Ejemplo de representación de funciones (Matemáticas 2º Bachillerato)

1. Representaci´on de funciones
Ricardo Mateos

2. Contenido
Introducci´on
Ejemplos
2

3. Introducci´on

4. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
3

5. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3

6. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
3

7. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
3

8. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
5. C´alculo de las as´ıntotas.
3

9. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
5. C´alculo de las as´ıntotas.
6. Estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci´on.
3

10. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
5. C´alculo de las as´ıntotas.
6. Estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci´on.
7. C´alculo de los extremos relativos.
3

11. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
5. C´alculo de las as´ıntotas.
6. Estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci´on.
7. C´alculo de los extremos relativos.
8. Estudio de la curvatura de la funci´on .
3

12. Introducci´on
Para representar una funci´on hay que realizar los siguientes pasos:
1. C´alculo del dominio de definici´on de la funci´on.
2. Estudio de la simetr´ıa y la periodicidad.
3. C´alculo de los puntos de corte de la funci´on con los ejes.
4. Estudio del signo de la funci´on.
5. C´alculo de las as´ıntotas.
6. Estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci´on.
7. C´alculo de los extremos relativos.
8. Estudio de la curvatura de la funci´on .
9. C´alculo de los puntos de inflexi´on.
3

13. Ejemplos

14. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
4

15. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
• Dominio:
Como es una funci´on polin´omica el dominio son todos los
n´umeros reales: Domf = R
4

16. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
• Dominio:
Como es una funci´on polin´omica el dominio son todos los
n´umeros reales: Domf = R
• Simetr´ıa y periodicidad:
No tiene simetr´ıas ni es peri´odica.
4

17. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
• Dominio:
Como es una funci´on polin´omica el dominio son todos los
n´umeros reales: Domf = R
• Simetr´ıa y periodicidad:
No tiene simetr´ıas ni es peri´odica.
• Cortes con los ejes:
4

18. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
• Dominio:
Como es una funci´on polin´omica el dominio son todos los
n´umeros reales: Domf = R
• Simetr´ıa y periodicidad:
No tiene simetr´ıas ni es peri´odica.
• Cortes con los ejes:
• Eje OX:
f (x) = 0 ⇒ x3
−3x+2 = 0 ⇒
x = −2
x = 1
(−2, 0) (1, 0)
4

19. f (x) = x3
− 3x + 2
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x3 − 3x + 2
• Dominio:
Como es una funci´on polin´omica el dominio son todos los
n´umeros reales: Domf = R
• Simetr´ıa y periodicidad:
No tiene simetr´ıas ni es peri´odica.
• Cortes con los ejes:
• Eje OX:
f (x) = 0 ⇒ x3
−3x+2 = 0 ⇒
x = −2
x = 1
(−2, 0) (1, 0)
• Eje OY: x = 0 ⇒ f (0) = 2 (0, 2)
4

20. f (x) = x3
− 3x + 2
5

21. f (x) = x3
− 3x + 2
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX
Intervalo (−∞, −2) (−2, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) negativo positivo positivo
5

22. f (x) = x3
− 3x + 2
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX
Intervalo (−∞, −2) (−2, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) negativo positivo positivo
• As´ıntotas:
No tiene por ser una funci´on polin´omica.
5

23. • Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 3x2 − 3 ⇒ 3x2 − 3 = 0 ⇒



x = −1
x = 1
6

24. • Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 3x2 − 3 ⇒ 3x2 − 3 = 0 ⇒



x = −1
x = 1
Intervalo (−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) + − +
f (x) creciente decreciente creciente
6

25. • Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 3x2 − 3 ⇒ 3x2 − 3 = 0 ⇒



x = −1
x = 1
Intervalo (−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) + − +
f (x) creciente decreciente creciente
• Extremos relativos:
Con la tabla anterior hallamos los m´aximos y los m´ınimos
locales.


