Este documento presenta 25 problemas de matemáticas y lógica para olimpiadas. Los problemas incluyen cuestiones sobre crecimiento exponencial de células, diamantes en una cruz, edades de hijas basadas en pistas numéricas, y más. El documento proporciona una lista detallada de problemas para que los estudiantes los resuelvan y desarrollen sus habilidades de razonamiento.

1. I.E.S. Albarregas ‐ 2011
Profesor: Axel Cotón Página 1
PROPUESTA PROBLEMAS OLIMPIADAS
Problema 1: Supongamos que existe una célula que se reproduce cada segundo en
otras dos células idénticas que se reproducen de igual modo y, al introducirla en una
probeta, tarda una hora en llenarla completamente. Se quiere saber en qué momento
ya habrá llenado la mitad de la probeta.
Problema 2: Una mujer ciega entrega a un joyero una cruz de quince diamantes como
la de la figura para que la repare, y le advierte que no se le ocurra engañarla quitando
algún diamante, ya que ella sabe que, contando desde el extremo de cualquiera de los
brazos de la cruz hasta la parte inferior, hay nueve diamantes. Sin embargo el joyero se
las arregla para quitarle dos diamantes sin que ella se dé cuenta del cambio. ¿cómo?
Problema 3: Natalia pensó que su despertador se estaba volviendo loco. Primero
marcó las 9 menos 5 y un minuto después las nueve menos 4. Dos minutos después
marcó otra vez las 9 menos 4 y un minuto después de nuevo las 9 menos 5. Hasta que
a las 9 en punto descubrió qué le pasaba. ¿Qué le pasaba?
Problema 4: Cinco por cuatro veinte más uno veintidós. Y además el cálculo es
correcto. ¿Por qué?
Problema 5: Si un pantalón con cinturón cuesta 11 € y el pantalón cuesta 10 € más que
el cinturón, ¿cuánto cuesta el pantalón?
Problema 6: “¡Cómo pasa el tiempo! ‐dijo mi prima de Silvia ‐, anteayer yo tenía 19
años y ya el año próximo tendré 22”. ¿Es posible lo que me dijo?
Problema 7: Los tres gatos de Jorge cazan tres ratones en tres horas, ¿Cuántos gatos
harán falta para cazar cien ratones en 100 horas?
Problema 8: María llega a casa y sus hermanos Jorge y Javier le ofrecen compartir las
napolitanas de las que disponen. El primero tiene 5 napolitanas y el otro 3. Al final
deciden ponerlo todo en común y comérselo entre los tres. María, agradecida, quiere
repartir entre sus hermanos 8 euros que lleva en el bolsillo. ¿Cuál sería la forma de
reparto más justa?

2. I.E.S. Albarregas ‐ 2011
Profesor: Axel Cotón Página 2
Problema 9: María y Lidia se encuentran al otro lado de la puerta de una habitación
herméticamente cerrada. Junto a la puerta hay tres interruptores: dos están
inutilizados mientras que el tercero enciende la única luz de la habitación. Tienen que
averiguar cuál es abriendo solamente una vez la puerta y teniendo en cuenta que, una
vez abierta, no podemos tocar los interruptores.
Problema 10: Tomás y Jorge, antiguos compañeros de instituto, se encuentran
después de muchos años. Esta es parte de su conversación:
‐ Pues sí, tengo tres hijas
‐ ¿Sí? ¿Y qué edad tienen ahora?
‐ Pues mira, el producto de sus tres edades es 36
‐ Bueno, hay muchas posibilidades. Dame otra pista.
‐ ¡Hombre, casualmente la suma de sus edades coincide con el número de ese portal!
‐ Hum, aún así me falta un dato
‐ Vale, te diré que la mayor toca el piano...
‐ ¡Ah, entonces ya lo sé!
¿Cuáles eran las edades de las tres hijas?
Problema 11: Patricia le dijo a Andrea: si te regalo uno de mis pendientes, tendrás el
doble de los que yo tengo, mientras que si tú me das uno de los tuyos, tendremos los
mismos. ¿Cuántas pendientes tenía cada una?
Problema 12. Marina y Myriam tienen 100 cajas con 100 bolígrafos cada una. Todos
los bolígrafos pesan 10 g salvo los que contiene uno de los sacos, en el que todos
pesan 9 g. ¿Se puede averiguar cuál es utilizando solamente una vez una balanza?
Problema 13. Ana María y Celia han quedado para estudiar problemas de relojes. Un
reloj de pared con el que estaban estudiando se cae al suelo y la esfera se rompe en
tres trozos de forma que la suma de las cifras que aparecen en cada uno de los trozos
coincide. ¿Cuáles eran los trozos?
Problema 14. Cuando Antonio y Rubén fueron a comprar 1 les cobraron 1 €, días
después compraron 12 y pagaron 2 € así que Antonio cuando vio que necesitaba 144
preparó 3 €. ¿Qué tipo de artículos estaban comprando?
Problema 15. Se dispone de un euro para comprar 40 sellos de correos: de 1, 4 y 12
céntimos. ¿Cuántos sellos de cada deberemos comprar?

