Este trabajo hablo la Lógica Matematica

1. Introducción a la lógica
Fundamentos Matemáticos

2. Elementos de lógica proposicional

3. Proposiciones
• Proposición: Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es
verdadera o sólo es falsa. Por esta razón, las oraciones que no son
falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o
las que carecen de sentido no son consideradas proposiciones
• Valor de verdad: Es la cualidad de veracidad que describe
apropiadamente a una proposición, esta puede ser verdadera o falsa.
• Tabla de verdad: Es una representación de los posibles valores de
verdad que podría tomar una proposición.

4. Ejercicios
Indique si cada enunciado es o no una proposición:
• 7415 es un número par.
• ¿Qué hora es?
• Los número divisibles para 8 son divisibles para 2.
• ¡Pare por favor!
• El atardecer en la playa es romántico
• La edad de Gloria es 17 años
• Guayaquil es la capital económica del Ecuador
• Galápagos es considerado Patrimonio Cultural de la Humanidad
• Mi familia y yo viajaremos a la Sierra en fin de año

5. Operadores lógicos
• Operador Lógico: Son usados para poder formar
proposiciones mas complejas.
• Negación (¬a): Este operador permite cambiar
el valor de verdad de las proposiciones. Su tabla
de verdad es la siguiente (Los términos
gramaticales más usados son: “No”, ”No es
verdad”, ”No es cierto que”, ”Ni”)
a ¬a
1 0
0 1

6. Operadores lógicos
• Conjunción ( a ∧ b ): Este operador solo es
VERDADERO cuando las dos proposiciones son
VERDADERAS, en otro caso, es FALSA. Los términos
gramaticales mas usados son: “Y”, “PERO”, “MAS (sin
tilde)”, ”SIN EMBARGO” y los signos de puntuación:
coma, punto y coma, y punto ,Su tabla de verdad es
la siguiente:
a b a ∧b
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

7. Operadores lógicos
• Disyunción ( a ∨ b ): Este operador solo es FALSO
cuando las dos proposiciones son FALSAS, en otro
caso, es VERDADERA. Los términos gramaticales mas
usados son: “O”. Su tabla de verdad es la siguiente:
a b a∨b
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

8. Operadores lógicos
• Disyunción exclusiva ( a ∨ b ): Este operador solo es
FALSO cuando las dos proposiciones son FALSAS, en
otro caso, es VERDADERA. Los términos gramaticales
mas usados son: “O…, O”. Su tabla de verdad es la
siguiente:
a b a∨b
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

9. Operadores lógicos
• Condicional( a → b ): Este operador solo es FALSO
cuando la primera proposición es verdadera, y la
segunda es falsa, en otro caso, es VERDADERA. Los
términos gramaticales mas usados son: “Si a,
entonces b”, “a solamente si b”. Su tabla de verdad
es la siguiente:
a b a →b
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

11. Operadores lógicos
• Bicondicional ( a ↔ b ): Este operador solo es
VERDADERO cuando las dos proposiciones son
VERDADERAS, y es FALSA cuando las dos
proposiciones son FALSAS. Los términos gramaticales
más usados son: “a si y solo si b”, “a si y solamente si
b”. Su tabla de verdad es la siguiente:
a b a↔b
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

12. Ejercicios
Dadas las siguientes proposiciones, traducir literalmente las
siguientes proposiciones:
• a) Elizabeth cumple con sus obligaciones
• b) Elizabeth aprueba el examen
• c) Elizabeth se va de vacaciones
• d) Elizabeth trabaja
• e) Elizabeth no come

13. Proposiciones Simples y Compuestas
• Proposiciones Simples: Son aquellas que no
poseen operador lógico alguno. También son
llamadas proposiciones atómicas.
• Proposiciones Compuestas: Son aquellas que
están formadas por proposiciones simples y
operadores lógicos. También son llamadas
proposiciones moleculares

14. Ejercicios
• Si la proposición es falsa,
entonces una de las siguientes proposiciones
es falsa, identifíquela:

15. Principios lógicos
• La consecuencia sistemática entre las ideas y
pensamientos se llama coherencia.
La inteligencia es una actividad que se ejerce en el
tiempo, puesto que lo pensamientos, o mejor
dicho el pensar, es un proceso de cierta duración
durante el cual se van desenvolviendo ideas. Pero
entre estas ideas debe existir un enlace tal que no
sea puramente mecánico, sino que debe existir
una consecuencia sistemática.