M´aximo (−1, 4)
m´ınimo (1, 0)
6

26. f (x) = x3
− 3x + 2
7

27. f (x) = x3
− 3x + 2
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) = 6x ⇒ 6x = 0 ⇒ x = 0
7

28. f (x) = x3
− 3x + 2
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) = 6x ⇒ 6x = 0 ⇒ x = 0
Intervalo (−∞, 0) (0, +∞)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
7

29. f (x) = x3
− 3x + 2
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) = 6x ⇒ 6x = 0 ⇒ x = 0
Intervalo (−∞, 0) (0, +∞)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
• Puntos de inflexi´on:
Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexi´on:
Punto de inflexi´on: (0, 2)
7

30. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
8

31. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y

32. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y

33. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
M
m
P.I.

34. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
M
m
P.I.

35. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
M
m
P.I.

36. f (x) = x3
− 3x + 2
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
M
m
P.I.
8

37. f (x) =
x2
x2 − 4
Estudiar y representar la funci´on: f (x) =
x2
x2 − 4
9

38. f (x) =
x2
x2 − 4
Estudiar y representar la funci´on: f (x) =
x2
x2 − 4
• Dominio: como es una funci´on racional no existir´a en los
puntos donde el denominador sea cero.
x2 − 4 = 0 ⇒



x = −2
x = 2
.
Luego, Domf = R − {−2, 2}
9

39. f (x) =
x2
x2 − 4
Estudiar y representar la funci´on: f (x) =
x2
x2 − 4
• Dominio: como es una funci´on racional no existir´a en los
puntos donde el denominador sea cero.
x2 − 4 = 0 ⇒



x = −2
x = 2
.
Luego, Domf = R − {−2, 2}
• Simetr´ıa y periodicidad:
Hallamos f (−x) =
(−x)2
(−x)2 − 4
=
x2
x2 − 4
= f (x).
Luego la funci´on es par, es sim´etrica respecto al eje OY
No es peri´odica.
9

40. f (x) =
x2
x2 − 4
• Cortes con los ejes:
10

41. f (x) =
x2
x2 − 4
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒
x2
x2 − 4
⇒ x2
= 0 ⇒ x = 0 (0, 0)
10

42. f (x) =
x2
x2 − 4
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒
x2
x2 − 4
⇒ x2
= 0 ⇒ x = 0 (0, 0)
• Eje OY: x = 0 ⇒ f (0) = 0 (0, 0)
10

43. f (x) =
x2
x2 − 4
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒
x2
x2 − 4
⇒ x2
= 0 ⇒ x = 0 (0, 0)
• Eje OY: x = 0 ⇒ f (0) = 0 (0, 0)
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX y los puntos de discontinuidad.
10

44. f (x) =
x2
x2 − 4
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒
x2
x2 − 4
⇒ x2
= 0 ⇒ x = 0 (0, 0)
• Eje OY: x = 0 ⇒ f (0) = 0 (0, 0)
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX y los puntos de discontinuidad.
Intervalo (−∞, −2) (−2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Signo(f (x)) positivo negativo negativo positivo
10

45. f (x) =
x2
x2 − 4
11

46. f (x) =
x2
x2 − 4
• As´ıntotas:
11

47. f (x) =
x2
x2 − 4
• As´ıntotas:
• Verticales:
lim
x→−2
x2
x2 − 4
= ∞
lim
x→2
x2
x2 − 4
= ∞
Luego tiene dos as´ıntotas verticales: x = −2 x = 2
11

48. f (x) =
x2
x2 − 4
• As´ıntotas:
• Verticales:
lim
x→−2
x2
x2 − 4
= ∞
lim
x→2
x2
x2 − 4
= ∞
Luego tiene dos as´ıntotas verticales: x = −2 x = 2
• Horizontales:
lim
x→±∞
x2
x2 − 4
= 1
La as´ıntota horizontal es y = 1
11

49. f (x) =
x2
x2 − 4
12

50. f (x) =
x2
x2 − 4
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) =
2x · (x2 − 4) − x2 · 2x
(x2 − 4)2
=
−8x
(x2 − 4)2
−8x
(x2 − 4)2
= 0 ⇒ −8x = 0 ⇒ x = 0
Tomamos este valor y los puntos de discontinuidad:
12

