Este documento presenta los conceptos fundamentales de funciones crecientes y decrecientes, puntos críticos, máximos y mínimos locales, y el criterio de la primera derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento. El estudiante aprenderá a identificar analítica y gráficamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de funciones y sus puntos extremos usando el criterio de la primera derivada.
2. 1 FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTES.
2 PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN EN
UN INTERVALO.
2 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA
DETERMINAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS
DE LAS FUNCIONES.
3. Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante
determina en forma analítica y gráfica los
intervalos de crecimiento, decrecimiento y los
puntos extremos de una función, haciendo uso del
criterio de la primera derivada, siguiendo un
proceso lógico y obteniendo con exactitud su
resultado.
4. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
1. Función Creciente: Una función es creciente,
1 2 1 2
( ) ( )
Si x x f x f x
Conforme x crece, la gráfica debe ir subiendo o al menos mantenerse constante pero
nunca debe bajar (decrecer).
6. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
2. Función Decreciente: Una función es decreciente,
1 2 1 2
( ) ( )
Si x x f x f x
Conforme x crece, la gráfica debe ir bajando o al menos mantenerse constante pero nunca debe
subir (crecer).
decreciente
8. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Demuestre que la siguiente función es creciente en su dominio:
3
( ) 1, 0,
f x x x
9. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Demuestre que la siguiente función es decreciente en su dominio:
1
( ) , 0,
f x x
x
1 2 1 2
( ) ( )
Si x x f x f x
14. PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
Definición: Si f es una función continua sobre un intervalo I, se llaman PUNTOS
CRÍTICOS de f a aquellos valores c del intervalo I que satisfacen alguna de las siguientes
condiciones:
a. 𝑓′ 𝑐 = 0 ó
b. 𝑓′ 𝑐 no existe
15. EXTREMOS GLOBALES Y EXTREMOS LOCALES
Se llaman valores extremos de una función a todos sus valores máximos
y mínimos.
x
y
0
)
(
'
x
f 0
)
(
'
x
f
c x
y
c
0
)
(
'
x
f 0
)
(
'
x
f
Máximo local Mínimo local
MÁXIMO GLOBAL: El mayor de todos los máximos en todo el dominio de la función.
MÍNIMO GLOBAL: El menor de todos los mínimos en todo el dominio de la función
16. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS
Método del Intervalo Cerrado para hallar los valores máximo y
mínimo absolutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado [a;
b]:
1. Encuentre los valores de f en los puntos críticos de f en (a; b).
2. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo.
3. El mas grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor
máximo absoluto; el mas pequeño es el valor mínimo
absoluto.
17. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS
Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función:
f(x) = x3 - 3x2 + 1, para - ½ x 4.
2 1 1 2 3
10
1
x
y
18. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Si c es un punto crítico de una función continua f.
1. Si 𝑓′ 𝑥 cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene
un máximo local en c.
2. Si 𝑓′ 𝑥 cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene
un mínimo local en c.
3. Si 𝑓′ 𝑥 no cambia de signo en c (esto es, 𝑓′ es positiva en
ambos lados de c o negativa en ambos lados), entonces f
carece de extremo local en c.
19. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Halle los valores máximos y mínimos locales de la función
g(x) = x + 2 sen x 0 ≤ x ≤ 2
20. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Stewart, James. Cálculo de varias variables. Editorial Thomas, 7ma edición 2012.
PURCELL, EDWIN J. Cálculo Diferencial E Integral. Pearson Educación
ERNEST F. HAEUSSLER, JR. MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA.
Pearson Prentice Hall
LARSON, RON. Cálculo. Mcgraw-Hill
Mitacc Toro. Tópicos de cálculo. Editorial: Impoffot-1992
