El documento describe la programación lineal como una rama de la optimización matemática enfocada en maximizar o minimizar funciones lineales bajo restricciones específicas. Se discuten características de las variables de decisión, restricciones y la función objetivo, además de explicar métodos de solución como el gráfico y el método simplex. Finalmente, se presentan ejemplos prácticos que ilustran estos conceptos y técnicas en la resolución de problemas de decisión en contextos como la industria y la economía.

1. Mayo 2021
Autores:
Castillo Román C.I: 24.754.554
Martínez Vanessa C.I: 25.675.128
Noheda Ricardo C.I: 26.706.142
Perdigón José C.I: 28.250.231
Urbina Luis C.I: 28.256.156
Velásquez Génesis C.I: 27.652.559
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Investigación de Operaciones.
Docente:
Ing Roxana Rodríguez.

2. Prácticamente es el área de la
optimización matemática dedicado a
maximizar o minimizar una función
lineal. denominada función objetivo-
Las variables de dicha
función estén sujetas a
una serie de restricciones
expresadas mediante un
sistema de ecuaciones o
inecuaciones también
lineales.
.
¿Qué es la Programación Lineal?
que
Características
1. Tiene la finalidad de facilitarle ayuda a los responsables
en las decisiones relacionadas en situaciones donde
interviene una gran cantidad de variables.
2. En los problemas de programación lineal las variables y la
función objetivo deben ser lineales.
3. Da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar
o minimizar funciones que se encuentran sujetas a
determinadas limitaciones
4. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la
economía, la estrategia militar, etc..
Se distingue
porque

3. Se conoce como el elemento
desconocido en un problema de
optimización.
Variable de Decisión
Características.
Son una cantidad cuyo valor
se puede controlar y es
necesario determinar para
solucionar un problema de
decisión.
Los parámetros
representan los valores
conocidos del sistema
o bien que se pueden
controlar.
Se conocen como incógnitas que deben
ser determinadas a partir de la solución
del modelo.
1
2
3
Tiene
Un dominio, que es una
representación compacta
del conjunto de todos los
valores posibles de la
variable.
Su forma es:
X1,X2…Xn.

4. Características
Se definen como relaciones entre las variables de decisión y
magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las
acotan a valores factibles.
Se trata en un problema de programación
lineal, nos referimos a todo aquello que limita la
libertad de los valores que pueden tomar las
variables de decisión.
Restricciones
Cuando
Desde el punto de vista
matemático, son funciones
lineales expresadas como
igualdades o desigualdades
Representan recursos,
condiciones
o requerimientos
establecidos.
Limitan el valor de las
variables de decisión a
valores permisibles.
Las restricciones por
lo general tienen la
forma.
1
2
3
4

5. Características.
Es el objetivo global de un problema
de decisión expuesto en forma
matemática en términos de los datos
y de las variables de decisión.
En la mayoría de la
ocasiones parte de la idea
o ecuación general de:
Función Objetivo
Su forma
Es una relación matemática entre las variables de
decisión, parámetros y una magnitud que representa
el objetivo o producto del sistema.
Será optimizada dadas las limitaciones o
restricciones determinadas, con variables que
necesitan ser minimizadas o maximizadas
Tiene una estrecha cercanía con la pregunta general
que se desea responder.
1
2
3

6. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se
necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un
trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2.Se dispone para
el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el
beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la
producción para obtener el máximo beneficio.
Ejemplo (1) de Elaboración
del Modelo.
Variables de
Decisión
Función
Objetivo
Restricciones
Es ésta caso en particular el
enunciado a más que claro en
darnos las variables de
optimización.
x = nº de lámparas L1
y = nº de lámparas L2
Pasamos los tiempos a
horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
1/3x + 1/2y ≤ 100
1/3x + 1/6y ≤ 80
Las restricciones
de no negatividad
no son necesarias
en este ejemplo
dado que se trata
de un ejercicio de
maximización.