51. f (x) =
x2
x2 − 4
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) =
2x · (x2 − 4) − x2 · 2x
(x2 − 4)2
=
−8x
(x2 − 4)2
−8x
(x2 − 4)2
= 0 ⇒ −8x = 0 ⇒ x = 0
Tomamos este valor y los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −2) (−2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Signo(f (x)) + + − −
f (x) creciente creciente decreciente decreciente
12

52. f (x) =
x2
x2 − 4
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) =
2x · (x2 − 4) − x2 · 2x
(x2 − 4)2
=
−8x
(x2 − 4)2
−8x
(x2 − 4)2
= 0 ⇒ −8x = 0 ⇒ x = 0
Tomamos este valor y los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −2) (−2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Signo(f (x)) + + − −
f (x) creciente creciente decreciente decreciente
• Extremos relativos:
Con la tabla anterior hallamos los m´aximos y los m´ınimos
locales.
M´aximo(0, 0)
12

53. f (x) =
x2
x2 − 4
13

54. f (x) =
x2
x2 − 4
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
−8 · (x2 − 4)2 − (−8x) · 2(x2 − 4) · 2x
(x2 − 4)4
=
(x2 − 4)(−8 · (x2 − 4) + 8x · 4x)
(x2 − 4)4
=
16x2 + 32
(x2 − 4)3
Igualamos a cero:
16x2 + 32
(x2 − 4)3
= 0 ⇒ 16x2 + 32 = 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
13

55. f (x) =
x2
x2 − 4
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
−8 · (x2 − 4)2 − (−8x) · 2(x2 − 4) · 2x
(x2 − 4)4
=
(x2 − 4)(−8 · (x2 − 4) + 8x · 4x)
(x2 − 4)4
=
16x2 + 32
(x2 − 4)3
Igualamos a cero:
16x2 + 32
(x2 − 4)3
= 0 ⇒ 16x2 + 32 = 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −2) (−2, 2) (2, +∞)
Signo(f (x)) + − +
f (x) concava convexa concava
13

56. f (x) =
x2
x2 − 4
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
−8 · (x2 − 4)2 − (−8x) · 2(x2 − 4) · 2x
(x2 − 4)4
=
(x2 − 4)(−8 · (x2 − 4) + 8x · 4x)
(x2 − 4)4
=
16x2 + 32
(x2 − 4)3
Igualamos a cero:
16x2 + 32
(x2 − 4)3
= 0 ⇒ 16x2 + 32 = 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −2) (−2, 2) (2, +∞)
Signo(f (x)) + − +
f (x) concava convexa concava
• Puntos de inflexi´on:
Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexi´on:
No hay puntos de inflexi´on 13

57. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

58. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

59. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

60. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

61. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

62. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M

63. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M

64. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M

65. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M

66. f (x) =
x2
x2 − 4
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
M
14

67. f (x) = x +
1
x
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x +
1
x
15

68. f (x) = x +
1
x
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x +
1
x
• Dominio: como es una funci´on racional no existir´a en los
puntos donde el denominador sea cero.
x = 0.
Luego, Domf = R − {0}
15

69. f (x) = x +
1
x
Estudiar y representar la funci´on: f (x) = x +
1
x
• Dominio: como es una funci´on racional no existir´a en los
puntos donde el denominador sea cero.
x = 0.
Luego, Domf = R − {0}
• Simetr´ıa y periodicidad:
Hallamos f (−x) = (−x) +
1
(−x)
= −x −
1
x
= −f (x).
Luego la funci´on es impar, es sim´etrica respecto al origen.
No es peri´odica.
15

70. f (x) = x +
1
x
• Cortes con los ejes:
16

71. f (x) = x +
1
x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ x +
1
x
= 0 ⇒ x = −
1
x
⇒ x2
= −1. No
hay corte con el eje OX
16

72. f (x) = x +
1
x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ x +
1
x
= 0 ⇒ x = −
1
x
⇒ x2
= −1. No
hay corte con el eje OX
• Eje OY: x = 0 La funci´on no existe, luego, no hay corte con el
eje OY
16

