Este documento describe la correlación y regresión lineal simple como técnicas estadísticas para investigar la relación entre dos variables continuas. Explica cómo el diagrama de dispersión permite visualizar la relación y detectar valores atípicos. También define el coeficiente de correlación de Pearson para cuantificar la fuerza de la asociación lineal entre las variables, así como la regresión lineal para modelar la relación y predecir valores. Por último, discute otros métodos como la correlación de Spearman para variables ordinales y la prueba chi-cuadrado para variables

1. Correlación y Regresión lineal
INSTITUTO MEXICANO DEL SEGURO SOCIAL
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
UNIDAD DE MEDICINA FAMILIAR No. 21
CURSO DE ESPECIALIZACIÓN EN MEDICINA FAMILIAR

2. Fig. 1.Diagrama de dispersión o nube de puntos
En este tema se presentan el coeficiente de correlación y la regresión lineal simple como las dos técnicas
estadísticas más utilizadas para investigar la relación entre dos variables continuas X e Y. Gráficamente el
diagrama de dispersión o nube de puntos permite obtener información sobre el tipo de relación existente
entre X e Y, además de ayudarnos a detectar posibles valores atípicos o extremos. En el diagrama de
dispersión de la figura 1 tenemos representadas las alturas y los pesos de 30 individuos. Vemos como a
medida que aumenta la variable X=”altura” va aumentando la variable Y=”peso”.
Si nos fijamos en la figura 2 aparentemente el peso
aumenta 10Kg por cada 10 cm de altura... es decir, el
peso aumenta en una unidad por cada unidad de altura.
Fig. 2
El diagrama de dispersión se obtiene representando cada
observación (xi, yi) como un punto en el plano cartesianoXY.

3. La finalidad de la correlación es examinar la dirección y la fuerza de la asociación
entre dos variables cuantitativas. Así conoceremos la intensidad de la relación
entre ellas y si, al aumentar el valor de una variable, aumenta o disminuye el
valor de la otra variable. Para valorar la asociación entre dos variables, la primera
aproximación suele hacerse mediante un diagrama de dispersión
Correlación y regresión lineal
En el diagrama de dispersión de la figura parece existir una relación lineal entre
el peso y el índice de masa corporal de los pacientes. Además, si nos fijamos
parece que existe un dato atípico que se aleja de la nube de puntos. Con la
nube de puntos podemos apreciar si existe o no una tendencia entre las dos
variables, pero si queremos cuantificar esta asociación debemos calcular un
coeficiente de correlación.
Hay dos coeficientes de correlación que se usan frecuentemente: el de Pearson (paramétrico) y el de Spearman (no paramétrico, se utiliza en
aquellos casos donde las variables examinadas no cumplen criterios de normalidad o cuando las variables son ordinales).
 El coeficiente de correlación de Pearson evalúa específicamente la adecuación a la recta lineal que defina la relación entre dos variables
cuantitativas.
• El coeficiente no paramétrico de Spearman mide cualquier tipo de asociación, no necesariamente lineal.
Si se desea medir o cuantificar el grado de asociación entre dos variables cuantitativas se debe calcular un coeficiente de correlación.
Casos en que se utiliza la Correlación
Se realizan cuando no se pueden manipular las variables de tratamiento debido a las siguientes razones:
1) Es imposible manipular físicamente las variables.
2) Los sucesos ya han ocurrido.
3) Se basa en observaciones muéstrales y por lo tanto depende mucho de una correcta técnica de muestre.

4. Tipos de correlación
Correlación positiva Correlación Negativa o inversa
Cuando hay valores altos o bajos, simultáneamente en dos variables. Es cuando los valores altos en una variable coinciden con valores bajos en otra
variable.
Ejemplo: Ejemplo:
Peso y altura en una muestra de niños de 5 a 12 años: los mayores son también
los más altos y pesan más, y los más jóvenes pesan menos y son más bajos;
decimos que peso y altura son dos variables relacionadas porque los más altos
pesan más y los más bajos pesan menos.
La edad y fuerza física en una muestra de adultos de 30 a 80 años de edad: los
mayores son los menores en fuerza física; hay una relación, que puede ser muy
grande: según los sujetos aumentan en una variable (edad) disminuyen en la
otra (fuerza física).
Coeficiente de Correlación lineal de Pearson (r)
El estimador muestral más utilizado para evaluar la asociación lineal entre dos variables X e Y es el coeficiente de correlación de Pearson (r).
Se trata de un índice que mide si los puntos tienen tendencia a disponerse en una línea recta. Puede tomar valores entre -1 y +1.
Es un método estadístico paramétrico, ya que utiliza la media, la varianza,…y por tanto, requiere criterios de normalidad para las variables
analizadas.
Se define como la covarianza muestral entre X e Y dividida por el producto de las desviaciones típicas de cada variable:
𝒓 =
𝝈𝒙𝒚 𝑺𝒙𝒚
𝝈𝒙𝝈𝒚 𝑺𝒙𝑺𝒚
o (𝒓 = )
La expresión matemática para el coeficiente de correlación de Pearson parece compleja, pero esconde un planteamiento que en el fondo, es
sencillo: “r” estará próximo a 1 (en valor absoluto) cuando las dos variables X e Y estén intensamente relacionadas, es decir, al aumentar
una aumenta otra y viceversa. A este concepto de variación al unísono se le llama covarianza.

