1. Carrera: Procesos Industriales Área
Manufactura
Alumno: Oscar Torres Rivera
Materia: Estadística
Maestro: Lic. Gerardo Edgar Mata
Ortiz
Grado y sección: 2° “C”

2. Distribución de Bernouilli
1.- Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal y cuyos
conductores no tenían cinturón de seguridad, que 300 individuos quedaron con secuelas.
Solución.
 La noc. frecuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de
tener secuelas mediante 300/2000=0,15=15%
 X=“tener secuelas tras accidente sin cinturón” es variable de Bernoulli
 X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,15
 X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,85
2.- Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con
impacto frontal y cuyos conductores sí tenían cinturón de
seguridad, que 10 individuos quedaron con secuelas.
Describa el experimento usando conceptos de v.a.
Solución.
 La noc. frecuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de
quedar con secuelas por 10/2000=0,005=0,5%
 X=“tener secuelas tras accidente usando cinturón” es variable de Bernoulli
 X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,005
 X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,995
3.- Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De
acuerdocon las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30
años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan: 1. Los
cinco individuos. 2. Al menos tres. 3. Sólo dos. 4. Al menos uno.
Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se pueden presentar dos
situaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Al considerar
los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, p = 0, 6 X ~
B(5, 0,6).

3. 4.- Consideremos el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que se seleccionan tres
artículos al azar de un
proceso de ensamblaje, se inspeccionan y se clasifican como
defectuosos o no defectuosos. Un artículo defectuoso se designa como éxito. El número de
éxitos es una v.a. X que toma valores integrales de 0 a 3.
Como los artículos se seleccionan de forma independiente de un proceso que supondremos
produce 25% de artículos defectuosos,
P(NDN)=P(N)P(D)P(N)=(3/4)(1/4)(3/4)=9/64.
5.- La v.a. que define el experimento lanzamiento de una moneda sigue una distribución de
Bernoulli de parámetro p. Donde p es la probabilidad del suceso de interés, cara o cruz.
PROPIEDADES

4. Distribución Binomial
1.- Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdo
con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años
más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan:
1. Los cinco individuos.
2. Al menos tres.
3. Sólo dos.
4. Al menos uno.
Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se pueden presentar dos
situaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Al considerar
los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, p = 0, 6 X ~
B(5, 0,6).
2.-Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo varón es 0,51. Hallar la probabilidad de
que una familia con seis hijos tenga:
1. Por lo menos un niño.
2. Por lo menos una niña.

5. 3.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una cierta enfermedad es 0.4.
Si 15 personas contraen la enfermedad ¿cual es la probabilidad de que
a) al menos 10 sobrevivan ? Sea X el n´umero de supervivientes.
4.- Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?
El número de aciertos k es 6. Esto es x=6
El número de experimentos n son 10
La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50
La fórmula quedaría:
P (k = 6) = 0.205
Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5%
5.- En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en
una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12, 0.05). Debemos calcular la
probabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2).
Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror p=0.05 . La
probabilidad estará en x=2
El resultado es 0.0988
.

6. Distribución de Poisson
1.- El número de accidente por semana en una fábrica sigue una distribución Poisson de
parámetro l = 2. Calcular:
1. La probabilidad de que en una semana haya algún accidente.
2. La probabilidad de que haya 4 accidentes en dos semanas.
3. La probabilidad de que haya 2 accidentes en una semana y otros dos en la semana
siguiente.
4. Si sabemos que ha habido un accidente hallar la probabilidad de que en esa semana
no haya más de tres accidentes.
2.-La proporción de alumnos de un distrito universitario con calificación de sobresaliente es
de 0,005%. Determinar la probabilidad de que entre 5000 alumnos seleccionados al azar
haya dos con calificación media sobresaliente.