73. f (x) = x +
1
x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ x +
1
x
= 0 ⇒ x = −
1
x
⇒ x2
= −1. No
hay corte con el eje OX
• Eje OY: x = 0 La funci´on no existe, luego, no hay corte con el
eje OY
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX y los puntos de discontinuidad.
16

74. f (x) = x +
1
x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ x +
1
x
= 0 ⇒ x = −
1
x
⇒ x2
= −1. No
hay corte con el eje OX
• Eje OY: x = 0 La funci´on no existe, luego, no hay corte con el
eje OY
• Signo de la funci´on:
Para calcular el signo tomamos los puntos de corte con el eje
OX y los puntos de discontinuidad.
Intervalo (−∞, 0) (0, +∞)
Signo(f (x)) negativo positivo
16

75. f (x) = x +
1
x
17

76. f (x) = x +
1
x
• As´ıntotas:
17

77. f (x) = x +
1
x
• As´ıntotas:
• Verticales:
lim
x→0
x +
1
x
= ∞
Luego tiene una as´ıntota vertical: x = 0
17

78. f (x) = x +
1
x
• As´ıntotas:
• Verticales:
lim
x→0
x +
1
x
= ∞
Luego tiene una as´ıntota vertical: x = 0
• Horizontales:
lim
x→±∞
x +
1
x
= ∞
No hay as´ıntota horizontal.
17

79. f (x) = x +
1
x
• As´ıntotas:
• Verticales:
lim
x→0
x +
1
x
= ∞
Luego tiene una as´ıntota vertical: x = 0
• Horizontales:
lim
x→±∞
x +
1
x
= ∞
No hay as´ıntota horizontal.
• Oblicua:
m = lim
x→±∞
x +
1
x
x
= lim
x→±∞
1 +
1
x2
= 1
n = lim
x→±∞
x +
1
x
− x = lim
x→±∞
1
x
= 0
As´ıntota horizontal: y = x
17

80. f (x) = x +
1
x
18

81. f (x) = x +
1
x
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 1 −
1
x2
1 −
1
x2
= 0 ⇒ 1 =
1
x2
⇒ x2 = 1



x = −1
x = 1
Tomamos estos valor y los puntos de discontinuidad:
18

82. f (x) = x +
1
x
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 1 −
1
x2
1 −
1
x2
= 0 ⇒ 1 =
1
x2
⇒ x2 = 1



x = −1
x = 1
Tomamos estos valor y los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) + − − +
f (x) creciente decreciente decreciente creciente
18

83. f (x) = x +
1
x
• Crecimiento y decrecimiento:
Hallamos la derivada de la funci´on y la igualamos a cero.
f (x) = 1 −
1
x2
1 −
1
x2
= 0 ⇒ 1 =
1
x2
⇒ x2 = 1



x = −1
x = 1
Tomamos estos valor y los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, +∞)
Signo(f (x)) + − − +
f (x) creciente decreciente decreciente creciente
• Extremos relativos:
Con la tabla anterior hallamos los m´aximos y los m´ınimos
locales.
M´aximo(−1, −2) M´ınimo(1, 2) 18

84. f (x) = x +
1
x
19

85. f (x) = x +
1
x
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
2
x3
Igualamos a cero:
2
x3
= 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
19

86. f (x) = x +
1
x
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
2
x3
Igualamos a cero:
2
x3
= 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, 0) (0, +∞)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
19

87. f (x) = x +
1
x
• Curvatura:
Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero.
f (x) =
2
x3
Igualamos a cero:
2
x3
= 0 ⇒ No hay soluci´on.
Tomamos los puntos de discontinuidad:
Intervalo (−∞, 0) (0, +∞)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
• Puntos de inflexi´on:
Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexi´on:
No hay puntos de inflexi´on
19

88. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6

89. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6

90. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6

91. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
M
m

92. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
M
m

93. f (x) = x +
1
x
Ahora con esta informaci´on hallamos la gr´afica aproximada de la
funci´on:
x
y
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
M
m
20

