Practica MN S05 G2 Método de Resolucion de Eliminacion de Gauss hacia atras 2022-2.docx

Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
Facultad de Ingeniería y Gestión-UNTELS Método de Eliminación de Gauss
pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE LIMA SUR
FACULTAD DE INGENIERÍA Y GESTIÓN
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
SEMANA 05:
TEMA: Método de Resolución de Eliminación de Gauss hacia atrás.
CICLO: V
SEMESTRE: 2022-2
Trabajo presentado para la asignatura de Métodos Numéricos,
dirigido por
DOCENTE: Caballero Cantú, José Jeremías
N° Código Apellidos Nombres TRABAJO/
NO TRABAJO
Responsable Exposición
111 20A3010118 Anaya Castro Jefersson Rodrigo SI
2 1921110656 Ccuno Callañaupa Abel SI
3 1913050729 Gayoso Florentini Luis Santiago SI
4 2017230169 Jimenez Quispe Hubert Jared SI
5 1913010585 Pineda Urquiza Carlos Antonio SI responsable *
6 1913110180 Rojas Tumayquispe Steven Jean Paul SI

pág. 2
I. Reconoce la cantidad de cantidad de ecuaciones y incógnitas a usar en el problema.
Para aplicar este método se debe tener un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.
1. En este caso vamos a aplicar el método para un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas
11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
31 1 32 2 33 3 34 4 3
41 1 42 2 43 3 44 4 4
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
   

    


   

    

2. Tenemos el siguiente ejemplo de un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 6 2 9 6
5 4 5 6 5
3 8 2 3 3
4 10 3 9 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
   

     


    

    

II. Verifica si el sistema de ecuaciones lineales es completo o no.
Antes de aplicar el método, debemos verificar que el sistema este completo, y si no está
completo completarlo, luego aplicar
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 6 2 9 6
5 4 5 6 5
3 8 2 3 3
4 10 3 9 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
   

     


    

    

(Podemos observar que si está completo)
III. Convierte el sistema a ecuación matricial.
3. El sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas se debe convertir a una ecuación matricial
11 12 13 14 1 1
21 22 23 24 2 2
31 32 33 34 3 3
41 42 43 44 4 4
X b
A
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
     
     
     

     
     
   
 
4. Aplicando el paso 4) a nuestro ejemplo, tenemos la ecuación matricial
1
2
3
4
3 6 2 9 6
5 4 5 6 5
3 8 2 3 3
4 10 3 9 9
b
X
A
x
x
x
x
   
   
 
   
   
   

 
   
 
 
   

   
 

pág. 3
IV. Extrae la matriz aumentada
5. Del paso 4) extraemos la matriz aumentada, la cual viene a ser la concatenación de la matriz de
coeficiente A y el vector columna de termino independiente b, es decir  
C A b

C= [A B]
11 12 13 14 1 11 12 13 14 15
21 22 23 24 2 21 22 23 24 25
31 32 33 34 3 31 32 33 34 35
41 42 43 44 4 41 42 43 44 45
a a a a b c c c c c
a a a a b c c c c c
a a a a b c c c c c
a a a a b c c c c c
   
   
   
 
   
   
   
Entonces
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
c c c c c
c c c c c
C
c c c c c
c c c c c
 
 
 

 
 
 
6. Aplicando el paso 6) a nuestro ejemplo y hallamos la matriz aumentada
C= [A B]=
3 6 2 9 6
5 4 5 6 5
3 8 2 3 3
4 10 3 9 9

 
 
 
 
 
 
 

 
7. Apliquemos el método de eliminación Gauss hacia atrás al paso 7)
V. Enuncia la Teoría y aplica correctamente la iteración 1
Iteración 1
12 13 14 15 12 13 14 15
1 1
22 23 24 25 22 23 24 25
2 2 1 2
32 33 34 35 32 33 34 35
3 3 1 3
42 43 44 45 42
1
4
4
11
3
1
11
11
11
3
21 2
3
4
4 1 4
1
4
1 1
1 1
' ' ' '
' ' ' '
( / )
' ' ' '
( / )
' ' '
( / ) 0
0
'
0
c c c c c c c c
F F
c c c c c c c c
F F F F
c c c c c c c c
F F F F
c
c
c
c F
c
c
c
c
c
c
c
c c c c
c
F F
c
c F
 
