funciones

1. Funciones racionales

2. Una función racional es una función que se
puede expresar de la forma
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
p 
donde f(x) y g(x) son funciones
polinómicas.
x
x
x
x
g
x
x
x
f
x
y
9
4
)
(
3
2
)
(
2
1
3
2







2
5
3
2
)
(
4
3
4
)
(
3
4
4
)
(
2
2
2
2
3










x
x
x
x
h
x
x
x
q
x
x
x
x
p
La función racional
Ejemplos:

3. • El dominio de una función es el conjunto de
todos los números para los cuales una
función está definida.
• Una función, f(x), está definida en un valor
de x si al evaluar f(x) produce un número
real.
• En el caso de las funciones racionales,
debemos excluir del conjunto de los
números reales cualquier valor que hace
que el denominador sea igual a cero.
Dominio de una función racional

4. Dominio de una función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el
denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
4x – 1 = 0
4x = 1
x =
1
4
.
1
4
2
)
(
de
dominio
el
Determinar
)
1


x
x
f
Por lo tanto el dominio
es, el conjunto de los
reales excepto x = ¼.
El dominio se describe
en notación:
   
,
,
- 4
1
4
1


 𝐷: 𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠
1
4

5. Dominio de una función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el
denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
.
4
5
)
(
de
dominio
el
Determinar
)
2 2


x
x
x
f
cuadrada,
raiz
la
de
método
el
Usando
0
4
x2


𝑥2
= 4
𝑥 = ± 4
𝑥 = ±2
El dominio de f(x) consiste de todos
los reales excepto x = 2 y x= - 2.
    )
(2,
2
,
2
2
,
-
:
Dom 





Dom: 𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠ 2 𝑦 𝑥 ≠ −2

6. Debemos determinar los valores de x que hacen el
denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
1
5
)
(
)
4 2



x
x
x
f
𝑥2
+ 1 = 0
𝑥2 = −1
R
:
Dom
)
,
(-
:
Dom 

Dominio de una función racional
No existe un valor que se le
puede asignar a x tal que x2 sea
igual a -1. Por lo tanto, el
dominio es el conjunto todos los
reales.

7. Interceptos
• Interceptos en x
o punto donde la gráfica interseca el eje de x.
o para una función racional, el intercepto en x
ocurre en el valor de x que hace que el
numerador de la función sea igual a cero.
o la cantidad de interceptos en x depende del
grado del numerador.
o 0 ≤ # interceptos en x ≤ grado del numerador

8. Interceptos
• Intercepto en y
o punto donde la gráfica interseca el eje de y.
o Es el valor de la función cuando x = 0.
[f(0)]
o Si x = 0 está en el dominio de f(x), entonces
existe un sólo intercepto en y.
o Si x = 0 NO está en el dominio de f(x), NO
existe el intercepto en y.

9. Interceptos
𝑓 𝑥 =
3𝑥2
− 3𝑥 − 36
𝑥2 + 𝑥 − 2

10. Interceptos
• Hallar los interceptos de cada función.
2
1
)
(
)
1
(


x
x
f
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
El numerador de f(x) es 1.
1 ≠ 0. Por lo tanto, f(x) NO
tiene interceptos en x.
El intercepto en y es
(0, - ½ ).
𝑓 0 =
1
0 − 2
= −
1
2

11. Interceptos
• Hallar los interceptos de cada función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
 
0
3
0
0
3
0
2
)
0
( 



f
El numerador de f(x) es 2x.
2x = 0 cuando x = 0.
Por lo tanto, f(x) tiene
intercepto en x en el punto
(0,0) o sea que coincide con
el intercepto en y.
x
x
x
f


3
2
)
(
)
2
El intercepto en y es
(0, 0).

12. Interceptos
• Hallar los interceptos de cada función.
x
9
x
2
x
)
x
(
g
)
3 3
2



(a) intercepto – y: b) intercepto - x

)
0
(
g
El numerador de g(x) es x2 - 2.
Si despejamos x2 - 2 = 0
x2 = 2
x = 2, x = − 2
g(x) tiene interceptos en x en
( 2,0) y (− 2, 0)
y.
en
intercepto
existe
NO
definido.
está
NO
)
0
(
g
 
)
0
(
9
)
0
(
2
0
3
2


0
2



13. Soluciones de funciones racionales
Un par ordenado (a,b) es una solución de una
función f(x) si f(a)=b. Dicho de otra forma, si al
evaluar f en x=a el resultado es b.
Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de
5
1
2
)
(



x
x
x
f
1
11
11
11
1
12
5
)
6
(
1
)
6
(
2
)
6
( 






f
(6, 1) SI es una solución de la función.