94. f (x) = ln
2x
2 − x
Representar la funci´on f (x) = ln
2x
2 − x
21

95. f (x) = ln
2x
2 − x
Representar la funci´on f (x) = ln
2x
2 − x
• Dominio: Un logaritmo s´olo existe cuando el argumento es
positivo. En este caso,
2x
2 − x
> 0
Resolvemos esta inecuaci´on mirando el signo del numerador y
denominador:
21

96. f (x) = ln
2x
2 − x
Representar la funci´on f (x) = ln
2x
2 − x
• Dominio: Un logaritmo s´olo existe cuando el argumento es
positivo. En este caso,
2x
2 − x
> 0
Resolvemos esta inecuaci´on mirando el signo del numerador y
denominador:
Intervalo (−∞, 0) (0, 2) (2, +∞)
2x − + +
2 − x + + −
2x
2 − x
− + −
21

97. f (x) = ln
2x
2 − x
Representar la funci´on f (x) = ln
2x
2 − x
• Dominio: Un logaritmo s´olo existe cuando el argumento es
positivo. En este caso,
2x
2 − x
> 0
Resolvemos esta inecuaci´on mirando el signo del numerador y
denominador:
Intervalo (−∞, 0) (0, 2) (2, +∞)
2x − + +
2 − x + + −
2x
2 − x
− + −
Luego Domf = (0, 2)
• Simetr´ıa y periodicidad:
No tiene simetr´ıas ni es peri´odica.
21

98. f (x) = ln
2x
2 − x
• Cortes con los ejes:
22

99. f (x) = ln
2x
2 − x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ ln
2x
2 − x
⇒
2x
2 − x
= 1 ⇒
⇒ 2x = 2 − x ⇒ 3x = 2 ⇒ x =
2
3
2
3
, 0
22

100. f (x) = ln
2x
2 − x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ ln
2x
2 − x
⇒
2x
2 − x
= 1 ⇒
⇒ 2x = 2 − x ⇒ 3x = 2 ⇒ x =
2
3
2
3
, 0
• Eje OY: x = 0. No existe f (0) ⇒ no hay corte con este eje
• Signo de la funci´on:
Estudiamos el signo de la funci´on dentro de su dominio
tomando los puntos de corte con el eje OX .
22

101. f (x) = ln
2x
2 − x
• Cortes con los ejes:
• Eje OX: f (x) = 0 ⇒ ln
2x
2 − x
⇒
2x
2 − x
= 1 ⇒
⇒ 2x = 2 − x ⇒ 3x = 2 ⇒ x =
2
3
2
3
, 0
• Eje OY: x = 0. No existe f (0) ⇒ no hay corte con este eje
• Signo de la funci´on:
Estudiamos el signo de la funci´on dentro de su dominio
tomando los puntos de corte con el eje OX .
Intervalo (0, 2/3) (2/3, 2)
Signo(f (x)) negativo positivo
22

102. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales:
23

103. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0 → −∞ y ln ∞ → ∞,
calculamos:
23

104. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0 → −∞ y ln ∞ → ∞,
calculamos: lim
x→0
ln
2x
2 − x
= −∞
lim
x→2
ln
2x
2 − x
= ∞
23

105. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0 → −∞ y ln ∞ → ∞,
calculamos: lim
x→0
ln
2x
2 − x
= −∞
lim
x→2
ln
2x
2 − x
= ∞ Por lo tanto, hay dos as´ıntotas
verticales:x = 0 x = 2
23

106. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0 → −∞ y ln ∞ → ∞,
calculamos: lim
x→0
ln
2x
2 − x
= −∞
lim
x→2
ln
2x
2 − x
= ∞ Por lo tanto, hay dos as´ıntotas
verticales:x = 0 x = 2
• Horizontales:
23

