Este documento describe la circunferencia desde una perspectiva analítica. Define la circunferencia como el lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia fija del centro. Deriva la ecuación canónica de la circunferencia a partir de la definición de distancia entre dos puntos. Explica cómo transformar la ecuación general de la circunferencia a su forma canónica y analiza las propiedades de tangencia. Finalmente, presenta un ejemplo de aplicación para determinar si un sismo afectó a una ciudad.

1. RUBEN BLANCAS RIVERA
LA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO
DE VISTA ANÁLITICO

2. CIRCUFERENCIA COMO CÓNICA
Si el plano corta completamente a lo largo de uno de los dos
conos, y este plano es perpendicular al eje del cono, la curva de la
sección obtenida se denomina circunferencia

3. DEFINICIÓN
 Wotton W, Beckenbach E ,Fleming F.(1996)
definieron en su obra a la circunferencia como “al
lugar geométrico (conjunto) de todos los puntos del
plano que están a una distancia dada (radio) de un
punto dado (centro).Al segmento cuyos extremos son
el centro del círculo y a un punto de la circunferencia
se llama segmento radial de la circunferencia”.
 También LEHMAN C. (1980) definió a la
circunferencia como “el lugar geométrico de un punto
que se mueve en un plano de tal manera que se
conserva siempre una distancia constante de un
punto fijo de ese plano. Donde el punto fijo se llama
centro de la circunferencia y la distancia constante
se llama radio”.

4. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUFERENCIA

5. Definición de distancia de dos
puntos
Ecuación Canónica de la
circunferencia

6. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
.
Luego definamos de la ecuación como:

7.  Así obtenemos la siguiente ecuación,
sustituyendo.
Ecuación general, o ecuación
cartesiana de la circunferencia.

8.  TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN
GENERAL A LA FORMA CANONICA DE
LA CIRCUFERENCIA
Recordemos la forma de la ecuación general o
cartesiana de la circunferencia.

9. Luego, usaremos un poco de algebra, lo cual
es primero despejar y completar cuadrados.

10. ANALIZANDO LA PARTE DERECHA DE LA
ECUACIÓN ANTERIOR
 1.- Si la ecuación
representa una circunferencia de radio:
 Y centro: C(-D/2,-E/2)
 2.- Si la ecuación representa
un punto o circunferencia de radio cero.
 3.- Si entonces no hay lugar
geométrico.

11. TANGENCIA

12. Se define a la recta tangente de una
circunferencia como la recta que tiene un
punto interceptado con un solo punto de la
circunferencia.
De acuerdo a la definición podemos tomar un
punto T (y´, x´) , que es el punto de
tangencia, de una circunferencia de radio r.

13. Sea , note que LT es
tangente a la circunferencia si y solo si es
perpendicular a r.
 Sea , punto genérico, note que si
, v es un vector de dirección de LT.
 Así si y sólo si v es perpendicular a r, o bien

14. Así
O bien si
Por lo tanto tenemos:
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE EN
PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA

15. ALGUNAS APLICACIONES DE LA
CIRCUNFERENCIA
 En la prehistoria, con la invención de la
rueda se dio inicio a toda la tecnología de
hoy en día, todo gracias a este invento, la
rueda, y aunque sea indirectamente, y en
este caso tenemos aplicaciones de la
circunferencia

16. PROBLEMA
Un servicio sismológico de Baja California
detectó un sismo con origen en la ciudad de
Mexicali a 5 km este y a 3km sur del centro
de la ciudad, con un radio de 4km a la
redonda. ¿Cuál es la ecuación de la
circunferencia del área afectada? Utilizando
esta ecuación, indica si afecto a la Ciudad de
Mexicali.

17. SOLUCIÓN:
Note que el epicentro se encuentra en (5,-3) , un
punto del plano donde el eje x delimitado con
dirección hacia x positiva el este, hacia x
negativa el oeste ,y el eje y , hacia el norte las y
positiva y al sur las y negativa, así por hipótesis
este punto tiene sentido en el plano de acuerdo
a como se dio las direcciones. Así obtenemos
de acuerdo a la hipótesis una circunferencia de
radio r=4 con centro en (5,-3). Usando la
ecuación canoníca de la circunferencia:

18. Así la ecuación de la circunferencia pedida
Observemos que la ciudad de Mexicali se
encuentra en el punto (0,0), veamos qué
(0,0) satisface la ecuación de la
circunferencia así sabremos si afecta a la
ciudad el sismo o no.
Al sustituir vemos que no satisface la
ecuación, por lo tanto, el sismo no afecto la
Ciudad de Mexicali.

19. CONCLUSIÓN
 Con esta teoría sobre las representaciones analíticas
que tiene la circunferencia podemos tener ya una
noción más de este lugar geométrico, se vio que no
es complejo entender todo esto, se necesitan
nociones muy básicas de algebra y geometría
analítica. Cuando se inicio todo esto se buscaba dar
una breve pero entendible explicación sobre la
circunferencia en la geometría analítica.
 Se espera que el estudiante haya sido este ensayo
de lo más fructífero para él, que pueda llevar el
aprendizaje paralelo a lo que ve en un salón de
clases.

20. REFERENCIAS:
 Wooton, W. (1979) Geometría Analítica México:
McGraw hill
 Lehmann, C. (1990).Geometría Analítica.
México: Limusa
 Kindle ,J. (1988). Geometría Analítica. México:
McGraw hill
 Kletenik, D. (1998). Geometría Analítica.
México: McGraw hill
 Grossman ,S. (2008). Algebra Lineal. México:
McGraw hill