Este documento presenta un análisis de sistemas mineros donde se estudian dos minas (A y B) que producen mineral con diferentes leyes y costos. Se debe determinar la cantidad de días que debe trabajar cada mina para cumplir con los requerimientos de producción mínimos a un costo total mínimo, sujeto a restricciones de producción. Se formula un modelo matemático con variables de decisión, función objetivo y restricciones para resolver el problema mediante un método gráfico.

1. Una compañía nueva posee 2 minas
La mina A produce 1 Ton de Hierro de alta calidad por dia, 3 Ton de Media y 5 Ton de Baja.
La mina B produce 2 Ton de Cada una de las 3 calidades.
La compañía necesita por lo menos 80 Ton de mineral de Alta calidad, 160 de media y 200 Ton
de baja.
Sabiendo que el costo diario de operación es de $2000 en cada mina.
Cuantos días debe trabajar cada mina para que el costo sea minimo
Variables del Modelo
X  X1 dias de trabajo en A
Y  Y2 dias de trabajo en B
FUNCION OBJETIBO:
Min Z = f(x,y) = 2000x + 2000y
MINA DIAS
LEYES
COSTO DIARIO
ALTA MEDIA BAJA
A X 1X 3X 5X 2000X
B Y 2Y 2Y 2Y 2000Y
PRODUCCION 80 160 200
RESTRICCIONES:
A) X + 2Y ≥ 80
B) 3X + 2Y ≥ 160
C) 5X + 2Y ≥ 200
SOLUCION METODO GRAFICO R2:
restriccion X Y
1
0 40
80 0
2
0 80
53.3333333 0
3
0 100
40 0
GRAFICO DE RESTRICCIONES:
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100
R1
R2
R3
A
B
C
D

2. CONJUNTO SOLUCION:
PUNTOS X Y
FUNCION
OBJETIVA
A 0 100 200000
B 20 50 140000
C 40 20 120000
D 80 0 160000
CONCLUSION:
SEGÚN ESTE ULTIMO CUADRO, EL PUNTO DEL CONJUNTO SOLUCION QUE CUMPLE
OPTIMAMENTE CON NUESTROS REQUERIMENTOS ES EL PUNTO C.
EJEMPLO 2
FUNCION OBJETIVO:
MAXIMIZAR Z=0.1X +0.08Y
MINA
LEYES
COSTO DIARIO
ALTA MEDIA BAJA
A 1X 1X 0 0.1X
B 1Y 0 1Y 0.08Y
PRODUCCION 210000 130000 60000
RESTRICCIONES:
A) X+ Y ≤ 210000
B) X ≤ 130000
C) Y ≥ 60000
D) X≤ 2Y
SOLUCION METODO GRAFICO R2:
restriccion X Y
1
0 210000
210000 0
2
130000 0
130000 0
3
0 60000
0 60000
4
0 0
2 0

3. GRAFICO DE RESTRICCIONES:
CONJUNTO SOLUCION:
PUNTOS X Y
FUNCION
OBJETIVO
A 0 60000 4800
B 130000 80000 19400
C 130000 65000 18200
D 120000 60000 16800
E 0 210000 16800
CONCLUSION:
SEGÚN ESTE ULTIMO CUADRO, EL PUNTO DEL CONJUNTO SOLUCION QUE CUMPLE
OPTIMAMENTE CON NUESTROS REQUERIMENTOS ES EL PUNTO B.
EJEMPLO 3
FUNCION OBJETIVO:
MINIMIZAR Z=60X + 70Y
TAJO Cu Zn Mo
A 50X 4X 1X
B 15Y 8Y 3Y
PRODUCCION 87500 16000 5000
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
0 100000 200000 300000 400000 500000
R1
R2
R3
R4

4. RESTRICCIONES:
A) 50X + 15Y ≥ 87500
B) 4X + 8Y ≥ 16000
C) 1X + 3Y ≥ 5000
SOLUCION METODO GRAFICO R2:
restriccion X Y
1 0 5833.33333
1750 0
2 0 2000
4000 0
3 0 1666.66667
5000 0
GRAFICO DE RESTRICCIONES:
CONJUNTO SOLUCION:
PUNTOS X Y
FUNCION
OBJETIVA
A 0 5833.33 408333.3333
B 1352.94 1323.53 173823.5294
C 2000 1000 190000
D 5000 0 300000
CONCLUSION:
SEGÚN ESTE ULTIMO CUADRO, EL PUNTO DEL CONJUNTO SOLUCION QUE CUMPLE
OPTIMAMENTE CON NUESTROS REQUERIMENTOS ES EL PUNTO B.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
R1
R2
R3