5. Coeficiente de Correlación lineal de Pearson (r)
𝒓 =
𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙𝑺𝒚
Así, si valores altos (o bajos) de X tienden a asociarse con valores altos (o bajos) de Y, el producto de las desviaciones
tenderá a ser positivo y la covarianza será positiva. Por el contrario, si valores altos de una variable se relacionan con
valores bajos de la otra variable, el producto de las desviaciones tenderá a ser negativo y la covarianza será negativa
El numerador del coeficiente de correlación es la
covarianza muestral SXY entre X e Y, que nos indica si la
posible relación entre dos variables es directa o inversa.
Es una medida que nos habla de la variabilidad conjunta
de dos variables cuantitativas.
De tal modo:
• Si Sxy > 0, las dos variables crecen o decrecen a la vez ( nube de puntos crecientes).
• Si Sxy < 0, cuando una variable crece, la otra tiene tendencia a decrecer (nube de puntos decrecientes).
• Si lo puntos se reparte con igual densidad alrededor del centro de gravedad (𝑥, 𝑦), Sxy =0 ( no hay relación lineal).
𝑥
𝑦
𝑛
𝑆 = 1
∑ 𝑥 − 𝑥 𝑖 𝑛
𝑖
𝑖
∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖
𝑦 − 𝑦 = 𝑖
-𝑥 ∙ 𝑦

6. Coeficiente de Correlación lineal de Pearson (r)
Resulta complicado determinar el grado de asociación lineal entre dos variables a partir de la magnitud de
la covarianza, ya que ésta depende de las unidades de medida de las variables.
El signo de la covarianza nos dice si el aspecto de la nube de puntos es creciente o no, pero no nos dice
nada sobre el grado de relación entre las variables.

7. Representación gráfica
Relación lineal perfecta
(casi perfecta) En la figura 4.5 vemos que r = ±1 es
lo mismo que decir que las
observaciones de ambas variables
están perfectamente alineadas.
El signo de r, es el mismo que el de
SXY, por tanto nos indica el
crecimiento o decrecimiento de la
recta. La relación lineal es tanto
más perfecta cuanto r está cercano
a ±1. En la correlación no se
distingue la variable dependiente
de la independiente, la correlación
de X con respecto a Y es la misma
que la correlación de Y con
respecto a X. Aunque la
interpretación de la magnitud del
coeficiente de correlación depende
del contexto particular de
aplicación, en términos generales
se considera que una correlación es
baja por debajo de 0,30 en valor
absoluto, que existe una asociación
moderada entre 0,30 y 0,70, y alta
por encima de 0,70.

8. Coeficiente de Correlación lineal de Pearson (r)
Volviendo al coeficiente de correlación lineal r, veamos qué propiedades tiene:
• Carece de unidades de medida (adimensional).
• Sólo toma valores comprendidos entre [-1,1].
• Cuando |r| esté próximo a uno, r= +1 (recta lineal creciente de izquierda a derecha) o r= -1 (recta lineal
decreciente), se tiene que existe una relación lineal muy fuerte entre las variables.
• Cuando r≈0, puede afirmarse que no existe relación lineal entre ambas variables. Se dice en este caso que las
variables son incorreladas.
Condiciones de aplicación de la correlación:
• Variables cuantitativas: Ambas variables examinadas han de ser cuantitativas. Para variables ordinales se puede
usar el coeficiente de Spearman.
• Normalidad: La normalidad de ambas variables es un requisito en el caso del coeficiente de correlación de Pearson,
pero no en el de Spearman.
• Independencia: Las observaciones han de ser independientes, es decir, sólo hay una observación de cada variable
para cada individuo. No tendría sentido, aplicar la correlación en un estudio que relacionase la ingesta diaria de sal y
la tensión intraocular si se tomaran mediciones en ambos ojos de cada individuo. En este caso hay dos
observaciones por paciente que están

