Presentación - Optimización de Funciones

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y
COMUNICACIÓN
ASIGNATURA
CÁLCULO DE UNA VARIABLE
TEMA
ACTIVIDAD # 2
ESTUDIANTE
VIVANCO VITERI, BYRON WILFRIDO
PARALELO “A”
PERIODO
OCTUBRE 2023 – ENERO 2024

2. Elementos a tener en cuenta
para resolver un problema de
optimización, aplicando los
conceptos relacionados con la
derivación de funciones.
En esta presentación, exploraremos el fascinante mundo de la
optimización y su importancia. Aprenderemos conceptos clave sobre
la derivación de funciones y descubriremos métodos efectivos para
resolver problemas de optimización.

3. El Problema de
Optimización y su
Importancia
Comprenderemos qué es un problema de optimización y por qué es
fundamental en diversos campos como la economía, la ingeniería y la
ciencia. Analizaremos sus aplicaciones en la toma de decisiones
estratégicas y cómo puede mejorar los resultados.

4. Conceptos Claves sobre Derivación
de Funciones
1 Derivada
Profundizaremos en la noción
matemática de la derivada y cómo
se relaciona con la tasa de cambio
de una función.
2 Puntos Críticos
Descubriremos qué son los puntos
críticos y cómo identificarlos en
una función.
3 Cálculo Variacional
Exploraremos el cálculo variacional y cómo se aplica en problemas de optimización.

5. Principales Métodos para Resolver
Problemas de Optimización
1 Método del Máximo y Mínimo
Estudiaremos el método clásico para encontrar los máximos y mínimos de una
función y su relación con los puntos críticos.
2 Método de Lagrange
Aprenderemos la técnica de multiplicadores de Lagrange, que nos permite resolver
problemas de optimización con restricciones.
3 Cálculo de Grańdient
Veremos cómo el cálculo del gradiente nos permite identificar la dirección de mayor
cambio en una función y su aplicación en problemas de optimización.

6. Función
Objetivo
Variables de
Decisión
Restricciones
Expresión
Matemática
Derivadas
Parciales
Puntos Críticos
Segunda
Derivada
Análisis de
Puntos Críticos
Verificación de
Restricciones
Interpretación
de la Solución
Sensibilidad y
Robustez
Elementos para resolver un problema de optimización

7. Ejemplos Ilustrativos de Resolución de
Problemas de Optimización
Problema de la Caja
Rectangular
Aplicaremos los conceptos
aprendidos en un caso
práctico de optimización:
encontrar las dimensiones de
una caja rectangular con
volumen máximo dado un
área fija.
Optimización de la
Cadena de Suministro
Exploraremos cómo la
optimización puede mejorar
la eficiencia y la rentabilidad
en la gestión de la cadena de
suministro.
Optimización de
Cartera de Inversiones
Analizaremos cómo los
métodos de optimización
pueden ayudar a los
inversionistas a maximizar el
rendimiento de su cartera
mientras gestionan el riesgo.

8. Recomendaciones para Implementar
Correctamente estos Conceptos en la
Toma de Decisiones
Definir Objetivos
Es fundamental establecer de manera clara
los objetivos de optimización y los criterios
de éxito.
Recopilar Datos Precisos
Contar con datos precisos y relevantes es
esencial para tomar decisiones
fundamentadas.
Evaluar Soluciones Alternativas
Es importante considerar diferentes
enfoques y evaluar las ventajas y
desventajas de cada opción.
Realizar Análisis Sensibilidad
Explorar cómo cambian los resultados ante
variaciones en los parámetros puede
revelar insights valiosos.

9. Ejemplo de optimización
- Problema: Queremos maximizar el área de
un rectángulo. La longitud total de los lados
del rectángulo no puede exceder 10 unidades.
- Variables de Decisión: Sean x y y la longitud
y la anchura del rectángulo, respectivamente.
- Función Objetivo: La función que queremos
maximizar es el área del rectángulo, que está
dada por A=x ⋅ y.

10. - Restricciones: La restricción es que la
longitud total de los lados del rectángulo no
puede exceder 10 unidades, por lo que la
restricción es 2x + 2y ≤ 10.
- Expresión Matemática: La función objetivo
es A=x ⋅ y y la restricción es 2x + 2y ≤ 10.
- Derivadas Parciales:

11. - Puntos Críticos: Igualamos las derivadas parciales a cero:
y = 0 y x = 0
Pero estos valores no satisfacen la restricción 2x + 2y ≤ 10.
- Restricciones: Para encontrar los puntos críticos que
también satisfacen la restricción, consideramos la restricción
2x + 2y = 10.
y = 5 − x

12. - Función Objetivo con Restricción:
Sustituimos y en la función objetivo:
- Derivadas Parciales con Restricción:
- Puntos Críticos con Restricción: Igualamos la
derivada parcial con la restricción:

13. - Verificación: Verificamos que estos valores de x e y
satisfacen la restricción 2x + 2y ≤ 10.
En este caso, 2 ⋅ 5/2 + 2 ⋅ 5/2 = 10, por lo que la restricción se
cumple.
- Interpretación de la Solución: El área máxima del
rectángulo bajo la restricción dada es 25/2 unidades
cuadradas, y esto se logra cuando la longitud y la anchura
son ambas 5/2​ unidades.

14. Link de grabación:
https://drive.google.com/file/d/1wRkB2NMqh-IHhkycGlDDZff0w_-
J53qn/view?usp=sharing