3. I.E.S. Albarregas ‐ 2011
Profesor: Axel Cotón Página 3
Problema 16. Tres hermanas fueron a vender pollos al mercado. Una llevó 10 pollos;
otra, 16, y la tercera 26. Hasta el mediodía, las tres habían vendido al mismo precio
una parte de los pollos. Después del mediodía, temiendo que no pudieran
desprenderse de todos los pollos, bajaron el precio, vendiendo los que les quedaban al
mismo precio. Las tres hermanas regresaron a casa con la misma cantidad de dinero
por la venta de los pollos, con 35 euros cada una. ¿A qué precio vendieron los pollos
antes y después del mediodía?
Problema 17. Los lados de un rectángulo vienen dados por números enteros. ¿Cuál
será la longitud de dichos lados para que el perímetro y el área del rectángulo sean
iguales?
Problema 18. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto. Todo lo
que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro:
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden
mostrar, ¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa
infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello
cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio
estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso
primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia a la tierra, y duró tan sólo
la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo
sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. Dime cuántos años había vivido Diofanto
cuando le llegó la muerte.
Problema 19. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos
pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo:
“¿De qué te quejas? si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En
cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía”. ¿Decidme, cuántos sacos
llevaba el caballo y cuántos el mulo?.
Problema 20. Cuatro hermanos tienen 45 euros. Si el dinero del primero es aumentado
en 2 euros, el del segundo reducido en dos euros, se duplica el del tercero y se reduce
a la mitad el del cuarto, todos los hermanos tendrán la misma cantidad. ¿Cuánto
dinero tenía cada uno?

4. I.E.S. Albarregas ‐ 2011
Profesor: Axel Cotón Página 4
Problema 21. Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Uno
de ellos advirtió que los apretones fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la
reunión?
Problema 22. Un problema indio clásico (siempre escribían en verso) dice:
Regocíjanse los monos
divididos en dos bandos:
en el bosque de solaza
su octava parte al cuadrado.
Con alegres gritos, doce
atronando el campo están.
¿Sabes cuántos monos hay
en la manada, en total?
Problema 23. Dos ciclistas situados en localidades diferentes circulan uno en busca del
otro a una velocidad de 10 km/h. Cuando les queda una hora para encontrarse, una
mosca que vuela a 50 km/h parte del primer ciclista en busca del segundo, cuando lo
alcanza da media vuelta en busca del primero y así sucesivamente hasta que los
ciclistas se encuentran. ¿Qué distancia recorre en total la mosca?
Problema 24. ¿Cómo se pueden formar cuatro triángulos iguales con sólo seis palillos?
Problema 25. Averigua que libros pertenecen a cada curso, de que editorial y cuánto
cuestan con las siguientes pistas:
a) El libro de 2º curso, que no es el de matemáticas, cuesta 0,50 € menos que el
de la Editorial Edelvives. Ninguno de ellos es el de 4º.
b) El de la Editorial SM es de 1º de ESO.
c) Editorial Bruño, 11 € y 4º de ESO, no tienen nada que ver entre sí.
d) El libro de literatura es de un curso impar y cuesta 0,50 € menos que el de
Planeta, que no es el de inglés.
e) Un libro es de 2º de ESO y otro de 3º de ESO. Uno de los cursos estudia sociales
y los precios de los libros son: 11 euros, 12 euros, 12,5 euros y 13 euros pero no
necesariamente en este orden.