14. Ej. Determinar el valor de a tal que (a, 4) es
una solución de
x
x
x
f



3
2
5
)
(
(14,4) es una solución
de la función.
4
a
3
2
a
5



 
a
3
4
2
a
5 


a
4
12
2
a
5 


2
12
a
4
a
5 


14
a 
Soluciones de funciones racionales

15. A medida que los valores de x se
hacen más negativos, los valores
de la función (y) se acercan más
y más a cero.
A medida que los valores de x se
hacen más positivos, los valores
de la función (y) se acercan más
y más a cero.
2
1
)
(


x
x
f
Gráficas de funciones racionales
Observemos la gráfica de
Comportamiento en los extremos
,
x 

0

y
,
x 

0

y
y = 0 es una asíntota
horizontal

16. 2
1
)
(


x
x
f
Gráficas de funciones racionales
Observemos la gráfica de
Comportamiento en los extremos
,
x 

0

y
,
x 

0

y
y = 0 es una asíntota
horizontal
La línea y = k es una
asíntota horizontal de la
gráfica de una función f si
f (x) →k cuando x→ ∞ o
x→ − ∞ .

17. A medida que los valores de x se
acercan a 2 por valores mayores
que 2 , la función (y) se hace más
positivo.
A medida que los valores de x se
acercan a 2 por valores menores
que 2, los valores de la función (y)
se hace más negativos.
2
1
)
(


x
x
f
Gráficas de funciones racionales (cont.)
x = 2 es una asíntota
vertical
Observemos la gráfica de
Comportamiento alrededor de x=2
,
2
x 



y
,
2
x 



y

18. 2
1
)
(


x
x
f
Gráficas de funciones racionales (cont.)
x = 2 es una asíntota
vertical
Observemos la gráfica de
,
2
x 



y
,
2
x 



y
La línea x = c es una
asíntota vertical de la
gráfica de una función f si
f (x) →∞ o f (x) → - ∞ ??
cuando x asume valores
cercanos c por la izquierda o
la derecha.

19. Hallar las asíntotas de
funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical
cuando el denominador de la función
simplificada es igual a 0.
Una función racional está simplificada si NO
existen factores comunes, distintos de uno,
entre el numerador y denominador.
Asíntotas Verticales

20. Hallar la ecuación de cada
asíntota vertical si existe.
 
x
x
x
f
2
2
5
2
.
1



Calculamos los valores de x que
hacen el denominador igual a cero:
2 + 2x = 0  x = -1
La recta x = -1 es la única asíntota
vertical de la función.

21. Asíntotas horizontales – Caso 1
Las asíntotas horizontales aparecen cuando
ocurre una de las siguientes condiciones:
1. El grado del numerador es menor que el
grado del denominador. En este caso, la
asíntota es la recta horizontal y = 0.
16
1
)
(
15
3
3
)
(
.
2





x
x
x
g
x
x
f
Ej El eje de x (y=0) es la
asíntota horizontal de
las gráficas de f(x) y
g(x)

22. Asíntotas horizontales – Caso 2
2. El grado del numerador es igual al grado del
denominador. En este caso, la asíntota es la recta
horizontal y =
𝑎
𝑏
, donde a es el coeficiente principal
del numerador y b es el coeficiente principal del
denominador.
2
2
16
1
4
)
(
15
3
1
9
)
(
.
x
x
x
g
x
x
x
f
Ej






La asíntota horizontal
de la gráfica de
f(x) es
g(x) es
3
3
9

 y
o
y
4
1
4



 y
o
y

23. Asíntotas horizontales – Caso 3
3. Cuando el grado del numerador es mayor
que el grado del denominador la función NO
tiene asíntota horizontal.
1
16
)
(
15
3
7
4
5
)
(
.
2
3







x
x
x
g
x
x
x
x
f
Ej Las gráficas de f(x) y
g(x) NO tienen
asíntota horizontal

24.  
x
x
x
f
2
2
5
2
.
1



El grado del numerador y del
denominador es 1.
La asíntota horizontal de la f(x) es la recta
2
5


n
n
b
a
2
5


y
Hallar la ecuación de cada
asíntota horizontal si existe.

25. Gráficas de funciones racionales
 
x
x
x
f
2
2
5
2



Vimos que la
asíntota
vertical es
x = -1
y la
horizontal es
2
5


y

26. Gráficas de funciones racionales
Intercepto x:
2 – 5x = 0
x =
𝟐
𝟓
(
𝟐
𝟓
, 𝟎 )
 
x
x
x
f
2
2
5
2



Intercepto y:
(0, 1)
)
(
)
(
)
(
f
0
2
2
0
5
2
0



1
0 
)
(
f
Podemos unir
los dos puntos
con una curva
suave que se
acerca a las
asíntotas.