5. EJEMPLO 4
FUNCION OBJETIVO:
MAXIMIZAR Z= 25X + 10Y
RESTRICCIONES:
A) X/20 + Y/15 ≤ 14
B) X ≥ 70
C) Y ≥ 40
D) X + Y ≤ 180
E) 15X + 20Y ≤ 2500
SOLUCION METODO GRAFICO R2:
restriccion X Y
1
0 210
280 0
2
70 0
70 210
3
0 40
280 40
4
0 180
180 0
5
0 125
166.666667 0
GRAFICO DE RESTRICCIONES:
0
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200 250 300
R1
R2
R3
R4
R5

6. CONJUNTO SOLUCION:
PUNTOS X Y FUNCION OBJETIVO
A 70 40 2150
B 70 72.5 2475
C 113.333 40 3233.333333
CONCLUSION:
SEGÚN ESTE ULTIMO CUADRO, EL PUNTO DEL CONJUNTO SOLUCION QUE CUMPLE
OPTIMAMENTE CON NUESTROS REQUERIMENTOS ES EL PUNTO C.

7. ANÁLISIS DE SISTEMAS MINEROS
ANÁLISIS DE SISTEMAS MINEROS
Estudia los conceptos y metodología para la aplicación de técnicas de
investigación operativa en el desarrollo de sistemas de información y modelos
en el campo de la minería.
Da conocimientos de investigación operativa de procesos mineros
desarrollando modelos apropiados.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
La Investigación de Operaciones se ocupa de la resolución de problemas
relacionados con la conducción y coordinación de las operaciones o
actividades dentro de una organización.
Su ámbito de aplicación es muy amplio, aplicándose a problemas de
fabricación, transporte, construcción, telecomunicaciones, planificación y
gestión financiera, ciencias de la salud, servicios públicos, etc.
En general, se aplica en todos los problemas relacionados con la gestión, la
planificación y el diseño.
La Investigación de Operaciones incluye un conjunto muy amplio de técnicas
orientadas a proporcionar una ayuda cuantitativa en la toma de decisiones. El
método empleado es el método científico, y las técnicas que se utilizan son, en
buena medida, técnicas matemáticas.
¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?
La construcción creativa de modelos de decisión basados en descripciones
matemáticas, con el objetivo de tomar decisiones en situaciones de
complejidad o incertidumbre.
HISTORIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Surge durante la Segunda Guerra Mundial, cuando había una gran necesidad
de administrar los escasos recursos. La Fuerza Aérea Británica formó el primer
grupo que desarrollaría métodos cuantitativos para resolver estos problemas
operacionales y bautizó a sus esfuerzos como Investigación Operacional.
Poco después, las fuerzas armadas estadounidenses formaron un grupo
similar, compuesto por científicos físicos e ingenieros, cinco de los cuales
posteriormente fueron laureados con el premio Nobel.

8. Después de la Segunda Guerra Mundial, los administradores de la industria
reconocieron el valor de aplicar técnicas similares a sus complejos problemas
de decisión.
Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados y
procedimientos para solucionar problemas como la programación de refinerías
de petróleo, distribución de productos, planeación de producción, estudio de
mercados y planeación de inversiones.
Procedimientos que se hicieron posibles con el advenimiento de la
computadora, ya que la resolución del típico problema de investigación de
operaciones requiere demasiados cálculos para ser realizados manualmente.
CATEGORÍAS BÁSICAS DE PROBLEMAS
PROBLEMA DETERMINÍSTICO
Es un problema en el que toda la información necesaria para obtener una
solución se conoce con certeza.
La resolución de un problema determinístico es similar a decidir que cantidad
de mineral debemos enviar desde el ore pass o cancha de almacenamiento
hacia la planta de beneficio, conociendo cual es el tonelaje total almacenado el
contenido y el mineral, en el momento que tomamos la decisión.
PROBLEMA ESTOCÁSTICO
Es un problema en el que parte de la información necesaria no se conoce con
certeza, sino más bien se comporta de una manera probabilística.
Decidir que cantidad de mineral debemos enviar desde el ore pass o cancha de
almacenamiento hacia la planta de beneficio, desconociendo cual es el tonelaje
total almacenado el contenido y el mineral, en el momento que tomamos la
decisión.

9. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
Este primer paso consiste en identificar, comprender y describir, en términos
prácticos el problema que la empresa u organización enfrenta. En muchos
casos el problema no puede estar bien definido y requerir bastantes
discusiones y consenso entre los miembros del equipo de proyectos.
FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO Y RECOPILACIÓN DE DATOS
Es la expresión del problema en forma matemática, en función de las variables
de decisión y los datos recopilados del problema.
Luego haciendo uso de técnicas matemáticas disponibles obtendremos la
mejor solución.
RESOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
La Resolución del Modelo Matemático implica obtener los mejores valores
numéricos para las variables de decisión.
Dicha obtención depende del tipo específico de Modelo Matemático Para elegir
un método apropiado para resolverlo.
MÉTODO ÓPTIMO
Este método produce los mejores valores para las variables de decisión; es
decir aquellos valores que satisfacen simultáneamente todas las restricciones y
proporcionan el mejor valor para la Función Objetivo.
RESOLUCIÓN DEL
MODELO
MATEMÁTICO SOLUCIÓN
FORMULACIÓN DE UN
MODELO MATEMÁTICO Y
RECOPILACIÓN DE DATOS
IMPLEMENTACIÓN
VALIDACIÓN
DEFINICIÓN DEL
PROBLEMA
MODIFICACIÓN DEL
MODELO
MATEMÁTICO
SI
NO

10. MÉTODO HEURÍSTICO
Produce valores para las variables que satisfacen todas las restricciones.
Aunque no necesariamente óptimos, estos valores proporcionan un valor
aceptable para la Función Objetivo.
VALIDACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL DE LA SOLUCIÓN
Es extremadamente importante validar la solución es decir revisar
cuidadosamente la solución de un modelo matemático para asegurar que los
valores tengan sentido y que las decisiones resultantes puedan implementarse.
Así también debe supervisarse no sólo para asegurarse que la solución trabaja
según lo planeado; si no porque el problema, los datos o ambos pueden
cambiar con el tiempo.
MODIFICACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
Si durante la validación se encuentra que la solución no puede llevarse a cabo,
se pueden identificar las restricciones que fueron omitidas durante la
Formulación del Problema original o si se formularon en forma incorrecta.
En estos casos debe regresarse a la etapa de Formulación del Problema y
hacerse las modificaciones apropiadas.
MODELO MATEMÁTICO
El Modelo Matemático constituye una herramienta de la Investigación de
Operaciones mediante la cual se formulan los problemas en forma matemática.
CONSTRUCCIÓN DE UN DEL MODELO MATEMÁTICO
IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN
Las variables de decisión son valores desconocidos, ha determinarse en la
resolución del modelo matemático y que proporcionan la solución del problema.
A: Toneladas de Mineral Transportadas desde la Unidad Minera 1 a la
Planta de Beneficio.
X1: Mineral Producido por el Tajo 1 de la Mina Mónica.
X2: Costo Unitario por Tonelada producida en la Unidad Minera San Juan.
IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
La función Objetivo constituye el objetivo global que la empresa persigue
expresada en forma matemática. Esta función puede expresarse como una
MAXIMIZACIÓN de mejorar u optimizar sus ganancias o rentas, aumentar la