107. f (x) = ln
2x
2 − x
• As´ıntotas
• Verticales: Teniendo en cuenta que ln 0 → −∞ y ln ∞ → ∞,
calculamos: lim
x→0
ln
2x
2 − x
= −∞
lim
x→2
ln
2x
2 − x
= ∞ Por lo tanto, hay dos as´ıntotas
verticales:x = 0 x = 2
• Horizontales:no podemos calcular el l´ımite cuando x → ±∞
ya que no esta dentro del dominio, por lo tanto, no hay
as´ıntotas horizontales.
23

108. f (x) = ln
2x
2 − x
• Crecimiento y decrecimiento:
24

109. f (x) = ln
2x
2 − x
• Crecimiento y decrecimiento: Caculamos la derivada de la
funci´on:
f (x) =
1
2x
2 − x
2(2 − x) − 2x(−1)
(2 − x)2
=
2 − x
2x
4
(2 − x)2
=
2
x(2 − x)
24

110. f (x) = ln
2x
2 − x
• Crecimiento y decrecimiento: Caculamos la derivada de la
funci´on:
f (x) =
1
2x
2 − x
2(2 − x) − 2x(−1)
(2 − x)2
=
2 − x
2x
4
(2 − x)2
=
2
x(2 − x)
Esta derivada nunca es cero, por lo tanto, la funci´on
es creciente o decreciente en su dominio.
24

111. f (x) = ln
2x
2 − x
• Crecimiento y decrecimiento: Caculamos la derivada de la
funci´on:
f (x) =
1
2x
2 − x
2(2 − x) − 2x(−1)
(2 − x)2
=
2 − x
2x
4
(2 − x)2
=
2
x(2 − x)
Esta derivada nunca es cero, por lo tanto, la funci´on
es creciente o decreciente en su dominio. Estudiando el signo
vemos que la derivada es siempre positiva, luego la funci´on es
creciente en todo su dominio
• Extremos relativos:
24

112. f (x) = ln
2x
2 − x
• Crecimiento y decrecimiento: Caculamos la derivada de la
funci´on:
f (x) =
1
2x
2 − x
2(2 − x) − 2x(−1)
(2 − x)2
=
2 − x
2x
4
(2 − x)2
=
2
x(2 − x)
Esta derivada nunca es cero, por lo tanto, la funci´on
es creciente o decreciente en su dominio. Estudiando el signo
vemos que la derivada es siempre positiva, luego la funci´on es
creciente en todo su dominio
• Extremos relativos: La funci´on no tiene extremos relativos
por ser siempre creciente.
24

113. f (x) = ln
2x
2 − x
• Curvatura:
25

114. f (x) = ln
2x
2 − x
• Curvatura: Hallamos la segunda derivada:
f (x) = −
(2 − x) + x(−1)
(x(2 − x))2
=
2x − 2
(x(2 − x))2
La igualmos a cero:
2x − 2
(x(2 − x))2
= 0 ⇒ 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1
Estudiamos el signo de la derivada segunda dentro del
dominio.
25

115. f (x) = ln
2x
2 − x
• Curvatura: Hallamos la segunda derivada:
f (x) = −
(2 − x) + x(−1)
(x(2 − x))2
=
2x − 2
(x(2 − x))2
La igualmos a cero:
2x − 2
(x(2 − x))2
= 0 ⇒ 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1
Estudiamos el signo de la derivada segunda dentro del
dominio.
Intervalo (0, 1) (1, 2)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
25

116. f (x) = ln
2x
2 − x
• Curvatura: Hallamos la segunda derivada:
f (x) = −
(2 − x) + x(−1)
(x(2 − x))2
=
2x − 2
(x(2 − x))2
La igualmos a cero:
2x − 2
(x(2 − x))2
= 0 ⇒ 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1
Estudiamos el signo de la derivada segunda dentro del
dominio.
Intervalo (0, 1) (1, 2)
Signo(f (x)) − +
f (x) convexa concava
• Puntos de inflexi´on:
Con la tabla anterior hallamos los puntos de inflexi´on:
Punto inflexi´on: (1, ln 2)
25

117. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

118. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

119. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

120. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5

121. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
PI

122. f (x) = ln
2x
2 − x
Hacemos la gr´afica de la funci´on:
x
y
−1 0 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
PI
26