El documento presenta varios problemas resueltos relacionados con la relatividad de intervalos de tiempo, dilatación del tiempo, relatividad de la longitud y contracción de longitudes. El primer problema calcula la vida media de un muón en el laboratorio. El segundo calcula la distancia recorrida por el muón antes de desintegrarse. El tercer problema calcula la diferencia en lectura entre dos relojes atómicos, uno en movimiento y otro en reposo. Los problemas siguientes calculan distancias y tiempos en diferentes marcos de referencia involucrando muones y partículas.

1. PROBLEMAS RESUELTOS
DE RELATIVIDAD
EXTRAÍDOS DE FÍSICA UNIVERSITARIA - SEARS - ZEMANSKY - 12VA EDICIÓN
Por: Cliffor Jerry Herrera Castrillo

2. Relatividad de los intervalos de tiempo
El muón positivo 𝜇+ , una partícula inestable, existe en promedio durante
2,20 𝑥 10−6
𝑠 (medidos en su propio marco de referencia) antes de desintegrarse.
 Si un muón positivo se desplaza con una rapidez de 0.900𝑐 con respecto al
laboratorio, ¿qué vida media se mide en el laboratorio?
 ¿Qué distancia media, medida en el laboratorio, recorre la partícula antes de
desintegrarse?
Si un muón positivo se desplaza con una rapidez de 0.900𝑐 con respecto al laboratorio, ¿qué
vida media se mide en el laboratorio?
𝛾 =
1
1 − 0,900 2
=
1
1 − 0,81
𝛾 =
1
0,4358
= 2,2941
𝑡 = 𝛾𝜏
𝑡 = 2,2941 2,20 𝑥 10−6 𝑠
𝑡 = 5,04702 𝑥 10−6 𝑠
𝑡 ≈ 5,05𝑥 10−6 𝑠
Respuesta: Si un muón positivo se desplaza con una rapidez de 0.900𝑐 con respecto al laboratorio, la vida media en
que se mide el laboratorio es de 5,05𝑥 10−6 𝑠

3. ¿Qué distancia media, medida en el laboratorio, recorre la
partícula antes de desintegrarse?
𝑑 = 𝑣 𝑡
𝑑 = 0,900 3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠 5,05𝑥 10−6 𝑠
𝑑 = 1363,5 𝑚
𝑑 = 1,3635 𝑘𝑚
Respuesta: La distancia media, medida en el laboratorio que recorre la partícula antes de
desintegrase es de 1,3635 𝑘𝑚

4. Dilatación del tiempo de todos los días
Se sincronizan cuidadosamente dos relojes atómicos. Uno permanece en Nueva York
y el otro se carga en un avión que viaja a una rapidez promedio de 250 m/s y luego
regresa a Nueva York. Cuando el avión regresa, el tiempo trascurrido en el reloj que
quedó es de 4,00 h. ¿Cuál será la diferencia de lectura entre los dos relojes, y cuál
de ellos mostrará el tiempo transcurrido más corto? (Sugerencia: Dado que 𝑢 ≪ 𝑐, se
puede simplificar 1 − 𝑢2 𝑐2 mediante una expansión de binomio)¿Cuál será la diferencia de lectura entre los dos relojes, y cuál de ellos mostrará el tiempo
transcurrido más corto?
1 − 𝑢2 𝑐2 = 1 − 𝑢2
𝑐2 1/2
≈ 1 −
𝑢2
2𝑐2 + ⋯
∆𝑡 − ∆𝑡0
= 1 − 1 − 𝑢2 𝑐2 ∆𝑡
=
𝑢2
2𝑐2
∆𝑡

5. =
250 𝑚/𝑠 2
2 3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠 2
4 ℎ 3600
=
62 500 𝑚2
𝑠2
2 9 𝑥 1016 𝑚2 𝑠2
14 400 𝑠
= 3,4722 𝑥 10−13 14 400 𝑠
⇒ ∆𝑡 − ∆𝑡0 = 5 𝑥 10−9
𝑠
Respuesta: El reloj en el avión muestra el tiempo transcurrido más corto

6. Relatividad de la longitud
Se crea un muón a 55,0 km de altura sobre la superficie terrestre (medida en el marco
de la tierra). La vida media de un muón, medida en su propio marco en reposo, es de
2,20 𝑥 10−6
𝑠 ; el muón en cuestión tiene esta vida. En el marco del muón la Tierra se
dirige hacia éste con una rapidez 0,9860 c.
 En el marco del muón, ¿Cuál es su altura inicial respecto a la superficie
terrestre?
 En el marco del muón, ¿Cuánto más se acerca la tierra durante la vida del
muón? ¿Qué fracción de la altura original del muón, medida en el marco de éste,
representa esa distancia?
 En el marco de la Tierra, ¿Cuál es la vida del muón? En el marco de la Tierra,
¿Qué distancia recorre el muón durante su vida? ¿Qué fracción de la altura
original del muón en el marco de la Tierra representa esta distancia?
Formula
𝛾 =
1
1 − 𝑢 𝑐 2
=
1
1 − 0,9860 2
=
1
1 − 0,972196
= 5,9971 ≈ 6