7. Básicamente se trata de un procedimiento de solución que constituye
una excelente alternativa de representación y resolución de modelos
de Programación Lineal.
La peculiar característica de aplicarse a
solo sistemas de 2 variables de
decisión.
Además
tienen
En representar por
medio de gráficas las
restricciones del
problema.
¿Qué es el método Gráfico?
Consiste

8. Características
Representa una forma fácil y
rápida para la solución de
problemas de programación
Lineal.
Debe ser aplicado siempre
debe contar con solo 2
variables de decisiones.
Consiste en representar
geométricamente las
restricciones, condiciones
técnicas y función objetivos.
La solución óptima del problema
se encuentra en uno de los
vértices de esta área de
soluciones creada.
Los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método
gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina
método gráfico en recursos.
Se trata de una
técnica que
Cuando

9. Procedimiento para la
Elaboración
Plantear el problema de programación lineal en términos
matemáticos.
Trazar el gráfico de las de las restricciones, igualarlas a 0.
Determinar la región factible.
Trazar la función objetivo.
Encontrar la solución visual y gráfica.

10. Procedimiento para la
Elaboración del Ejemplo (1)
Variables de
Decisión
Función
Objetivo
Restricciones
x = nº de lámparas L1
y = nº de lámparas L2
1/3x + 1/2y ≤ 100
1/3x + 1/6y ≤ 80
Maximizar
El primer paso es hallar el conjunto de soluciones factibles, Tenemos
que representar gráficamente las restricciones, para ello encontramos
los puntos de corte para cada de las restricciones.
1
Continuación del enunciado pag 6.
Convertimos las inecuaciones en ecuaciones lineales para poder
encontrar los puntos de corte, igualando a 0 (x,y) de cada ecuación.
2

11. Para X=0.
1/3·0 + 1/2·y = 100
1/2·y = 100
y = 100/(1/2)
Y= 200.
Para Y=0
1/3·x + 1/2·0 = 100
1/3·x = 100
x = 100/(1/3)
X=300
1/3·x + 1/2·y = 100
Para X=0.
1/3·0 + 1/6·y = 80
1/6·y = 80
y = 80/(1/6)
Y= 480.
Para Y=0
1/3·x + 1/6·0 = 80
1/3·x = 80
x = 80/(1/3)
X=240
1/3·x + 1/6·y = 80
Encontramos los
puntos de intersección
1) 1/3·x + 1/2·y = 100
2) 1/3·x + 1/6·y = 80 (-1)
1/3·x + 1/2·y = 100
-1/3·x - 1/6·y =- 80
-----------------------------
1/3y= 20; y=60
Sustituimos en
ecuación 1.
1/3·x + 1/2·(60) = 100
1/3x+30=100
1/3x= 70
X=210.

12. Luego se grafica el punto optima de las ecuaciones encontradas, es
decir, las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles, la solución óptima si es única se encuentra en un vértice del
recinto.
4
Por ultimo se calcula el valor de la
función objetivo
En la función objetivo sustituimos
cada uno de los vértices.
f(x, y) = 15x + 10y
f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €
f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €
f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €
Máximo
5

13. Método Simplex Tabular
Paso inicial
La solución básica factible, BF, es óptima si y
solo si todos los coeficientes del renglón Z son
no negativos (=>0). Si es así, el proceso se
detiene; de otra manera, sigue una iteración
para obtener la siguiente solución BF, que
incluye cambiar una variable no básica a
básica y viceversa, y después calcular la nueva
solución.
Prueba de optimalidad
Paso 1: Se determina la variable básica entrante con la selección de la variable (no básica) con
el coeficiente negativo que tiene el mayor valor absoluto de la ecuación Z. Se pone un recuadro
alrededor de la columna debajo de este coeficiente y se le da el nombre de Columna Pivote.
Paso 2: Se determina la variable básica que sale con la prueba del coeficiente mínimo.
Paso 3: Se calcula la nueva solución BF mediante la operaciones elementales con reglones para
construir una nueva tabla simplex, y después se regresa a la prueba de optimalidad.
Iteración
1 2
3
Se introducen las variables de
holgura. Se seleccionan las variables
de decisión como las variables no
básicas iniciales (es decir, iguales a
cero) y las variables básicas iniciales.
Capaz de resolver
modelos más
complejos que los
resueltos mediante
el método gráfico.

14. Paso 1: Elegimos los coeficientes
estrictamente positivos (>0) de la
columna pivote.
Paso 2: Dividimos el elemento del lado
derecho del mismo reglón entre dicho
coeficiente.
Paso 3: Identifique el renglón que tiene
el menor de estos cocientes.
Paso 4: La variables básica de ese
renglón es la variable básica que sale;
sustitúyala con la variable básica
entrante en la columna de variables
básicas base.
Paso 1: Dividimos el renglón pivote
entre el número pivote. Usamos este
nuevo renglón en los pasos 2 y 3 de la
iteración.
Paso 2: En los renglones (incluso en el
renglón Z) que tienen un coeficiente
negativo en la columna pivote, se suma
a este renglón el producto del valor
absoluto de este coeficiente por el
nuevo renglón pivote.
Paso 3: En el caso de los renglones
que tienen un coeficiente positivo en la
columna pivote, se les resta el
producto de este coeficiente por el
nuevo renglón pivote.
Prueba del coeficiente mínimo Operaciones elementales con
reglones

15. Aspecto general de la tabla
del método Simplex
Todos los valores vendrán dados
por el modelo del problema salvo
los valores de la fila Z.
Estos se obtienen de la siguiente
forma: Zj = Σ(Cbi·Pj) para i = 1..m,
donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y
en caso contrario Pj = aij.
Se observa que, en
tabla ocupan la base
todas las variables
de holgura y por
ello, el valor inicial
de Z es cero.
Por este mismo motivo
tampoco es necesario realizar
los cálculos de los costes
reducidos en la primera tabla,
pudiéndose determinar
directamente como el cambio
de signo de los coeficientes de
cada variable en la función
objetivo, esto es, -Cj.

16. EJEMPLO
Z = f (x,y) = 3x + 2y
2x + y ≤ 18
2x + 3y ≤ 42
3x + y ≤ 24
x ≥ 0 , y ≥ 0
Maximizar:
Sujeto a:
Realizamos un cambio de variables y normalizamos el signo de los términos independientes.
• x pasa a ser X1
• y pasa a ser X2
Como los términos independientes de todas las restricciones son
positivos no es necesario hacer nada. En caso contrario habría que
multiplicar por "-1" en ambos lados de la inecuación (teniendo en cuenta
que esta operación también afecta al tipo de restricción).
Normalizamos las restricciones.
2·X1 + X2 + X3 = 18
2·X1 + 3·X2 + X4 = 42
3·X1 + X2 + X5 = 24
Se convierten las inecuaciones en ecuaciones
agregando variables de holgura, exceso y artificiales según la
tabla siguiente:

17. Igualamos la función objetivo a cero.
Z - 3·X1 - 2·X2 - 0·X3 - 0·X4 - 0·X5 = 0
Escribimos la tabla inicial del método Simplex.
Condición de parada.
Si el objetivo es la maximización, cuando en la
última fila (fila indicadora) no existe ningún
valor negativo entre los costes reducidos
(columnas P1 en adelante) se alcanza la
condición de parada.
En tal caso se llega al final del algoritmo ya
que no existe posibilidad de mejora. El valor
de Z (columna P0) es la solución óptima del
problema.
Otro caso posible es que en la columna de la
variable entrante a la base todos los valores
son negativos o nulos. Esto indica que el
problema no se encuentra acotado y su
solución siempre resultará mejorable. Ante
esta situación no es necesario continuar
iterando indefinidamente y también se puede
dar por finalizado el algoritmo.
De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos
de forma iterativa.

18. Elegimos la variable entrante y saliente de la
base
Se determina en primer lugar la variable que entra en la base. Para ello se escoge la columna
cuyo valor en la fila Z sea el menor de entre todos los negativos. En este caso sería la variable
X1 (P1) de coeficiente -3.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color verde).
Una vez obtenida la variable que entra en la base, se procede a determina cual será la variable
que sale de la misma. La decisión se toma en base a un sencillo cálculo: dividir cada término
independiente (columna P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre
que ambos elementos sean estrictamente positivos (mayores que cero). Se escoge la fila cuyo
resultado haya resultado mínimo.
18/2 = 9 42/2 = 21 24/3 = 8
Actualizamos la tabla

19. Al comprobar la condición de parada se observa que no se cumple ya que entre los elementos
de la última fila hay uno negativo, -1. Se continúa iterando nuevamente los pasos 6 y 7.
La variable que entra en la base es X2 (P2).
2 / 1/3 = 6 26 / 7/3 = 78/7 8 / 1/3 =24.
Como el menor cociente positivo es 6, la variable que sale de la base es X3 (P3).
El elemento pivote es 1/3
Seguimos iterando…

20. La variable que entra en la base es X5 (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1.
6/(-2) = - 3 12/4 = 3 6/1 = 6. En esta ocasión es X4 (P4).
El elemento pivote es 4.
Actualizamos las filas
Por último, se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos
cumpliéndose, por tanto la condición de parada.
Deshaciendo el cambio de variables se obtiene x = 3 e y = 12.