7. 3.-En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone un huevo al día. Si se
recogen los huevos cada hora ¿Cuál es el número medio de huevos que se recogen en cada
visita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevos para 0,1, 2, 3x =? ¿y la probabilidad
de que4x = ?
Distribución de Poisson para un valor medio de µ = 0.75
4.-Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radioactivas
que pasan a través de un contador de un milisegundo es cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de
que seis partículas entren al contador en un milisegundo dado?
Solución:
5.- El número promedio de camiones tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es
10. Las instalaciones en el puerto pueden manejar a lo más 15 camiones tanque por día.
¿cuál es la probabilidad de que en un día dado los camiones se tengan que regresar?.
Solución:
Sea X el número de camiones tanque que llegan
Al usar la distribución de Poisson desde x=0 a x=15 y encontrando el complementario
tenemos el resultado:
p=0.95 representa la probabilidad de recibir de 0 a 15 camiones, es decir, no rebasa la
capacidad de las instalaciones. El complementario p’=0.05 es la probabilidad de rebasar la
capacidad, es decir, de devolver camiones.

8. DISTRIBUCIÓN GAMMA
1.-En un estudio de la guardia urbana de Barcelona se toma una distribución gamma para
modelizar el número de víctimas en accidentes de tráfico. Como es más habitual la
proporción de 1 ocupante por vehículo siniestrado, y es más rara la probabilidad de 4 ó 5
ocupantes por vehículo siniestrado, se crea una distribución gamma para modelizar el
número de víctimas por accidente de tráfico. El 38% de la distribución lo acumula la
proporción 1 accidentado por accidente, el 36% 2:1, 16% la 3:1, 6% el 4:1 y finalmente un
3% para 5:1. La media del modelo es 1,5 víctimas por accidente, pero no indican el valor de
los parámetros α y β tomados en cuenta.
2.-También en el ámbito de la siniestralidad viaria, en un estudio de la ciudad de Medellín,
Colombia, se usa la distribución Gamma para obtener la distribución de probabilidad de la
variable aleatoria “edad de fallecimiento en accidentes de tráfico”. En este caso explican
que se asignaron los parámetros α y “a ojo”. El mejor resultado es el que parece minimizar
los errores cuadráticos medios después de varias asignaciones. Finalmente obtienen α=2,94
y =13,94.
3.- A una centralita de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto, siguiendo una distribución
de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en menos de 1 minuto lleguen 8 llamadas?

9. Existe un 91,05% de probabilidades de recibir 8 llamadas en un plazo de tiempo de menos
de 1 minuto.
4.- Si un componente eléctrico falla una vez cada 5 horas, ¿cuál es el tiempo medio que
transcurre hasta que fallan dos componentes? ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran
12 horas antes de que fallen los dos componentes?
En un 30,84% de las situaciones pasarán 12 horas hasta que fallen dos componentes.

10. 5.- En una ciudad se observa que el consumo diario de energía (en millones de kilowatt-
hora) es una variable aleatoria que sigue una distribución gamma con parámetros α= 3 y =2.
Si la planta de energía que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria de generar un
máximo de 12, ¿cuál es la probabilidad de que haya un día donde no se pueda satisfacer la
demanda?

11. Distribución normal
supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de
una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media
de 80 Kg y
una desviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una
persona, elegida
al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?
Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona
elegida aleatoriamente
de esa población tenga un peso mayor de 100 Kg , es de 1–0.9772=0.0228, es decir,
aproximadamente de
un 2.3%.
2.- cuál es la probabilidad que una variable normal
estandarizada se encuentre en los rangos:
1. P(-1≤X≤1) = normcdf(1)-normcdf(-1)= 0.6827
2. P(0≤ X ≤1.72) = normcdf(1.72)-normcdf(0)= 0.4573
3. P(4.5≤X) = 1
3.-Suponga que la altura de las mujeres mexicanas está
normalmente distribuida, con promedio μ = 160cm y desviación
estándar σ = 7.5cm. Encuentre el porcentaje de mexicanas que
están:
a) Entre 153 y 168 centímetros
b) Aproximadamente 170 centímetros
Suponga que la altura de las mujeres mexicanas está
normalmente distribuida, con promedio μ = 160cm y desviación
estándar σ = 7.5cm.
entonces z1 = (153-160)/7.5=-0.93 y z2 = (168-160)/7.5=1.07
De aquí que:
P(153≤X≤168) = normcdf(-0.93)-normcdf(1.07)= 0.6815
Asuma que las alturas son redondeadas al centímetro más cercano,

