razón:
CAPITULO 4
TRIGONOMETRÍA
Semirrecta.- Una semirrecta es la parte de una recta que está a un lado de la
misma,desde un punto fijo llamado extremo y se extiende indefinidamente
enuna sola dirección.
Ángulo.- Es la unión de dos semirrectas que se intersecan en su extremo
Una de las semirrectas se conoce como el lado inicial del ángulo, mientrasque
la otra recibe el nombre de lado terminal o final. El extremo donde seintersecan
las semirrectas se denomina vértice del ángulo.
Se puede designar a los ángulos, por medio de puntos de las semirrectas
outilizando solamente el vértice, si es
que no hay confusión. Por ejemplo:
Joselyn Vega 46

47. Posiciones de los cuadrantes.
Unidades angulares
Algunas equivalencias importantes son las siguientes:
 360º representan un giro completo alrededor de una circunferencia.
 180º representan 1
 2 de vuelta alrededor de una circunferencia.
 90º representan 1
 4 de vuelta.
 1º representa 1
 360 de vuelta.
 1º representa 60 minutos (‛).
 1‛ representa 60 segundos (‛‛).
Joselyn Vega 47

48. Medidas En Radianes
Clases De Ángulos
Coterminales.- Son aquellos ángulos que tienen los mismos lados inicial y
terminal. Ejemplo
Sean 3. Graficando se observa que los ángulos son
Coterminales.
Joselyn Vega 48

49. Consecutivos.- Dos ángulos de un mismo plano son consecutivos cuando sólo
tienenun lado en común. Ejemplo
Adyacentes.- Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los
ladosno comunes son semirrectas en la misma dirección, pero en
sentidocontrario. La suma de las medidas de estos ángulos es 180º.
Complementarios.- Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus
medidas constituye la medida de un ángulo recto: α + β = 90º
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50. Suplementarios.- Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus
medidasconstituye la medida de dos ángulos rectos: α + β = 180º.
Opuestos por el vértice.- Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice
cuando los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas a los lados del otro,
verificándose que α = β.
Joselyn Vega 50

51. Conversión De Unidades Angulares
 Grados sexagesimales a radianes.
a) 15º
b) 390º
c) -75º
d) -150º
Solución:
 Radianes a grados sexagesimales
Joselyn Vega 51

52. Solución:
Joselyn Vega 52