    
  
   
 
 
  44 45
'
c
 
 
 
 
 
 
1 1
2 2 1 2
3 3 1 3
4 4 1 4
3 6 2 9 6
3 6 2 9 6 5
0 14 9 15
( 5 / 3)
5 4 5 6 5 3
( 3/ 3)
3 8 2 3 3 0 14 0 6 9
( 4 / 3)
4 10 3 9 9 1
0 18 21 17
3
F F
F F F F
F F F F
F F F F

 
 

 
 
    
   
    
    
 
 
 
  
  
 
 
 

pág. 4
2
1
2 1 2
: -5 4 5 -6 5
( 5/ 3) -5 -10 10/3 -15 -10
( 5/ 3) : 0 14 5/3 9 15
F
F
F F F





  

3
1
3 1 3
: -3 8 2 -3 3
( 3/ 3) -3 -6 2 -9 -6
( 3/ 3) : 0 14 0 -6 9
F
F
F F F





  

4
1
4 1 4
: -4 10 3 9 9
( 4 / 3) -4 -8 8/3 -12 -8
( 4 / 3) : 0 18 1/3 21 17
F
F
F F F





  

VI. Enuncia la Teoría y aplica correctamente la iteración 2
Iteración 2
11 12 13 14 15 11 12 13 14 15
1 1
23 24 25 22 2
3
2 3 24 25
2 2
33 34 35 33 34 35
3 3 2 3
4 44 45
4 4 2
2
2 4
4
32 32
2
2
2
22
4
' ' ' ' ' '' '' '' '' ''
0 ' ' ' 0 '' ''
0
'
'' ''
' ' ' 0 0 '' '' ''
( / )
0 ' ' ' 0 0
( /
'
'
)
'
'
'
'
c
c c
c c c c c c c c c c
F F
c c c c c c c
F F
c c c c c c
F F F F
c c c
F F c F
c
c
c F
c
 
 
  
   
 
 
  43 44 45
'' '' ''
c c
 
 
 
 
 
 
1 1
2 2
3 3 2 3
4 4 2 4
3 6 2 9 6
3 6 2 9 6
5
5 0 14 9 15
0 9 15 3
3
5
( / )
0 0 6 9 0 0 3 6
3
( / )
1
38 66 16
0 21 17
0
1
14
8
14
14
4
0
3
21 7 7
1
8
14
1
F F
F F
F F F F
F F F F

 

   
   
   
   
 
     
 
   
 
   
 
 
   
 
3
2
3 2 3
4
: 0 14 0 6 9
(14 /14) 0 14 -5/3 9 15
(14 /14) : 0 0 -5/3 -3 -6
:
F
F
F F F
F




 

2
4 2 4
0 18 1/ 3 2 19
(18/14)F 0 18 45/21 81/7 15
(18 /14) 0 0 38 / 21 66 / 7 16 / 7
F F F




   

VII. Enuncia la Teoría y aplica correctamente la iteración 3
Iteración 3
11 12 13 14 15 1 11 12 13 14 15
1
22 23 24 25 2 22 23 24 25
2
34 35 3 33 34 35
3
44 45 4 3 4 44 45
3
43 43
3
33
4
" " " " " ''' ''' ''' ''' '''
0 " " " " 0 ''' '' ''' '''
0 0 " " 0 0 ''' ''' '''
0 0 " " ( /
" ) 0 0 0 ''' '''
"
"
"
c c c c c F c c c c c
F
c c c c F c c c c
F
c c F c c c
F
c c F F F c
c
c c
F c
c
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

pág. 5
1
1
2
2
3
3
4 4 3 4
3 6 2 9 6 3 6 2 9 6
5 5
0 14 9 15 0 14 9 15
3 3
5
0 0 3 6 0 0 3 6
3
( / )
66 16 444 148
0 0 0 0 0
7 7 35
5
38
38 21
21 5
5
3
3
3
F
F
F
F
C
F
F
F F F F
 