16. Los principios lógicos
Constituyen las verdades primeras “evidentes” por sí mismas, a partir de las
cuales se construye todo el edificio formal del pensamiento. Son los
fundamentos que determinan ciertas reglas a seguir, para lograr la
coherencia y sistematicidad de los pensamientos en las formas y
contenidos.
Los principio lógicos son:
• Principio de identidad
• Principio de contradicción
• Principio de exclusión; del término medio (o principio del medio excluido
o principio del tercero excluido o principio del tercer término excluido)
• Principio de razón suficiente

17. Principio de identidad
• Todo objeto es idéntico a sí mismo “A es A”
• El principio de identidad cobra importancia para nuestro
entendimiento en la medida que el predicado exprese notas
complementarias al sujeto.
• Bolívar es Bolívar (no posee valor) Bolívar es el libertados de cinco
naciones. Bolívar es el libertados de la Nueva Granada. En la
segunda y tercera oración, el sujeto va acompañado de dos
adjetivos que al utilizarlos individualmente nos remiten al sujeto.
Así “El libertados, sabemos que se está hablando de Bolívar ”

18. Principio de Contradicción
• El ser es y no puede a la vez no ser (“A es A” y
“A no es A” no son ambos verdaderos)
• Si se tienen los juicios S es P y S no es P, es
imposible que ambos juicios sean verdaderos
a la vez, en el mismo tiempo y circunstancias;
por ejemplo “los metales son duros, los
metales no son duros”

19. El principio de exclusión del término medio
• Dados dos juicios contradictorios entre sí: (A es
B); (A no es B), hemos de reconocer que alguno
será verdadero y el otro necesariamente falso, no
existiendo un tercer modo de ser. Igualmente se
excluye la posibilidad de un tercer juicio con los
mismos elementos A y B.
• El juicio “A es A” y su contradictorio, el juicio “A
no es A” no pueden ser falsos a la vez (“A es A” y
“A no es A” no son ambos falsos)

20. El principio de razón suficiente
• Este principio plantea la necesidad de
justificar los conocimientos de una forma
razonable, es decir, ordenada y lógica. Sólo es
verdadero aquello que se puede probar
suficientemente, basándose en otros
conocimientos o razones ya demostradas.
• Nada es sin razón suficiente (Todo
conocimiento tiene que estar fundado)

21. Funciones Proposicionales
• Gustavo es médico
• Alvaro es médico
• Enrique es médico
X es médico, en donde x es una variable que
toma valores dentro de un conjunto llamado
“conjunto de referencia”. Expresiones de esa
forma son llamadas “funciones proposicionales”

22. Inferencia Lógica
• Considere los siguientes casos que pueden darse en la vida cotidiana.
• Un joven le dice a un amigo: tú todos los días dices mentiras, y el contesta:
no es cierto, ayer en todo el día no dije una sóla mentira.
• Si llueve hay nubes. Y si hay nubes ¿qué se puede deducir?
• Si hace la tarea te llevo al cine. Pero si ya estás en el cine, ¿qué puede eso
significar?
• Todos los libros sobre computadores son terriblemente aburridos. Éste es
un libro sobre computadores. Este libro es terriblemente aburrido.

23. Inferencia Lógica
• Una inferencia lógica es un razonamiento
expresado en una frase cuya última parte se
afirma con base a lo que previamente se haya
declarado.

24. Aspectos del razonamiento
El término razonamiento tiene dos acepciones:
• Funcional (la relación entre las premisas y la
conclusión)
• Procesal (la actividad del agente que razona)

25. Significado Funcional
• La lógica se ocupa de los razonamientos en el
sentido funcional
• De hecho, en el proceso que lleva de las
premisas a la conclusión pueden encadenarse
múltiples pasos elementales
• La lógica inferencial estudia las condiciones
bajo las cuales estos pasos son correctos.

26. Significado Procesal
• En el caso de que el agente sea humano, de
los aspectos procesales de los razonamientos
se ocupa la psicología.
• Pero si el agente es un artefacto, por ejemplo,
un computador, entonces es un asunto propio
de la inteligencia artificial.

27. La inferencia es un razonamiento formal
• Una inferencia es simplemente un
razonamiento formal, en el sentido de que lo
importante es la forma de las premisas y la
conclusión, y la relación entre ellas, mas no su
contenido.

28. Inferencias con condicionales
Las condicionales junto con otras proposiciones, forman
inferencias
• Todos los hombres son mortales. Sócrates es un hombre,
Sócrates es mortal.
• Si estudio, aprendo. Es así que estudio, luego aprendo
La conclusión de una inferencia es la proposición que se
afirma sobre la base de las otras proposiciones que nos dan
los elementos de juicio o razones para aceptar la conlusión

29. Lenguaje formal de un razonamiento
• Todo razonamiento predeterminadamente está en lenguaje
natural. En lógica proposicional usamos las variables p, q, r,
para las proposiciones simples, y junto a los conectivos se
forman las proposiciones compuestas.
Definición 1.1
(: , ∨, ∧, →, ↔)
En lenguaje formal la conclusión va precedida del símbolo ,
que se lee: “luego” ó “por tanto”
(∴)

30. Ejemplo

31. Resumen de lógica inferencial
• En lógica no interesa tanto la verdad o
falsedad de las proposiciones, sino las
relaciones lógicas que existen entre ellas.
• Un razonamiento es válido cuando la
conclusión se deriva necesariamente de las
premisas y es inválido cuando la conclusión no
se deriva de las premisas