Este documento trata sobre lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y cómo definen nociones matemáticas usando lenguaje formal. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. También explica cómo clasificar proposiciones en simples y compuestas, y los diferentes conectivos lógicos como la conjunción y la condicional que permiten formar proposiciones compuestas

1. Trabajo De Lógica Matemática
Profesor= Francisco Gongora
Área= Lógica Matemática
Heidi Alejandra Quevedo Toro
Colegio Alberto Santofimio Caicedo
Grado= 10-1
Ibagué-Tolima
2017

2. Concepto Lógica Matemática
La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica
formal, o logística,1 es parte tanto de la lógica y como de la matemática, y consiste
en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras
áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas
conexiones con las ciencias de la computación y con la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el
que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje
formal.
La lógica matemática se suele dividir en cuatro subcampos: teoría de
modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La
investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio
de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de
la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y
estudiadas matemáticamente.
La lógica matemática comprende dos áreas de investigación distintas: la primera es
la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el razonamiento
matemático y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de técnicas matemáticas
a la representación y el análisis de la lógica formal.
Clase De Preposiciones
En adelante cuando hablemos de proposiciones, éstas serán lógicas. Si son
abiertas, significará que su dominio está bien definido y la harán lógica por lo tanto.
Para operar con las proposiciones, éstas se clasifican en dos tipos: Simples y
Compuestas, dependiendo de cómo están conformadas.
Proposiciones Simples
Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no")
o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones

3. ("sí. . . entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el
predicado, pero no entre oraciones componentes.
Proposiciones Compuestas
Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por
negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes.
Ejemplos
Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:
1) Carlos Fuentes es un escritor. (Simple)
2) Sen(x) no es un número mayor que 1. (Compuesta)
3) El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple)
4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta)
5) El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple)
6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta)
7) Si x es número primo, entonces x impar. (Compuesta)
8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. (Compuesta)
9) No todos los números primos son impares. (Compuesta)
Conectivos Lógicos En Proposiciones Compuestas
Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones
compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores
básicos son:
Operador and (y)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda
obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se
le conoce como la multiplicación lógica: Ejemplo. Sea el siguiente enunciado "El
coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería
“Sean: El coche enciende: Tiene gasolina el tanque: Tiene corriente la batería. De
tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica
escomo sigue = q Ù su tabla de verdad es como sigue:
q
R
p = q Ù r
1 1 11 0 00 1 00 0 0Donde.
1 = verdadero

4. 0 = falso
En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1
significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r=1 significa que el coche puede
encender. Se puede
q r P=qur
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Proposiciones Condicionales
Considera la siguiente proposición: "Si obtienes una A en lógica, entonces te voy a
comprar un Mustang amarillo." Esta parece ser compuesta en dos oraciones más
simplemente:
p: "Obtienes una A en lógica," y
q: "Te voy a comprar un Mustang amarillo."
La proposición original quiere decir lo siguiente: Si p es verdad, entonces q es
verdad, o, más simple, si p, entonces q. También podemos escribir la frase como
p implica q, y escribimos p→q.
Ahora supongamos por el bien de la discusión de que la proposición original: "Si
obtiene una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo," es verdad.
Esto no significa que tú obtendrás una A en lógica; lo único que quiere decir es que
si tú lo haces, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo. Si Pensamos en esto
como una promesa, la única manera que pueda ser rota esta promesa es si ganas
una A pero no te compro un Mustang amarillo. En general, usamos esta idea para
definir la proposición p→q.

5. Preposiciones Bicondicional
Ya vimos que p→q no es lo mismo que q→p. Puede ocurrir, sin embargó, que
ambos p→q y q→p son verdaderas. Por ejemplo, si p: "0 = 1" y q: "1 = 2," entonces
p→q y q→p ambas son verdaderas porque p y q ambas son falsas. La proposición
p↔q se define como la proposición(p→q) (q→p). Por esta razón, la flecha de doble
cabeza ↔ se llama el bicondicional. Obtenemos la tabla de verdad para p↔q
construyendo la tabla para (p→q) (q→p), que nos da lo siguiente.
Tautología, Equivalencia Y Contradicción
•TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para
todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones
componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad
de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las
relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
Equivalencia: Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella
proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y
contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el
caso:

6. •CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción,
aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor
siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad
de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las
relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
Leyes Notables En Lógica
1. Ley de doble negación: Dentro de un sistema de lógica clásica, la doble
negación, esto es, la negación de la negación de una proposición p, es
lógicamente equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p.
En lógica intuicionista, una proposición implica su doble negación, pero no
al revés. Esto marca una importante diferencia entre la negación clásica e
intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamada
una involución de periodo dos.
Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre ¬¬¬p y
¬p. Es más, en el caso proposicional, una oración es demostrable de forma
clásica, si su doble negación es demostrable de manera intuicionista. Este
resultado es conocido como el teorema de Glivenko.
2. Leyes de impotencia: En matemática y lógica, la impotencia es la propiedad
para realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el
mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento
que cumple esta propiedad es un elemento impotente, o un impotente. De
esta manera, si un elemento al multiplicarse por sí mismo sucesivas veces
da él mismo, este elemento es impotente. Por ejemplo, los dos
únicos números reales que son impotentes, para la operación producto (·),
son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).

7. 3. Leyes asociativas: Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa
cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o
cuando multiplicas.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
4. Leyes conmutativas: Las "leyes conmutativas" sólo quieren decir que
puedes intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la
respuesta va a ser la misma.
a + b = b + a
a × b = b × a
5. Leyes distributivas: La "ley distributiva" es la MEJOR de todas, pero hay
que usarla con mucho cuidado Quiere decir que la respuesta es la misma
cuando:
 sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o
 haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados
Así:
(a + b) × c = a × c + b × c
6. Leyes de De Morgan: En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes
de De Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas
de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de
las conjunciones y disyunciones puramente en términos de sí vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
o informalmente como:
"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"
y también,
"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"

8. Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos
proposiciones P y Q, de esta forma:
Métodos De Demostración
Métodos de Demostración en Matemática. ... El método de demostración directo
tiene como fundamento lógico la regla de inferencia clásica o esquema
argumentativo válido llamado Modus Ponen: [ P∧ (P→Q) ] →Que significa: si la
hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la conclusión Q entonces la
conclusión Q es verdadera.