   
   
   
   
   
 

   
   
   
 
   

   
  





4
3
38 66 16
: 0 0
21 7 7
38 5 38 38 5
/ F 0 0 /
21 3 21 21 3
F
 
    
   
  
  
 
4 3 4
38 5 16
3 /
21 3 7
38 5 444 148
/ : 0 0 0
21 3 35 35
F F F



   
   

    
   

  
 
  
 
  

VIII. Muestra la ecuación matricial triangular superior
8. Al final tenemos la siguiente ecuación matricial con matriz aumentada en forma de
triangular superior.
15
11 12 13 14 1
25
22 23 24 2
35
33 34 3
45
44 4
'"
'" '" '" '"
'"
0 '" '" '"
'"
0 0 '" '"
'"
0 0 0 '"
X
A b
c
c c c c x
c
c c c x
c
c c x
c
c x
 
   
 
   
 
    
 
   
 
   
     
9. Aplicando el paso 8) al ejemplo:
1
2
3
4
3 6 2 9
6
5
0 14 9
15
3
5 6
0 0 3
3 148
444 35
0 0 0
35
X
B
A
x
x
x
x

 
   
 
   
 
   
 
    
 
 

   
 
   
 
   
 
 
 

pág. 6
IX Muestra el sistema de ecuaciones triangular superior
10. Pasando a un sistema de 4 ecuaciones lineales triangular superior con 4 incógnitas
''' ''' ''' ''' '''
11 1 12 2 13 3 14 4 15
c x c x c x c x c
   
''' ''' ''' '''
22 2 23 3 24 4 25
c x c x c x c
  
''' ''' '''
33 3 34 4 35
c x c x c
 
''' '''
44 4 45
c x c

11.Aplicando el paso 10) a nuestro ejemplo:
1 2 3 4
3 6 2 9 6
x x x x
   
2 3 4
14 1.6667 9 15
x x x
  
3 4
-1.6667 3 6
x x
  
4
12.6857 4.22857
x 
X. Hallar los valores de las incógnitas
12.Hallamos las incógnitas desde el paso 11)
45
44 4 45 4
44
'''
''' '''
'''
c
c x c x
c
  
4
3(4 1) 3
4
35 34 4
33 3 34 4 35 3
33 33
''' '''
''' '''
''' ''' '''
''' '''
i j
j
c c x
c c x
c x c x c x
c c
 


    

4
2
3
2(4 1) '''
25 23 3 24 4
22 2 23 3 24 4 25 2
22 22
'''
''' ( ''' ''' )
''' ''' ''' '''
''' '''
i j
j
c x
c
c c x c x
c x c x c x c x
c c

 
 
     
4
1
2
1(4 1) '''
15 12 2 13 3 14 4
11 1 12 2 13 3 14 4 15 1
11 11
'''
''' ( ''' ''' ''' )
''' ''' ''' ''' '''
''' '''
i j
j
c x
c
c c x c x c x
c x c x c x c x c x
c c

 
  
      

pág. 7
Para esimo
i  incógnita se halla de la forma.
( 1)
1
''' '''
1, 2,......3,2,1
'''
n
i n ij j
j i
i
ii
c c x
x i n n
c
 
 
   

13.Aplicando el paso 12) a nuestro ejemplo:
'''
45
4 '''
44
4.22857 1
12.6857 3
c
x
c
  
''' '''
35 34 4
3 '''
33
1
6 ( 3)( )
3 3
5
3
c c x
x
c
  

  

''' ''' '''
25 23 3 24 4
2 '''
22
5 1
15 ( 3 9 )
( ) 1
3 3
14 2
c c x c x
x
c
   
 
  
''' ''' ''' '''
15 12 2 13 3 14 4
1 '''
11
1 1
6 (6 2(3) 9 )
( ) 2 3 2
3
c c x c x c x
x
c
    
  
  
