derivadas

2.  1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
◦ Polinómicas
◦ Racionales.
◦ Problemas con condiciones
 2. APLICACIONES DE LA DERIVADA:
◦ En distintas áreas: Economía, Medicina, Ingeniería,
Física, etc.
◦ En problemas de optimización.

3. Corte con los ejes
Dominio y Continuidad
Tipo de función
Periodicidad
Simetría
Asíntotas
Máximos y mínimos
Monotonía
Puntos de inflexión
Curvatura
 1. ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:

4.  ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
Tipo de función
Polinómica
Racional
Irracional
Exponenciales
y logarítimicas
Trigonométricas

5.  ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
Dominio
Conjunto de valores que toman la
variable independiente x.
Una función es continua si se puede
dibujar sin levantar el lápiz del papel
Una función es periódica si se repite en
intervalos iguales
Dominio
Continuidad
Periodicidad
)
(
)
( T
x
f
x
f 


6.  ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
Simetría
Par
Impar
)
(
)
( x
f
x
f 

)
(
)
( x
f
x
f 


2
x
y 
3
x
y 

7.  ANÁLISIS DE FUNCIONES
Asíntotas
Oblicuas
Horizontales
Verticales
Polinómicas Racionales
NO
NO
NO SI o NO
SI o NO
SI o NO

8. Asíntota vertical
Resolver la ecuación que se obtiene al
igualar a cero el denominador;
Se toman solo las raíces del denominador
que no lo son del numerador
 ANÁLISIS DE FUNCIONES
◦ Racionales
K
x 
3
5
2
)
(



x
x
x
f Se estudia:
)
(
lim x
f
K
x 

)
(
lim x
f
K
x 


9. Asíntota vertical
Resolver la ecuación que se obtiene al
igualar a cero el denominador;
Se toman solo las raíces del denominador
que no lo son del numerador
 ANÁLISIS DE FUNCIONES
◦ Racionales
K
x 
1
6
)
( 2


x
x
x
f Se estudia:
)
(
lim x
f
K
x 

)
(
lim x
f
K
x 


10. Asíntota vertical
Resolver la ecuación que se obtiene al
igualar a cero el denominador;
Se toman solo las raíces del denominador
que no lo son del numerador
 ANÁLISIS DE FUNCIONES
◦ Racionales
K
x 
1
)
( 2


x
x
x
f Se estudia:
)
(
lim x
f
K
x 

)
(
lim x
f
K
x 


11. Asíntota
Horizontal Se halla:
C
y 
1
)
( 2


x
x
x
f
 ANÁLISIS DE FUNCIONES
◦ Funciones racionales
)
(
lim x
f
C
x 


1
6
)
( 2
2


x
x
x
f
1
)
(
2


x
x
x
f

12. Asíntota Oblicua
1
)
( 2


x
x
x
f
 ANÁLISIS DE FUNCIONES
◦ Funciones racionales
1
)
( 2
2
3



x
x
x
x
f
1
)
(
2


x
x
x
f
Asíntota en y=mx+b, siempre
que el grado numerador sea
una unidad mayor que el de
denominador:
y=mx+b es el
cociente
12
3
)
( 2
2
4





x
x
x
x
x
x
f

13.  ANÁLISIS DE FUNCIONES
 ¿Para que se utilizan las derivadas en el análisis
de funciones?.
Máximos y mínimos relativos
Monotonía (crecimiento y
decrecimiento) de una función
Calcular los puntos de inflexión
Curvatura (concavidad o
convexidad ) de una función



14.  1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
1ª Derivada
Calcula la pendiente (m) de la recta tangente
a cualquier punto de la curva
La recta tangente algún punto de la curva es:
)
( 0
0 x
x
m
y
y 




15.  1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
Derivada
Máximos
y mínimos
relativos
1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0
3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
4º- Calcular f´´(punto candidato)
Las soluciones de f´(x)=0
son los candidatos a ser
máximos o mínimos
f´´(pto. candidato)<0,
Pto. candidato es
MÁXIMO
f´´(pto. candidato)>0,
Pto candidato es
MÍNIMO
5º- Calcular f(punto candidato)

16.  1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
Máximos y mínimos relativos
1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0
3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
4º- Calcular f´´(punto candidato)
f´´(pto. Cand.)<0,
Pto. candidato es
MÁXIMO
f´´(pto. Cand.)>0,
Pto candidato es
MÍNIMO
5º- Calcular f(punto candidato)
Las soluciones de f´(x)=0 son los
candidatos a ser máximos o mínimos
1
5
)
( 2
3


 x
x
x
f

17.  1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
Máximos y mínimos relativos
1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0
3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
4º- Calcular f´´(punto candidato)
f´´(pto. Cand.)<0,
Pto. candidato es
MÁXIMO
f´´(pto. Cand.)>0,
Pto candidato es
MÍNIMO
5º- Calcular f(punto candidato)
Las soluciones de f´(x)=0 son los
candidatos a ser máximos o mínimos
1
5
)
(
2



x
x
x
f

18.  1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
1
9
6
)
(
2




x
x
x
x
g
Monotonía
Máximos y mínimos
Puntos no pertenecen
al dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el
signo de la 1ª
derivada
0
)
( 
x
gI
0
)
( 
x
gI
Función g(x) decrece Función g(x) crece
)
,
3
[
]
1
,
( 



]
3
,
1
(
)
1
,
1
[ 

2
2
)
1
(
3
2
)
(




x
x
x
x
gI

19.  1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
Puntos de inflexión
1º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´´(x)=0
3º- Se calcula la 3ª derivada, f´´´(x)
4º- Calcular f´´´(punto candidato)
f´´´(pto. Cand.) es distinto de cero.
Pto. Candidato es punto de Inflexión
Las soluciones de f´´(x)=0 son los
candidatos a ser punto inflexión
Punto donde se produce el cambio
de concavo a convexo, o viceversa.
1
5
)
( 2
3


 x
x
x
f

20. Puntos no
pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el
signo de la 2ª
derivada
0
)
( 
x
f II
0
)
( 
x
f II
Función g(x) concava Función g(x)
convexa
Punto inflexión
Curvatura
 1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
x
x
x
x
f 4
3
)
( 2
3




21. Puntos no pertenecen
al dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el
signo de la
2ª derivada
0
)
( 
x
f II
0
)
( 
x
f II
Función g(x) concava Función g(x)
convexa
Punto inflexión
Curvatura
 1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
1
9
6
)
(
2




x
x
x
x
g
)
1
,
( )
,
1
( 