11. producción, etc. o una MINIMIZACIÓN o reducción de sus costos de
producción, insumos, mano de obra, etc.
Ejemplo: Min / Max Z = 4X1 + 7X2 + 3X3 +….. + CXn
IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES
Es la expresión matemática de las limitaciones o consideraciones que nos
impone el problema.
Limitaciones:
a) La capacidad instalada de la Planta de Beneficio es de 2,500 TM/día.
b) La producción mensual de la Unidad Minera 1 es de 15,000 TMS.
Restricciones:
1) X1 + X2 + X3 +… + CXn >= 2,500 Producción Diaria TM/día.
2) X1 <= 15,000 Producción Mensual UM 1.
EJEMPLO DE UN MODELO MATEMÁTICO
Consideremos una mina subterránea en la cual un mineral complejo de plomo,
zinc, cobre, plata y oro, esta depositado en vetas. En la explotación por el
método de corte y relleno, el mineral roto es colectado en los ore-pass y
posteriormente transportado por carros mineros.
El mineral se encuentra disponible en dos tajos. Los estándares de producción
para cada tajeo han sido establecidos como resultado de estudios de ingeniería
industrial y están expresados en Horas-Hombre por Tonelada de Mineral
enviado hacía los ore-pass; así también la producción diaria y contenido
mineral se indican en los reportes y cuadro estadístico de producción.
TAJO % Zn % Pb
PRODUCCIÓN
TM / Día
COSTO
Hr.-Hb. / TM
1 4 6 45 4
2 8 4 65 6
La planta de beneficio trabaja con una ley de cabeza promedio de no menos de
6.5 % Zn. y tampoco no menos de 4.5 % Pb. Los demás elementos Ag., Au. y
Cu., contenidos en el mineral son recuperados en los concentrados de Zn y Pb
por lo que no son considerados como restricciones de operación.
La gerencia espera una producción de 80 TM/Día, por tanto desea programar
la producción de los dos tajeos de manera que cumpla con los requisitos de
producción a un costo mínimo por Hora-Hombre.
FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

12. Definición de las Variables de Decisión
X1 = Tonelaje del Tajeo 1, enviado al ore-pass.
X2 = Tonelaje del Tajeo 2, enviado al ore-pass.
Definición de la Función Objetivo
Mín. Z = 4 X1 + 6 X2
Definición de las Restricciones
1) 0.04 X1 + 0.08 X2 >= (0.065) (80) TM concentrado de Zn.
2) 0.06 X1 + 0.04 X2 >= (0.045) (80) TM concentrado de Pb.
3) X1 <= 45 Producción del Tajeo 1.
4) X2 <= 65 Producción del Tajeo 2.
5) X1 + X2 >= 80 Producción Diaria.
6) X1; X2 >= 0 Restricción Lógica.
MODELO MATEMÁTICO
Variables:
X1 = Tonelaje del Tajeo 1, enviado al ore-pass.
X2 = Tonelaje del Tajeo 2, enviado al ore-pass.
Función Objetivo:
Min. Z = 4 X1 + 6 X2
Sujeto a:
1) 0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.20 TM concentrado de Zn.
2) 0.06 X1 + 0.04 X2 >= 3.60 TM concentrado de Pb.
3) X1 <= 45 Producción del Tajeo 1.
4) X2 <= 65 Producción del Tajeo 2.
5) X1 + X2 >= 80 Producción Diaria.
6) X1 ; X2 >= 0 Restricción Lógica.

13. CLASIFICACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS
Formulado el problema matemáticamente (Modelo Matemático) el siguiente
paso es resolverlo; es decir; encontrar valores para las variables de decisión
que satisfagan todas las restricciones y que, al mismo tiempo proporcionen el
mejor valor posible de la función objetivo.
Esta tarea se logra usando procedimientos sistemáticos, paso a paso, llamados
algoritmos aplicativos ejecutados por computadoras.
Los algoritmos que resuelven un Modelo Matemático pueden o no resolver otro,
por lo que para elegir el más adecuado debemos identificar la clase a la que
pertenece un problema en particular.
1.- CLASIFICACIÓN BASADA EN LOS DATOS DEL PROBLEMA
Si se conocen todos los datos con certeza el Modelo Matemático
corresponde a un Modelo Determinístico; caso contrario estaremos frente a
un Modelo Estocástico.
2.- CLASIFICACIÓN BASADA EN LAS RESTRICCIONES
Los problemas Determinísticos se clasifican primero sobre la base de la
existencia de restricciones.
Problemas Irrestrictos, son los que carecen de restricciones.
Problemas restringidos, son los que tienen una o más restricciones.
Los problemas restringidos se clasifican sobre la base de las propiedades
matemáticas que las restricciones satisfacen.
X1 + X2 + X3 - Xn >= 52.80
Aditividad, es una de las propiedades matemáticas fundamentales de las
restricciones, en la que la contribución de cada variable a la función de
restricción se suma (o sustrae) a la de cada una de las otras variables de
restricción.
Proporcionalidad, es la segunda propiedad matemática fundamental de
las restricciones, si el valor de una variable se multiplica por cualquier
constante, la contribución de la variable a la restricción se multiplica por
esa misma constante.
Contribución de X1: 3 X1 = 3 (50) = 150
Sobre la base de las propiedades de aditividad y proporcionalidad, existen
dos clasificaciones de problemas restringidos.

