Ejemplos de distribuciones de probabilidad

1. Procesos Industriales Área Manufactura
Materia: Estadística
Tema: Distribuciones de Probabilidad
Docente: Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz
Alumno: Josué Gilberto Álvarez Muñiz
18/marzo/2012

2. Ejemplos :
Bernoulli
La distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el
matemático y científicosuizoJakob Bernoulli, es una distribución de
probabilidaddiscreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y
valor 0 para la probabilidad de fracaso ( ).
Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un
único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que
la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .
La fórmula será:
Su función de probabilidad viene definida por:
Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como
Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos
como ensayos repetidos.

3. Ejemplo
"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se
considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 -
p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un
lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es
decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los
requisitos.

4. ejercicios:
Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del
tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55
a) X = 1 si anota
X = 0 si no
M =?
x =?
Eventos probabilidad
1 0.55 (p) = 1(0.55) = 0.55
0 0.45 (1-P)= 0(0.45) = 0.00
0.55
Media = 0.55 (1-0.55)² (0.55) = 0.111375
x = 0.247500 (0-0.55)² (0.45) = 0.136125
0.247500
b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos: si lo falla, su equipo no
recibe puntos. Sea Y el numero de puntos anotados. ¿Tiene una
distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si
no, explique porque.
Eventos probabilidad
2 0.55 no, porque siempre tiene que ser 1 y 0 en éxito
o fracaso.
0 0.45

5. c) Determina la media y varianza Y
Media: Varianza
2(0.55) = 1.1 (2-1.1)² (0.55) = 0.4455
0(0.45) = 0 (0.11)² (0.45) = 0.5445
1.1 0.9900
En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una
bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande. Sea x = 1 si se escoge
aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y x = 0 en cualquier otro
caso. Sea y = 1 si la orden es una bebida mediana y Y = 0 en cualquier otro
caso. Sea z = 1 si la orden es una bebida pequeña o mediana y z = 0 para
cualquier otro caso.
a) M = 0.25
b) M= 0.35
c) M = 0.60
d) No es posible solo una de ellas puede ser igual a 1
e) Si

6. Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica 5% es la
probabilidad de que se decolore, 20% de que se agriete o ambas. Sea X = 1 su
se produce una decoloración y X = 0 en cualquier otro caso. Y = 1 si hay
alguna grieta y Y = 0 en cualquier otro caso. Z = 1 si hay decoloración o grieta
o ambas y Z = 0 en cualquier otro caso.
a) 0.05
b) 0.20
c) 0.23
d) Si
e) No
f) No
Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X = 1 si sale cara en la
moneda de 1 centavo y X = 0 en cualquier otro caso, sea Y = 1 si sale cara en
la moneda de 5 centavos y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale cara
en ambas y Z = 0 en cualquier otro caso.
a) ½
b) ½
c) ¼
d) Si
e) Si

7. Binomial
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que
mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito
entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo
son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una
probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p.
En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de
forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un
determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de
hecho, en una distribución de Bernoulli.
Características analíticas
Su función de probabilidad es
Donde
Siendo las combinaciones de en ( elementos
tomados de en )

8. Ejemplo:
Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de
que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la
probabilidad sería P(X=20):
5 Ejemplos:
Sea x~Bin(8,0.4) Determine:
X P
0 0.01679616 a) 0.20901888
1 0.08957952 b) 0.23224320
2 0.20901888 c) 0.08957952
3 0.27869184 d) 0.00786532
4 0.23224320 e) 3.2
5 0.12386304 f) 1.92
6 0.04128768
7 0.00786432
8 0.00065536
Sumatoria 1

