Este documento presenta información sobre conceptos básicos de probabilidad y estadística como eventos aleatorios, espacio muestral, técnicas de conteo como la multiplicación, permutación y combinación. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.

1. Procesos Industriales Área Manufactura
Materia: Estadística
Tema: Probabilidad
Docente: Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz
Equipo: Josué Gilberto Álvarez Muñiz
18/marzo/2012

2. Evento aleatorio
Evento al que se permite que suceda sin intentar tomar el control del
resultado o consecuencia del evento.
Por ejemplo, si se lanza un dado no cargado, es igualmente probable que ocurra
cualquiera de los 6 números.
Ejemplos:
Se lanza una moneda de un peso mexicano. Se observa si el resultado es águila o
sol.
Se lanza un par de dados y se observa la suma de los números de la cara
superior.
De una baraja americana normal, se reparte una mano de póker de cinco cartas
y se cuenta el número de Ases entregados.
Se coloca un foco a la corriente y se mide el tiempo que éste tarda en fundirse.
En una urna con bolas de igual forma pero donde hay 20 de color negro y 30 de
color blanco. Se extraen tres bolas y se cuenta el número de bolas blancas
extraídas.
Se manufacturan artículos en una línea de producción hasta que se tienen 50
artículos no defectuosos, se anota el número total de artículos producidos.
Una persona se dirige de su casa al trabajo. Anotar el tiempo que le tomó.
Un propietario de un sitio de taxis coordina un grupo de 4 unidades y 5 choferes.
Durante cualquier día, es posible que alguna unidad esté fuera de servicio por
mantenimiento o reparación y también es posible que alguno de los choferes no se
presente a trabajar. Se registran ambos números.

3. Espacio muestral
En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de
muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles
resultados individuales de un experimento aleatorio.
Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de
muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}.
Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a
los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el
ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara,
cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.
Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo
posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas,
una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey),
mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y
picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría
ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que
describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios
de muestreo descritos.
Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación
elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de
probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de
muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-
álgebra F, por la cuál se define la medida de probabilidad P.

4. Ejemplos:
1.-Ejemplos Cuando se lanza una moneda puede caer “cara”(c) o “sello”(s). Así
Puntos Muestrales es: a ó s. Espacio Muestral esta dado por S = {a, s}. Al lanzar
un dado, puede caer cualquiera de sus seis caras. En este caso: Puntos
Muestrales son: 1 ó 2 ó 3 ó 4 ó 5 ó 6. Espacio Muestral es: S={1,2,3,4,5,6}. Si se
lanzan tres monedas al mismo tiempo puede ocurrir cualquiera de ocho (8)
resultados posibles. Así que, Puntos Muestrales: aaa ó sss ó ass ó ssa ó sas ó
saa ó aas ó asa Espacio Muestral es: S={aaa, sss, ass, ssa, sas, saa, aas, asa}.
Si se hace un registro del sexo de un bebe próximo a nacer tenemos que podria
ser “hombre” (h) o “mujer” (m). En este caso Puntos Muestrales: hombre (h) ó
mujer (m). Espacio Muestral es S={h, m}.
2.-Tenemos una moneda si en el primer lanzamiento cae sello, entonces se lanza
otra vez la moneda, dando lugar a las siguientes posibilidades: ss, sa; pero si en el
primer lanzamiento ocurre cara, se lanza un dado, dando lugar a: Puntos
Muestrales: a1, a2, a3, a4, a5, a6. Entonces el Espacio Muestral es S={ss, sa, a1,
a2, a3, a4, a5, a6} A veces, los espacios muestrales tienen un número grande o
infinito de elementos. En este caso es mejor usar una regla o descripción antes
que enumerar(*) sus elementos. Si los resultados posibles de un experimento son
el conjunto de individuos en el mundo con más de 1.60 m de estatura que asisten
a una universidad, el espacio muestral se escribe así: S = {x|x es un terrícola con
más de 1.60 m de estatura que asiste a una universidad} (*) Como ocurre con los
conjuntos.
3.- Se tiene el siguiente experimento: suma de puntos obtenidos al lanzar dos
dados. Si escribimos el espacio muestral como: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12} los puntos muestrales no son equiprobables. Para que el espacio muestral
tenga los puntos equiprobables, es necesario escribirlo como: Ω = {(1, 1),(1, 2), (2,
1),(1, 3), (2, 2), (3, 1),(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1),(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1),(1,
6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1),(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2),(3, 6), (4, 5), (5,
4), (6, 3),(4, 6), (5, 5), (6, 4),(5, 6), (6, 5),(6, 6)} En clase hay 50 alumnos. Se hace
un examen y se observa cuantos alumnos aprueban. Obsérvese que: 8 es un
punto muestral si el examen es aprobado por 8 alumnos. Si ningún alumno
aprueba el examen, el punto muestral correspondiente es cero. El espacio
muestral en este caso es el conjunto: S={ 0,1,2,…,50}

5. Técnicas de Conteo
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es
relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por
ejemplo, hay seis posibles resultados.
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número
de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las
posibilidades.
Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3
niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la
multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.
La Técnica de la Multiplicación
La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas
de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas
En términos de fórmula
Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o
Ejemplo:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes
opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas,
cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos
de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

6. Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación,
(donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2
No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y
rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer
ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con
todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente
realizamos el cálculo:
Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48
La Técnica de la Permutación
Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para
encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la
permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay
solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema:
Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán
ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser
ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser
ensamblados los tres componentes?
Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas
permutaciones, y son las siguientes:
TDCDTCCDT
TCDDCTCTD

7. Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles
La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:
n P r = n!
(n – r )!
Donde:
nPr es el número de permutaciones posible
n es el número total de objetos
r es el número de objetos utilizados en un mismo momento
n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6
(n – r )! ( 3 – 3 )! 1
Ejemplo:
Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles
para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes
pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
n P r = n! = 8! = 8! = 336
(n – r )! ( 8 – 3 )! 5!

8. En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos
espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se
permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:
n Pr = nr
Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden
formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son
las siguientes:
AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC
Usando la fórmula:
n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9
La Técnica de la Combinación
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es
diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos
resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo
de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C).
Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los
resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones
definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los
resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n
objetos sin importar el orden.

9. La fórmula de combinaciones es:
n C r = n!
r! (n – r )!
Ejemplo:
En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada
una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de
7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3
colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42
partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35
r! (n – r )! 3! ( 7 – 3 )! 3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes
del producto.