14. Restricciones Lineales, en las que todas las restricciones satisfacen tanto
la aditividad como la proporcionalidad.
Restricciones no Lineales, en las que alguna restricción no satisface al
menos una de las propiedades de aditividad y proporcionalidad.
3.- CLASIFICACIÓN BASADA EN LA FUNCIÓN OBJETIVO
Teniendo en cuenta las propiedades matemáticas de la Función Objetivo
esta puede ser lineal o no lineal, lo que da pie a la siguiente clasificación de
Modelos Determinísticos:
a).- Objetivo Lineal, en la que la función objetivo es lineal.
Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 + 8 X3
b).- Objetivo no Lineal, en la que la función objetivo es no lineal.
Minimizar Z = (1.25 x 3 X1) + (0.004 x A x 4 X2) + 8 X3
4.- CLASIFICACIÓN BASADA EN LAS VARIABLES
Esta clasificación final se basa en la propiedad matemática de las
variables, denominada divisibilidad, lo que significa que una variable de
decisión puede, en teoría, asumir cualquier Valor Fraccional u otro, dentro
de cierto intervalo.
La propiedad de Divisibilidad da lugar a dos clases:
 Modelos de Variable Continua, en la que todas las variables
satisfacen la divisibilidad.
 Modelos de Variable Entera (o Discreta), en la que una o más
variables deben tener valores enteros.
PROGRAMACIÓN LINEAL APLICACIONES Y EL ENFOQUE GRÁFICO

15. PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Un Problema de Programación Lineal, es un problema en el que la Función
Objetivo y todas las Restricciones, son Lineales y todas las Variables son
continuas.
Los problemas de programación lineal tienen amplias aplicaciones prácticas en
áreas tan diversas como la asignación de recursos escasos, la compra y
fabricación, la planeación de dietas, administración de agencias, la
combinación y la planeación de producción.
A un cuando los problemas del mundo real tienen más de dos variables y no
pueden resolverse geométricamente, las ideas ganadas al resolver
gráficamente problemas de dos variables proporciona una clara comprensión
de cómo resolver algebraicamente problemas de tres o más variables, que es
el método usado con computadoras.
PROGRAMACIÓN LINEAL: EL ENFOQUE GRÁFICO
El enfoque gráfico es útil no sólo para encontrar una solución óptima, sino
también para obtener información adicional sobre cuán susceptible es la
solución óptima con respecto a los cambios en los datos del problema.
PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Variables:
X1 = Tonelaje del Tajeo 1, enviado al ore-pass.
X2 = Tonelaje del Tajeo 2, enviado al ore-pass.
Función Objetivo:
Mín. Z = 4 X1 + 6 X2
Sujeto a:
1) 0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.2 TM concentrado de Zn.
2) 0.06 X1 + 0.04 X2 >= 3.6 TM concentrado de Pb.
3) X1 <= 45 Producción del Tajeo 1.
4) X2 <= 65 Producción del Tajeo 2.
5) X1 + X2 >= 80 Producción Diaria.
6) X1 ; X2 >= 0 Restricción Lógica.
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