27. Gráficas de funciones racionales
Debemos evaluar la
función en algunos otros
puntos para localizar la
otra parte de la gráfica.
 
)
x
2
2
(
)
x
5
2
(
x
f



 
 2
f
 
 
2
2
2
2
5
2




6
2
12




)
6
,
2
( 


28. Gráficas de funciones racionales
Para trazar gráficas de funciones racionales
podemos seguir los siguientes pasos:
•Determinar si existen asíntotas verticales.
•Determinar si existe el asíntota horizontal.
•Determinar si existen interceptos.
•Determinar comportamiento alrededor de las
asíntotas. Tal vez se necesiten unos puntos
adicionales.
•Unir puntos con curvas suaves que se quedan
alrededor de las asíntotas.

29. Trazar la gráfica de:
Primero simplicamos la función.
  
  
3
3
4
2
3
9
12
10
2
2
2








x
x
x
x
x
x
x
La recta vertical x = 3 es
la única asíntota vertical
de esta función.
 
9
12
10
2
2
2




x
x
x
x
f
La recta horizontal y = 2
es la asíntota horizontal
de esta función.
3
4
2



x
x

30. Trazar la gráfica de:
Determinemos los interceptos.
9
)
0
(
12
)
0
(
10
)
0
(
2
)
0
(
f 3
2




 
9
12
10
2
2
2




x
x
x
x
f
9
)
2
(
12
)
2
(
10
)
2
(
2
)
2
(
f 2
2















3
4
,
0
 
0
,
2

3
4
9
12




0
13
0




31. Busquemos un punto
adicional:
Trazar la gráfica de:  
9
12
10
2
2
2




x
x
x
x
f
9
)
8
(
12
)
8
(
10
)
8
(
2
)
8
(
f 2
2




NOTE el hueco en el
punto 






3
1
,
3
4
55
220
)
8
(
f 

)
4
,
8
(

32. Trazar la gráfica de:
x
x
x
f


3
2
)
(
Intercepto - y:
Intercepto - x
 
 
0
3
0
0
3
0
2
)
0
( 



f
0
3
2

 x
x
Asíntota vertical:
Calculamos los valores de x
que hacen el denominador
igual a cero:
3 – x = 0  x = 3
(ecuación de la asíntota)
Asíntota horizontal:
n
n
b
a
y 
2


y
(ecuación de la asíntota)
2
1
2


 
)
0
,
0
(
0
0
2


x
x

33. Puntos adicionales

)
4
(
f
 
8
,
4 
4
3
)
4
(
2


8
1
8




Busquemos un punto
adicional:

34. Trazar la gráfica de 𝒇−𝟏
, si
x
x
x
f


3
2
)
(
Solución:
Como 𝑓 𝑦 𝑓−1 intercambian dominio y campo de
valores, tenemos que:
• El punto (0,0) ∈ 𝑓−1.
• El punto (-8,4) ∈ 𝑓−1.
• 𝑓−1
tiene una asíntota vertical en
• 𝑓−1
tiene una asíntota horizontal en
x = -2
y = 3

35. 4
x
3
x
2



  f(x)
, 
4
6
)
x
3
(
4
x
2 


6

x
x
x 4
12
2 


12
2 

 x
  (x)
f
, 1
6
4 


Puntos adicionales
Busquemos un punto
adicional:

36. Determinar 𝒇−𝟏
, si
x
x
x
f


3
2
)
(
Solución:
𝑓 𝑥 =
2𝑥
3 − 𝑥
𝑥 =
2𝑦
3 − 𝑦
y
)
y
(
x 2
3 

y
xy
x 2
3 

xy
y
x 
 2
3
)
x
(
y
x 
 2
3
3𝑥
2 + 𝑥
= 𝑦
𝑓−1
𝑥 =
3𝑥
2 + 𝑥

37. Use la gráfica
para completar
cada enunciado.
−𝟐
∞
−∞
−𝟐
𝟎

38. Aplicación
Las asíntotas, los
interceptos, y los
agujeros de una
función racional,
f, se muestran en
la figura. Dibuje
una gráfica y
encuentre una
ecuación para f.

39. La relación entre la densidad poblacional (en personas
/𝑚𝑖2) de una ciudad grande y la distancia x (en millas)
desde el centro de la ciudad está dado por
𝑑 𝑥 =
500𝑥
𝑥2 + 36
a) ¿Qué ocurre con la densidad cuando la distancia
desde el centro de la ciudad cambia de 20 millas a 25
millas?
(b) ¿Qué ocurre eventualmente con la densidad ?
(c) ¿En qué áreas de la ciudad es la densidad de
población mayor que 400 personas/𝑚𝑖2?