XI.Interpreta la respuesta del problema
14.Por lo tanto, la solución del sistema dado es: 1 2 3 4
1 1
2, , 3,
2 3
x x x x
   

pág. 8
CÓDIGO EN LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN MATLAB
function x = EliminacionGauss(A,B)
%~~~~~~~~~~~~~~~Protección contra errores en las entradas~~~~~~~~~~~~~~~~~%
if nargin ~= 2
error('Se debe ingresar una matriz cuadrada A y un vector columna B');
%Si se ingresan todos los datos de entrada, elegir un método de solución
else
if size(A,1) ~= size(A,2)
error('Se necesita que la matriz A sea cuadrada')
elseif size(B,2) ~= 1
error('B debe ser un vector columna');
elseif size(A,1) ~= size(B,1)
error('El número de filas de A no coincide con el de B. Sistema inconsistente');
end
end
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Setup~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%
n = size(A,1); t = ' | '; T = repmat(t,n,1);
a = num2str(A); b = num2str(B); c = [a T b]; %%unión de los datos en una solo matriz
disp('Sistema original'); disp(c); disp(newline);
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Eliminación hacia adelante~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%
j = 1;
for k = 1:n - 1
for i = k + 1:n
if A(i,k) ~= 0 %Si no hay un cero en este elemento, hacer eliminación
factor = A(i,k)/A(k,k);
A(i,:) = A(i,:) - factor*A(k,:);
B(i) = B(i) - factor*B(k);
c = [num2str(A), T, num2str(B)]; %%unión de los datos en una solo matriz
disp(['Paso ',num2str(j)]); disp(c); disp(newline);
j = j+1;
else
continue %Si hay un cero, saltarse al siguiente elemento
end
end
end
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Sustitución hacia atrás~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%
x(n) = B(n)/A(n,n);
for i = n - 1:-1:1
sum = B(i);
for j = i + 1:n
sum = sum - A(i,j)*x(j);
end
x(i) = sum/A(i,i);
end
x = x';
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Impresión de resultados~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%
disp('Resultados');
for i = 1:n
fprintf('x%d = %f',i,x(i));
fprintf('n');
end

pág. 9
Explicación del código:
Inicializamos el código con una variable “x” con el nombre de EliminacionGauss (A,B). Posteriormente si se
ingresan valores errores el programa lo detectara y para ello utilizamos la condicional If-else.
En esta sección “Setup” , se encarga de mostrar en pantalla la matriz original ,es decir, une cada valor
numérico ingresado anteriormente.

pág. 10
Para realizar el método de Gauss hacia atrás es de vital importancia realizar primero la eliminación hacia
adelante.
Después de ello, se realiza la sustitución hacia atrás y para ello se implementó esta variable x(n)= B(n)/A(n,n)
para guardar los valores. Posteriormente, se tiene que hallar los otros 3 valores restantes y en ese caso se
codifica el bucle for, para ello se opera la Sumatoria B(i), es decir, se va a repetir dependiendo la cantidad d
variables que hay en nuestra matriz. No obstante, nuestros resultados ya han sido divididos y redondeados
respectivamente.

pág. 11
Se realiza esta sección para mostrar los resultados en pantalla.
RESOLUCION DEL PROBLEMA PROPUESTO

pág. 12

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ALGORITMO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA CON SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS, SIN
INTERCAMBIO DE FILAS
Para resolver el sistema lineal de 4 4:
1 2 3 4
3 6 2 9 6
x x x x
   
2 3 4
14 1.6667 9 15
x x x
  
3 4
1.6667 3 6
x x
   
4
12.6857 4.22857
x 
ENTRADA. La matriz aumentada C  (ci, j )nn donde 1  i  n y 1 j  n 1.
Entrada: la matriz aumentada C
Salida: La solución x1, x2 ,..., xn
Paso 1. Leer la matriz aumentada C
Paso 2. Sea (4, 4)  dimension(C) ,
Paso 3. Para i 1,2,...,n 1 (Avance por columna)
Paso 4. Para j  i 1,i  2,..., n (avance por filas)
Paso 5. F 
cji
F  F
cii
Paso 6.Fin Para
Paso 7. Fin Para
Paso 8. Xn

cn,n1/ cnn
Paso 9. Para i  n 1,...,1
Paso 11. Fin Para

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