16. Usted como responsable de la operación de la mina su objetivo es resolver
este problema, es decir encontrar valores para las variables X1 y X2 que
satisfagan las cinco restricciones y que produzcan el menor costo o menor
valor de la función objetivo.
GRAFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES DE UN PROGRAMA LINEAL
El método gráfico para resolver un programa lineal con dos variables se inicia
concentrándose primero en graficar las restricciones y posteriormente en la
función objetivo.
 Consideramos una restricción a la vez.
 Cada restricción permite ciertos valores de X1 y X2 que satisfacen
la restricción.
 Estos valores se denominan Valores Factibles.
 Aquellos que no satisfacen la restricción se llaman Valores
Infactibles.
El proceso para graficar cada restricción es el siguiente:
1) Reemplazar el signo de desigualdad de cada restricción por un
signo de igualdad.
2) Determinar las intersecciones con los ejes X1 y X2.
3) Dibujar la línea recta correspondiente a la ecuación de cada
restricción.
4) Identificar el lado de la línea que satisfaga la desigualdad original o
restricción.
5) Sombrear esta porción de la gráfica que satisfaga todas las
restricciones formuladas hasta el momento.
Restricción 1)
0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.2
0.04 X1 + 0.08 X2 = 5.2
Sí X2 = 0 X1 = 130
Sí X1 = 0 X2 = 65
Restricción 2)
0.06 X1 + 0.04 X2 >= 3.6
0.06 X1 + 0.04 X2 = 3.6
Sí X2 = 0 X1 = 60
Sí X1 = 0 X2 = 90
Restricción 3)
X1 <= 45
Restricción 4)
X2 <= 65

17. X1 = 45
Entonces:
X1 = 45
X2 = 65
Entonces:
X2 = 65
Restricción 5)
X1 + X2 <= 80
X1 + X2 = 80
Sí X2 = 0 X1 = 80
Sí X1 = 0 X2 = 80
VALORES FACTIBLES
Todos los puntos de las líneas del gráfico de las restricciones dan origen a
Valores Factibles para X1 y X2, como cualquier punto de uno de los dos lados
de las líneas. Para averiguar que lado, elegimos cualquier punto que no este en
la línea y analizamos si los valores X1 y X2 correspondientes satisfacen la
restricción. Si así es, entonces este punto está en el Lado Factible; de otra
manera, el punto no está en el lado factible.
LADO FACTIBLE DE LA RECTA DE LA RESTRICCIÓN (1)
Reemplazando los valores de X1 y X2 del lado de arriba de la recta (1):
0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.2
X1 = 70 X2 = 50
0.04 (70) + 0.08 (50) >= 5.2
2.8 + 4.0 >= 5.2
6.8 >= 5.2
Estos valores satisfacen la restricción por tanto este lado de la recta es el Lado
Factible.

18. LADO INFACTIBLE DE LA RECTA DE LA RESTRICCIÓN (1)
Reemplazando los valores de X1 y X2 del lado de abajo de la recta (1):
0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.2
X1 = 40 X2 = 30
0.04 (40) + 0.08 (30) >= 5.2
1.60 + 3.20 >= 5.2
4.80 >= 5.2
Estos valores no satisfacen la restricción por tanto este lado de la recta es el
Lado Infactible.
10 30 50 70 90 110 130 150
X1
10
40
50
30
20
70
80
90
60
130
120
110
100
X2
(1)
LADO FACTIBLE
X1 = 70
X2 = 50

19. GRÁFICA DE LAS LÍNEAS DE LAS RESTRICCIONES DE UN PROGRAMA LINEAL
10 30 50 70 90 110 130 150
X1
10
40
50
30
20
70
80
90
60
100
X2
X1 = 40
X2 = 30
LADO INFACTIBLE
10
40
50
30
20
70
80
90
60
130
120
110
100
10 30 50 70 90 110 130 150
X2
(1)
(3)
(4)
(5)
(2)
X1

20. GRÁFICA DE LAS LÍNEAS DE LAS RESTRICCIONES DE UN PROGRAMA LINEAL
REGIÓN FACTIBLE
El área final sombreada se denomina la Región Factible del programa lineal.
Cualquier punto que esté dentro de la región factible es una Solución Factible y
da origen a valores para X1 y X2 que satisfacen todas las restricciones. La
región factible está limitada por líneas rectas que se juntan en agudos “puntos
esquina” etiquetados de A a E. Estos puntos esquina se denominan puntos
extremos.
10
40
50
30
20
70
80
90
60
120
110
100
10 30 50 70 90 110 130 150 X1
X2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

21. SOLUCIÓN ÓPTIMA
Es el punto en la región factible que tiene el mejor valor de la Función Objetivo.
El proceso para determinar la Solución Óptima del programa lineal es el
siguiente:
1. Trazamos la línea de la Función Objetivo.
2. Localizamos su mejor lado.
3. Movemos la línea de la función objetivo de manera paralela así misma
en la dirección de mejora hasta que esté a punto de dejar la Región
Factible.
Este punto final es la Solución Óptima al Programa Lineal.
USO DE LA FUNCIÓN OBJETIVO PARA OBTENER UNA SOLUCIÓN ÓPTIMA
Línea de Función Objetivo
Línea utilizada en el método gráfico en la cual todos los puntos sobre la línea
tienen el mismo valor de función objetivo.
TRAZADO DE LA LÍNEA DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
Min Z = 4 X1 + 6 X2
— 6X2 = 4 X1 — Z
X2 = — (4/6) X1 + (Z/6)
Y = m X + b
m = 4/6
A
B
C
D
E
(1)
(5)
(2)
(3)
(4)
REGIÓN
FACTIBLE

22. LOCALIZACIÓN DEL MEJOR LADO DE LA LÍNEA DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
Para localizar el mejor lado, elegimos cualquier punto que no esté en la Línea
de la Función Objetivo y analizamos si el valor de X1 y X2 correspondientes
satisfacen la Función Objetivo.
Si así es, entonces este punto está en el Mejor Lado y por tanto hemos
localizado el mejor lado; de otra manera, el punto no está en el mejor lado.
Reemplazando los valores de X1 y X2 de un lado de la línea de la Función
A
B
C
D
E
(1)
(5)
(2)
(3)
(4)
Línea de Función
Objetivo
10 30 50 70 90
110 130 150
10
40
50
30
20
70
80
90
60
130
120
110
100
X2
(1)
(4)
(5)
(2)
(3)
A
D
E
B
X1
X1 = 33
X2 = 60
C
X1 = 35
X2 = 52
Mejor Lado de la
Línea de la
Función Objetivo

23. Objetivo:
Min Z = 4 X1 + 6 X2
a).- X1 = 33 X2 = 60
4 (33) + 6 (60)
132 + 360 = 492 Hr-Hb
b).- X1 = 35 X2 = 52
4 (35) + 6 (52)
140 + 312 = 452 Hr-Hb
El caso b).- refleja el mínimo valor de la Función Objetivo, por tanto este es el
mejor lado (lado inferior).
OBTENCIÓN DE VALORES NUMÉRICOS PARA LA SOLUCIÓN ÓPTIMA
Una forma de obtener los valores numéricos de las variables de decisión para
la Solución Óptima es leerlas directamente de la gráfica.
Este proceso visual, sin embargo, no es preciso.
Punto
Extremo
X1 X2
Valor de la Función Objetivo
Min Z = 4 X1 + 6 X2
A 45.00 42.50 435.00
A
B
D
E
(1)
(5)
(2)
(3)
(4)
X1 =
30
Región
Factible
C
Solución Óptima

24. B 45.00 65.00 570.00
C 17.00 65.00 458.00
D 20.00 60.00 440.00
E 30.00 50.00 420.00
La Solución Óptima es:
X1 = 30 Toneladas de Mineral del Tajo 1 (TM).
X2 = 50 Toneladas de Mineral del Tajo 2 (TM).
Valor de la Función Objetivo Z = 420 Hr – Hb.
Un enfoque más exacto se basa en observar que la solución optima ocurre en
el punto extremo E.
Este punto extremo cae en la intersección de las dos líneas correspondientes a
las restricciones (1) y (5).
Estas ecuaciones son:
1) 0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.2
2) X1 + X2 <= 80
Se pueden encontrar los valores exactos de la solución óptima resolviendo
estas dos ecuaciones para determinar los valores X1 y X2
Estas ecuaciones son:
1) 0.04 X1 + 0.08 X2 = 5.2
2) X1 + X2 = 80
1) 0.04 X1 + 0.08 X2 = 5.20
2) X1 + X2 = 80
3) X1 = 80 — X2
4) 0.04 (80 — X2) + 0.08 X2 = 5.20
5) 3.2 — 0.04 X2 + 0.08 X2 = 5.20
6) 0.04 X2 = 2.0
7) X2 = 50
Reemplazando en (3) X1 = 80 — 50
Encontramos que: X1 = 30
Los valores de X1 y X2 que definen la Solución Óptima
son:
X1 = 30
X2 = 50