9. Ejemplo
𝜎𝑦 = 𝑆𝑦 =
∑𝑖(𝑦𝑖 − 𝑦)2
𝑛
=
∑𝑖 𝑦𝑖
2
𝑛
− 𝑦2
r=
𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥∙𝜎𝑦
= 5
− 5
∙
894 25 152
5
5
151
− 5 2∙
5
5320
− 151
5
2
≈
26,3
2,28∙11,82
=0,975
Cinco niños de 2,3,5,7 y 8 años pesan respectivamente 14, 20, 32, 42 y 44, kilos.
Hallar la ecuación de la recta de regresión.
¿Cuál es el peso aproximado un niño de 6 años?
𝜎 = 𝑆 = 1
∑ 𝑥 − 𝑥 𝑦 − 𝑦 =
∑𝑖 𝑥𝑖𝑦𝑖
-
𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑛 𝑖 𝑖 𝑖 𝑛
Niño Edad (x) Peso (y) x2 y2 xy
1 2 14 4 196 28
2 3 20 9 400 60 𝑥 ∙ 𝑦
3 5 32 25 1024 160
4 7 42 49 1764 294
∑𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥)2 ∑𝑖 𝑥𝑖
2
𝜎𝑥 = 𝑆𝑥 = = − 𝑥2
𝑛 𝑛
5 8 44 64 1936 352
Sumas 25 152 151 5320 894
Promedio 5 30,4 30,2 1064 178,8

10. Variables semi-cuantitativas
Claro está, es posible obtener medidas del grado de relación de variables
cuando éstas no sean cuantitativas.
El caso en que las variables X e Y sean ordinales
Cuando tenemos variables con escala ordinal, podemos establecer el orden entre
los valores, pero no sabemos las distancias entre los valores. (Si supiéramos la
distancia entre los valores ya estaríamos al menos en una escala de intervalo)
Podemos calcular el coeficiente de correlación de Spearman.

11. Coeficiente de correlación de Spearman
Lo que tenemos ahora son 2 sucesiones de valores ordinales.
El coeficiente de Spearman es un caso especial del coeficiente de correlación
de Pearson aplicada a dos series de los n primeros números naturales (cuando
no hay empates; si hay –muchos- empates hay otra fórmula
 
2
1
2
6
1
1
n
i
i
s
d
r
n n


 


i
d es la diferencia entre el valor ordinal en X y el valor
ordinal en Y del sujeto i

12. Coeficiente de correlación de Spearman (propiedades)
Primera. Se encuentra acotado, como el coeficiente de Pearson entre -1 y +1.
Un coeficiente de Spearman de +1 quiere decir que el que es primero en X es
primero en Y, el que es segundo en X es segundo en I, etc
Un coeficiente de Sperman de -1 quiere decir que el que es primero en X es
último en Y, el segundo en X es el penúltimo en Y, etc.
Segunda. Su cálculo es muy sencillo (más que el del coeficiente de correlación
de Pearson).

13. Variables cualitativas Prueba c2 como medida de asociación y como prueba de
contraste
La prueba chi-cuadrado es una prueba no paramétrica que se emplea para medir la
asociación entre dos variables cuando tenemos tablas de contingencia. También es
empleada, de manera general, para evaluar la divergencia entre una puntuaciones
observadas (empíricas) y unas puntuaciones predichas (teóricas).
De manera general, el estadístico chi-cuadrado se obtiene así:
c2 
fe ft
 2
ft

Donde fe representa las frecuencias empíricas y ft
representa las frecuencias teóricas

14. Prueba c2 como medida de asociación: El caso de independencia de 2 variables
cualitativas
Las frecuencias empíricas son las que tenemos en la tabla de contingencia. Ahora
bien, ¿cómo computar las frecuencias teóricas? Tal proceso es simple:
Si ambas variables son independientes, la frecuencia teórica de cada celdilla será el
resultado de multiplicar la suma de frecuencias de la fila x la suma de frecuencia de
las columnas, y ese resultado se divide por N
c2 
fe ft
 2
ft

Para calcular "chi-cuadrado" con tablas de contingencia en internet:
http://vassarstats.net/newcs.html

15. Prueba c2 como medida de asociación. Coeficientes derivados e
interpretación
A partir de la prueba chi-cuadrado, se han propuesto cierto número de
medidas de asociación entre variables cuando tenemos frecuencias en
tablas de contingencia. Se trata de cuantificar la fuerza de la relación entre
dos variables.
Caso de tener tablas 2x2: Coeficiente phi
n
2
c
 
Este índice se interpreta
de manera análoga al
coeficiente de Pearson
(pero observa que phi no
puede ser negativo...sólo
de 0 a 1)

16. Prueba c2 como medida de asociación: Coeficientes derivados e
interpretación
Este índice se interpreta análogamente al índice de Pearson (excepto por el tema
del signo).
m
n
V
2
ˆ c

Caso de tener más de 2 filas ó columnas: Prueba de Cramer
m es el número menor entre el número
de filas-1 y columnas-1
Observa que si la tabla es 2x2 este índice coincide con el índice phi