7. En el marco del muón, ¿Cuál es su altura inicial respecto a la
superficie terrestre?
𝑙 =
𝑙0
𝛾
𝑙 =
55,0 𝑘𝑚
6
= 9,1666 𝑘𝑚 ≈ 9,17 𝑘𝑚
Respuesta: La altura inicial respecto a la superficie terrestre es de 9,17 km en el marco del muón

8. En el marco del muón, ¿Cuánto más se acerca la tierra durante la vida
del muón? ¿Qué fracción de la altura original del muón, medida en el
marco de éste, representa esa distancia?
En el marco del muón se tiene
𝑑 = 𝑢 ∆𝑡
𝑑 = 0,9860 c 3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠 2,20 𝑥 10−6 𝑠
𝑑 = 650,76 𝑚 = 0,65076 𝑘𝑚 ≈ 0,651 𝑘𝑚
⇒ % =
𝑑
ℎ
=
0,651 𝑘𝑚
9,17 𝑘𝑚
= 0,071 𝑥 100 = 7,1%
Respuesta: En el marco del muón, la tierra se acerca 0,651 km durante la vida del muón. Esa distancia representa el
7,1%

9. En el marco de la Tierra, ¿Cuál es la vida del muón? En el marco de la Tierra, ¿Qué
distancia recorre el muón durante su vida? ¿Qué fracción de la altura original del
muón en el marco de la Tierra representa esta distancia?
En el marco de la tierra se tiene
∆𝑡 = ∆𝑡0 𝛾
∆𝑡 = 2,20 𝑥 10−6 𝑠 6
∆𝑡 = 1,32 𝑥 10−5 𝑠
𝑑᾿ = 𝑢 ∆𝑢
𝑑᾿ = 0,9860 c 3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠 1,32 𝑥 10−5 𝑠
𝑑᾿ = 3 904,56 𝑚 = 3,90456 𝑘𝑚 ≈ 3,90 𝑘𝑚
⇒ % =
𝑑᾿
ℎ᾿
=
3,90 𝑘𝑚
55,0 𝑘𝑚
= 0,71 𝑥 100% = 7,1%
Respuesta: En el marco de la tierra la vida del muón es de 1,32 𝑥 10−5
𝑠 y este recorre una distancia 3,90 𝑘𝑚
durante su vida y esa distancia representa el 7,1%

10. Relatividad de la longitud
Un rayo cósmico crea una partícula inestable en las capas altas de la
atmósfera. La partícula viaja en línea recta hacia la superficie
terrestre con una rapidez de 0,99540 c respecto a la Tierra. Las
mediciones de un científico que se halla en reposo en la superficie
terrestre le indican que la partícula se creó a una altura de 45,0 km.
 Medido por el científico, ¿Cuánto tiempo tarda a partícula en
recorrer 45,0 km que la separan de la superficie terrestre?
 Con base a la fórmula de contracción de la longitud, calcule la
distancia del punto donde se creó la partícula a la superficie
terrestre medida en el marco de la partícula.
 En el marco de la partícula, ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en
viajar del punto donde se creó a la superficie terrestre? Calcule
se tiempo por medio de la fórmula de dilatación del tiempo y
también a partir de la distancia calculada en el inciso (b).
¿Concuerdan los dos resultados?

11. Medido por el científico, ¿Cuánto tiempo tarda a partícula en recorrer 45,0 km que la
separan de la superficie terrestre?
𝑡 =
𝑑
𝑣
𝑡 =
45,0 𝑘𝑚 1 000
0,99540 3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠
=
45 000 𝑚
298 620 000 𝑚/𝑠
= 1,51 𝑥 10−4 𝑠
𝛾 =
1
1 − 0,99540 c 2
=
1
0,0958
= 10,4377 ≈ 10,44
ℎ᾿ =
ℎ
𝛾
=
45,0 𝑘𝑚
10,44
= 4,31 𝑘𝑚
Respuesta: La distancia del punto donde se creó la partícula a la superficie terrestre medida en el marco de la partícula
es de 4,31 𝑘𝑚
Respuesta: La partícula tarda 1,51 𝑥 10−4 𝑠 en recorrer 45,0 km Con base a la fórmula de contracción de la longitud,
calcule la distancia del punto donde se creó la partícula a la superficie terrestre medida en el marco de la partícula.

12. En el marco de la partícula, ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en viajar del punto
donde se creó a la superficie terrestre? Calcule se tiempo por medio de la
fórmula de dilatación del tiempo y también a partir de la distancia calculada en el
inciso (b). ¿Concuerdan los dos resultados?
𝑡 =
ℎ᾿
𝑣
=
4,31 𝑘𝑚 1 000
0,99540 c 3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠
=
4 310 𝑚
298 620 000 𝑚/𝑠
= 1,44 𝑥 10−5 𝑠
Y
𝑡
𝛾
=
1,51 𝑥 10−4
𝑠
10,44
= 1,44 𝑥 10−5 𝑠
Respuestas:
La partícula tarda 1,44 𝑥 10−5
𝑠 en viajar del punto donde se creó a la superficie terrestre
Los resultados están de acuerdo “son iguales” pero la vida de las partículas se dilata en el marco de la tierra.

13. Para tener éxito, tus deseos de
triunfar deberían ser más grandes
que tu miedo de fracasar
.-Bill Cosby.