12. entonces z1 = (169.5-160)/7.5=1.27 y z2 = (170.5-160)/7.5=1.4
De aquí que:
P(169.5≤X≤170.5) = normcdf(1.4)-normcdf(1.27)= 0.0213
4.- Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.
Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.
¿Cuál es la predicción de la aproximación normal?
Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.
Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.
Note que: μ = np = 100(0.5) =50, σ2 = npq = 100(0.5)(0.5) = 25, por
lo que σ = 5. Se usa entonces la distribución normal para
aproximar la probabilidad binomial como sigue:
b(100, 60, 0.5) ≈ N(59.5 ≤ X ≤ 60.5). Tras transformar, a = 59.5,
b = 60.5 en unidades estándar se obtiene:
z1 = (59.5-50)/5=1.9 y z2 = (60.5-50)/5=2.1. De aquí que:
P(59.5≤X≤60.5) = normcdf(2.1)-normcdf(1.9)= 0.0109
5.- Suponga que el 4% de la población de la tercera edad
tiene Alzheimer. Suponga que se toma una muestra aleatoria de
3500 ancianos. Encuentre la probabilidad que al menos 150 de
ellos tengan la enfermedad.
Suponga que el 4% de la población de la tercera edad
tiene Alzheimer. Suponga que se toma una muestra aleatoria de
3500 ancianos. Encuentre la probabilidad que al menos 150 de
ellos tengan la enfermedad.
μ = np = 3500(0.04) =140, σ2 = npq = 3500(0.04)(0.96) = 134.4, por
lo que σ = 11.6. Se usa entonces la distribución normal para
aproximar la probabilidad binomial como sigue:
b(k ≤ 150) ≈ N(X ≤ 149.5). Tras transformar, a = 149.5, en unidades
estándar se obtiene: z1 = (149.5-140)/5= 0.82 De aquí que:
P(X≤149.5) = normcdf(0.82) = 0.7939

13. Distribución T de student
1.-Se tienen los siguientes datos experimentales correspondientes a 17 individuos de los
que se ha recogido el valor que presentan en dos variables, una de ellas cuantitativa con
distribución normal considerada como variable respuesta (Rta), y la otra variable
dicotómica considerada como variable explicativa (Exp). Los datos se presentan de forma
que en las filas hay varios individuos para facilitar la lectura:
Calcular un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias asumiendo igualdad
de varianzas y no asumiendo la igualdad de éstas y realizar el siguiente contraste:
H0: m1 - m2 = 0
H1: m1 - m2 ¹ 0
mediante la prueba t-Student para dos medias en los dos supuestos de igualdad y no
igualdad de varianzas.

14. 2.- Un f abricante de focos afirma que sus producto durará un promedio de 500 horas de
trabajo. Para conservar este promedio esta persona verif ica 25 focos cada mes. Si el valor y
calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisf echo con esta afirmación. ¿Qué
conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 f ocos cuya duración fue?:
Se puede concluir que la media poblacional no es 500, porque la muestra poblacional está
por encima de esta, y por lo tanto deber ía estar por encima de 500.
3.- Se realizo un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña ciudad. Para
ello se considero una muestra de 25 casa. El número de galones de agua que
utilizan por día (1 galón = 0.0037854 m3) fue el siguiente:
175 185 186 118 158
150 190 178 137 175
180 200 189 200 180
172 145 192 191 181
183 169 172 178 210
Con base en esta información:
a) Hallar un intervalo de confianza del 90%
b) Si el recurso de agua en la ciudad permite una utilización media de 160
galones por día, ¿Podría pensarse que hay un problema de escasez de agua en
la ciudad?

15. x=175.76; n=25; s=20.79; a=0.1; ν=24; µ=160; t(a2, ν)=1.711
µ: x ± t(a2, ν) sn
µ: 175.76 ± 1.711 20.7925
Iµ = [168.65, 182.87]
4.- A partir de 860 cuentas, un analista financiero toma una muestra aleatoria de
16 cuentas. Los saldos observados en la muestra son los siguientes: 165, 150,
300, 240, 250, 150, 300, 200, 140, 240, 260, 180, 190, 230, 350, 360.
5.- Una maquina se encarga de llenar botes de jalea con µ gramos, pero no los
llena con la cantidad exacta. Suponte que los pesos reales de contenido
siguen una ley normal N (µ, s2).
Si de una muestra de 16 botes obtenemos una media de 298g, investiga si un
intervalo de confianza para µ del 95%, contiene la media µ = 300.