9. Si se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la
cual 10% de los elementos esta defectuoso.
X P
0 0.59049a) 0.00001
1 0.32805 b) 0.07290
2 0.07290 c)0.59049
3 0.00810 d) 0.00045
4 0.00045
5 0.00001
1
Se lanza una moneda 10 veces.
X P
0 0.000976562 a) 0.117187500
1 0.009765625 b) 5
2 0.043945312 c) 2.5
3 0.117187500 d) 1.57
4 0.205078125
5 0.246093750
6 0.205078125
7 0.117187500
8 0.043945312
9 0.009765625
10 0.000976562
0.999999997

10. En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tiene cierta
imperfección. Se elige aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el
automóvil
X P
0 0.773780937 a)0.000005937
1 0.162901250 b) 0.162901250
2 0.012860625 c) 0.773780937
3 0.000451250
4 0.000005937
0.999999997
En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito,
cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Supongamos que los
valores de los bits son independientes.

11. Poisson
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidaddiscreta que
expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que
ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de
tiempo.
Ejemplos
Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación
defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros
encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos
la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y , λ, el valor
esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la
probabilidad buscada es
Este problema también podría resolverse recurriendo a una distribución
binomial de parámetros k = 5, n = 400 y =0,02.
5 Ejemplos:
Si X Poisson (3), calc7ule (X=2), P(X=10), P(X=0), P(X=-1) y P(X=0.5)
Cuando se usa la funision de masa de probailiodad (4.9), con =3, se obtiene:
P=(X=2)= 0.2240
P=(X=10)=0.0008
P=(X=0)= 0.0498
P=(X=1)= O
P(X=O.5)=O

12. Si X Poisson (4), calcuyle P(X< 2) y P(X>1).
P(X< 2)= 0.2381
P(X>1)= 0.9084
Sea X Poisson(4). Determine:
P(X=1)0.0733
P(X=0)0.0183
P(X<2)000916
P(X>1)0.9084
Suponga que 0.03% de los contenedores plasticos producidos en cierto
procesos tiene pequeños agujeros que lso dejan inservibles. X representa el
numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10000 que tienen este
defecto. Determine:
P(X=3)0.2240
P(X<3)0.4232
P(1<X<4)0.5974
Una ariable aletoria X tiene una distribucion binomial y una variable aleatoria
Y tiene una distribucion de Poisson.
Tanto X como Y tiene medias iguales a 3. ¿es posible determinar que variable
aleatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de las siguientes respuestas:
a) Si, X tiene la varaianza mas grande.
b) Si, Y tiene ka varianza mas grande
c) No, se necesita cono cer el numerop de ensayos, n, para X
d) No, se necesita conocer la probailidad de éxito, p, para X
e) No, se necesita conocel el valor de X para Y

13. T de student
La distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge
del problema de estimar la media de una poblaciónnormalmente distribuida
cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la
determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la
construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de
dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y
ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

14. Ejemplos:
Cual es la probabilidad de que una variable t de Student de 6 grados de
libertad deja a la izquierda de -1,45:
los valores negativos no vienen en la tabla, pero según lo anterior:
en la tabla encontramos:
por tanto:
con lo que obtenemos:
Cual es la probabilidad acumulada a la derecha de 2,45, en una variable t de
Student de 15 grados de libertad.
según lo anterior:
por la tabla tenemos que:

15. que sustituyéndolo en la expresión, resulta:
que da como resultado:
Cual es la probabilidad:
según lo anterior:
buscando el valor en la tabla, tenemos que:
Cual es la probabilidad acumulada de una variable t de Student de 25 grados
de libertad, se encuentre entre: 0,75 y 1,25.
según lo anterior, tenemos:
en la tabla las probabilidades, tenemos los valores:
sustituyendo tenemos:
realizando la operación:

16. Calcular la probabilidad acumulada a la izquierda de 0,87 de una variable t
Student de 10 grados de libertad:
el valor 0,87 no viene en la tabla, pero los valores 0,85 y 0,90 sí:
según la expresión:
sustituyendo los valores numéricos, tenemos:
operando:
esto es:
dando como resultado:
que es la solución al problema planteado: