La Lemniscata de Bernoulli es una curva en forma de ocho descrita por primera vez en 1694 por Jacob Bernoulli. Representa el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a dos puntos fijos es constante. Puede construirse trazando una circunferencia tangente a dos rectas perpendiculares y uniendo puntos equidistantes de la circunferencia. Tiene aplicaciones en relojes de sol, diseño de carreteras y significados esotéricos como símbolo de infinito.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
LEMNISCATA DE BERNOULLI
FIS. JUAN VELÁZQUEZ TORRES

3. La lemniscata fue descrita por
primera vez en 1694 por
Jacob Bernoulli como la
modificación de una elipse,
curva que se define como el
lugar geométrico de los puntos
del plano tales que la suma de
distancias a dos puntos fijos es
una constante. La lemniscata
es el lugar geométrico de los
puntos del plano tales que el
producto de estas distancias
es una constante. Bernoulli la
llamó lemniscus, que en Latín
significa "cinta colgante".
Introducción

5. La Lemniscata de Bernoulli es
un tipo de curva descrita
mediante coordenadas
Polares según las siguientes
ecuaciones:
2 2
2 2
2
cos2
r a sen
ó
r a




Ecuación de la Lemniscata de Bernoulli

6. La ecuación genérica de los
óvalos de Cassini en forma
polar es:
La ecuación genérica de los
óvalos de Cassini en
coordenadas cartesianases:
La forma de la curva depende
de la relación b/a. Si es mayor
que 1 la curva tiene dos lazos;
si es menor que 1 la curva sólo
tiene un lazo y si es 1, la curva
es la Lemniscata de Bernoulli
4 4 2 2 4
2 cos 2
r a a r b

  
   
2
2 2 2 2 2 4 4
2 0
x y a x y a b
     
Óvalos de Cassini

8. Método geométrico para la construcción de una
Lemniscata de Bernoulli
1
m
2
m
2
n
1
n
1
p 2
p
2
q
1
q
M
N
P
Q
1. Trazar dos rectas
perpendiculares r y s.
2. Trazar una
circunferencia
tangente a las dos
rectas con el radio
que se quiera.
3. Por O (intersección
de r y s), trazar
rectas secantes a la
circunferencia. Cada
secante corta a la
circunferencia en una
pareja de puntos,
como la pareja m1 y
m 2
4. Tomar la longitud
de cada cuerda y
situarse en la recta a
partir de O
obteniendo puntos de
la curva como M al
tomar la cuerda
m1m2, N para n1 n2, P
para p1 p2…
5. Al unir los
diferentes puntos M,
N, P… la curva
queda determinada.
r s
O

10. Si seccionamos un toro con un
plano paralelo a su eje,
obtendremos óvalos de Cassini
con diferentes formas según el
plano esté más cerca o lejos de
dicho eje (simplificando mucho
la forma de expresarlo). En las
imágenes está la Lemniscata de
Bernoulli, caso particular de los
óvalos de Cassini.
Dulce Lemniscata de Bernoulli

12. Desde el momento en que un
vehículo en marcha por una
carretera entra en una curva,
actúa sobre él, además de la
fuerza gravitatoria, la fuerza
centrífuga.
La Lemniscata de Bernoulli
tiene radio de curvatura
variable por lo que junto a un
peralte adecuado puede
minimizar el efecto de la
fuerza centrífuga
La Lemniscata de Bernoulli en las curvas de
las carreteras

14. Fuerza centrípeta
2
c
mv
F
r


16. La imagen muestra un reloj
de Sol, conocido como
cuadrante vertical meridiano
(exactamente frente al sur),
con correcciones por
longitud y por ecuación del
tiempo. En dicho cuadrante
aparecen unas líneas en
forma de ocho muy
alargados, llamadas
Lemniscatas de Bernoulli,
que son las encargadas de
introducir la correción por la
ecuación del tiempo (E.T.)
Relojes de Sol

18. En el Tarot de Rider se
corresponde con el Arcano de
la Fuerza, el cual porta el
símbolo del infinito, la
Lemniscata de Bernoulli,
sobre la cabeza. Se asocia al
psiquismo, a la naturaleza
dulce de lo femenino, al lado
amable de la naturaleza
humana, que al sublimarse
logra maravillas, resultados
concretos. La fuerza
representa la conquista que
alguien ha logrado sobre si
mismo, teniendo ahora un
poder infinito como aliado
Significado esotérico de la Lemniscata de Bernoulli
Frida Kalo con el símbolo de
infinito en su trenza

20. El símbolo de infinito fue
creado por el matemático
inglés John Wallis más o menos
por 1655. Tiene la forma de
una curva llamada Lemniscata
de Bernoulli, aunque no se
sabe de dónde sacó Wallis la
idea.
Al y
más allá
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