21. Se trata de una
Variante del método
Simplex,.
Método de la dos Fases
Características
Es una estrategia algorítmica que se aplica
cuando luego de llevar un modelo de
programación lineal a su forma estándar
Este método resuelve el modelo de
programación lineal en dos fases.
No se dispone de una solución básica
factible inicial..
1
2
3
Es usado
como alternativa al Método
de la Gran M pues evita el
uso de la constante «M»
Sus

22. Después pasar a resolver el
modelo a través del método
simplex. Para utilizar este método
se deber tener el modelo en su
forma ampliada, las variables de
decisión deben de ser reales y
mayores a cero.
PROCEDIMIENTO
Eliminamos las
variables artificiales de
las restricciones, pero
conservamos los
cambios que se dieron
durante la fase 1.
Fase 1 (Se busca la primera
Solución básica factible):
Ahora se cambia la función
objetivo por una función
de minimización donde las
variables de decisión son
las variables artificiales,
pero tomamos el conjunto
de restricciones de la
función original.
Las variables artificiales
salen de la base o la
función objetivo obtiene
el valor de cero. Si no
ocurre ninguno,
entonces el modelo no
tiene solución
Fase 2 (Resolvemos el modelo
con la nueva solución
encontrada):
Regresamos a la
función objetivo original
y resolvemos el modelo
con los cambios que se
dieron en las
restricciones durante la
fase 1
Método de las 2 Fases
Trabaja por medio de 2
fases o procedimientos,
con el objetivo de encontrar
primeramente una solución
factible inicial

23. Considere el
siguiente modelo de
Programación
Lineal.
Al agregar S1 como variable
de exceso en la restricción
1 resulta evidente que no se
dispone de una solución
básica factible inicial, por
tanto utilizaremos una
variable auxiliar "y" que
servirá como variable
básica inicial.
Fase 1
Ejemplo Método 2 Fases
Luego la variable X2 entra a
la base y claramente "y"
deja la base. Se actualiza la
tabla utilizando el método
simplex.
Con esta tabla finaliza la
Fase 1. Notar que el
valor de la función
objetivo al finalizar la
Fase 1 es cero, por tanto
podemos continuar la
Fase 2.

24. Se elimina la columna asociada a la variable artificial "y" y se actualiza
el vector de costos reducidos considerando la función objetivo original.
De esta forma se obtiene la tabla inicial de la Fase 2.
Fase 2
Dado que X2 es variable
básica al finalizar la Fase 1
buscamos dejar esta misma
variable como básica al
iniciar la Fase 2. Para ello
multiplicamos por -3 la fila 1
y luego la sumamos a la fila
2.
En este sencillo
ejemplo se llega
inmediatamente a la
tabla final de la Fase
2, con solución
óptima X1=0 y X2=10.
El valor óptimo
V(P)=-30.

25.  PhpSimplex (2020). Sitio web Disponible:
http://www.phpsimplex.com/ejemplo_metodo_simplex.htm
 Flores, P. El método simplex en forma tabular. En Academia.
https://www.academia.edu/22751522/EL_METODO_SIMPLEX_EN_FORMA_TABUL
AR
 Programación lineal | Ingenieria Industrial Online. (2021). Recuperado 21 May 2021,
https://www.ingenieriaindustrialonline.com/investigacion-de-
operaciones/programacion-lineal/
 Ger Gon, M. (2021). Investigación de operaciones - Monografias.com. Recuperado
21 May 2021, https://www.monografias.com/trabajos97/investigacion-d-
operaciones/investigacion-d-operaciones.shtml
 Programación lineal | Ingenieria Industrial Online. (2021). Recuperado 21 May 2021,
https://www.ingenieriaindustrialonline.com/investigacion-de-
operaciones/programacion-lineal/
Bibliografía