El documento trata sobre la geometría proyectiva. Explica que surgió en el Renacimiento a partir de los métodos de perspectiva desarrollados por artistas como Brunelleschi y Alberti. Luego, en el siglo XVII, Desargues sentó las bases formales de la geometría proyectiva al publicar un tratado sobre perspectiva. Finalmente, define conceptos clave como proyecciones, homotecias, teoremas de proyectividad como los de Menelao, Pappus y Desargues, y la razón doble.

1. Geometría Proyectiva

2. UN POCO DE HISTORIA…
Origen de la geometría proyectiva
Renacimiento
Siglo XV-XVI
Métodos de perspectiva
Puntos de fuga

3. Filipp Brunelleschi (1377-1446)
El primer artista del Renacimiento
en tener una teoría sobre las leyes
que rigen una interpretación del
espacio tridimensional sobre un
soporte bidimensional

4. Leone Battista Alberti (1404-1472)
Artista que adoptó y puso por
escrito los principios de Brunelleschi, en
Della Pintura.
La Flagelación de
Cristo, 1469. Piero de
la Francesca.

5. LA ULTIMA CENA DE
GIOTTO DI BONDONE.
LA ULTIMA CENA
DE LEONARDO DA
VINCI.

6. LA ANUNCIACIÓN DE
FRA ANGELICO.

7. Gerard Desargues
Publicó en 1639 un
tratado donde busca
profundizar la teoría sobre
las perspectiva.
Se lo considera
precursor de la geometría
proyectiva.

8. CURIOSIDADES

9. Anamorfosis
 Es una deformación reversible de una
imagen  Es un efecto perspectivo utilizado en arte.
 Producida mediante un procedimiento óptico
(espejo curvo) o a través de un procedimiento
matemático.  Obliga al espectador a colocarse en un punto
especial y único para interpretar la imagen.

10. Los embajadores de Hans
Holbein

11. Los embajadores de Hans
Holbein

13. Señales viales en el pavimento

14. ¿Cómo hacer un dibujo anamórfico?

15. Trazamos una cuadricula sobre el dibujo que se quiere
convertir en imagen anamorfica.

16. A continuación se procede a distorsionar la red de la
siguiente forma.

18. Ejemplos

19. Ejemplos

20. Ejemplos

21. Ejemplos

22. Ejemplos

23. Actividad para alumnos del nivel medio
Utilizando los procedimientos para realizar un dibujo anamórfico,
transforma la siguiente imagen.

24. Habitación de Ames

26. PROYECCIONES

27. Proyecciones
Proyección Central
Dado un par de planos π y
π´ y un punto O fuera de
ellos, la imagen de cada
punto P de π es el punto
P´ en π´, que está en la
misma recta que pasa por
P y por O.
Proyección Paralela
Dados un par de planos π y
π´ y una recta dada que los
interseque pero no
pertenezca a ninguno de
ellos, la imagen de cada
punto P de π es el punto P´
en π´ que está en la paralela
a la recta dada que pasa por
P.

28. Propiedades de las proyecciones
Un punto se proyecta en un punto.
Una recta se proyecta en una recta
Si un punto esta en una recta, la proyección del punto estará en la
proyección de la recta y si una recta pasa por un punto la proyección de
la recta pasara por la proyección del punto
Si tres puntos están en una misma recta, sus proyecciones estarán en
una misma recta
Si tres rectas pasan por un mismo punto, sus proyecciones pasaran por
un mismo punto

29. Dilataciones-Homotecia
Dilataciones: transformaciones que cambian una figura en una figura
semejante.
Conserva los ángulos y la alineación.
Las distancias se incrementan o disminuyen en la misma razón
.
A´B´=kAB
K=1, isometrías

30. Actividad para alumnos del nivel medio
Dibuje en el geogebra un hexágono regular de perímetro 14,36.
Realiza una homotecia de centro O razón 0,4 ¿cuánto mide el
perímetro de la figura homotética?

31. Semejanza en espiral
La suma de una dilatación y un giro (α≠0° α≠180°) es una
semejanza que conserva ángulos tanto en magnitud como en
signo. Se llama rotación dilatada o semejanza en espiral
Se determina por su centro O, su razón K, y el ángulo de
rotación α.
Se denota O(k,α)
o
A´
B´
B
A

32. TEOREMAS

33. Teorema de Menelao
Si los X, Y, Z, puntos de los lados BC, CA, AB (convenientemente prologadas), del triángulo ABC
están alineados, entonces:
푩푿
푪푿
푪풀
푨풀
푨풁
푩풁
= ퟏ
Recíprocamente si X, Y, Z están en cada uno de los tres lados (o sus prolongaciones) de manera tal que:
퐵푋
퐶푌
퐴푍
= 1 entonces X, Y, Z están alineados
퐶푋
퐴푌
퐵푍

34. Teorema de Pappus

35. Teorema de Pappus
Enunciado
Si E, C, A son tres puntos de una recta; B, F, D de otra, y si las
tres rectas AB, CD, EF cortan a DE, FA, BC, respectivamente,
entonces los tres puntos de intersección L, M, N están alineados.
A
C
E
L M
N
B F D

36. Teorema de Desargues
GERARD DESARGUES
FUNDADOR DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA
ESCRIBE EL PRIMER TRATADO SOBRE EL TEMA EN1693
UNO DE LOS PRIMEROS TEOREMAS PROYECTIVOS

37. Teorema de Desargues
Enunciado
Si dos triángulos ABC y A’B’C’ en un plano están situados de tal
manera que las rectas que unen los vértices correspondientes ( A
y A’, B y B’, C y C’) se cruzan en un punto O, entonces los pares
de lados correspondientes se intersecan en tres puntos que están
situados en una misma recta.

38. Demostración

39. Teorema de Pascal
Blaise Pascal (1623-1662) Filósofo, físico y matemático francés.

40. Teorema de Pascal
“En todo hexágono inscripto en una
circunferencia, los puntos de intersección de
los lados opuestos, son colineales”.
Hipótesis: ABCDEF es un hexágono
cualquiera inscripto en una circunferencia.
Tesis: MI NH LG 1
MG NI LH

42. Demostración:
AG FH MI 1 BG NH CI 1 LG EH DI 1
AH FI MG BH NI CG LH EI DG
MI NH LG 1
MG NI LH

43. Razón doble
DEFINICIÓN: Cuatro puntos distintos cualesquiera A, B,
C, D determinan un número {ABCD} llamado razón
doble de los puntos en ese orden; está definida en
términos de cuatro de sus distancias recíprocas por la
fórmula:
{ABCD} = AC.BD/AD.BC
La razón doble es un invariante en la geometría proyectiva, por lo
cual decimos que una aplicación es una transformación proyectiva
si y solo si conserva la razón doble.

44. Cuaternas Armónicas
DEFINICIÓN: Se dice que cuatro puntos A, B, C, D de
una recta forman una cuaterna armónica si su razón
doble es igual a -1.
{ABCD} = -1