El documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con conceptos matemáticos como volumen, velocidad de flujo, geometría y álgebra. Incluye ecuaciones para calcular el volumen de una esfera y un cono, así como la velocidad de flujo a través de un tubo cilíndrico. También presenta dos proyectos que involucran el cálculo de distancias y áreas usando coordenadas cartesianas y la modelación del flujo sanguíneo en arterias.
El documento presenta un ejercicio para calcular el volumen de un cilindro. Explica que el cilindro tiene una base circular con un radio de 400 cm y una altura de 6 m. Usa la fórmula del volumen de un cilindro, V=πr2h, reemplazando los valores dados y obtiene un volumen de 96 m3.
Este documento presenta 18 preguntas de selección múltiple sobre temas de matemáticas como álgebra, geometría y estadística. Las preguntas incluyen gráficos, tablas y ecuaciones para analizar y responder cuestiones relacionadas con movimiento, velocidad, triángulos, figuras geométricas y facturas de servicios públicos.
Este documento presenta información sobre pirámides regulares, incluyendo definiciones de términos como área lateral, área total y volumen. También contiene 16 problemas de ejercicios sobre el cálculo de estas medidas para pirámides regulares dadas sus dimensiones.
El documento contiene definiciones y fórmulas para calcular áreas y volúmenes de diferentes sólidos geométricos como prismas, paralelepípedos, cilindros, pirámides, conos y esferas. Se describen sus características y cómo desarrollar sus superficies laterales. Se incluyen también ejemplos numéricos de cálculos con estas figuras.
El documento describe cómo calcular el área de varios cuerpos geométricos tridimensionales. Explica cómo calcular el área lateral y total de prismas, pirámides, troncos de pirámide, cilindros, conos y esferas. Proporciona ejemplos resueltos de cómo calcular el área de estos cuerpos. También describe los pasos para desarrollar cada figura tridimensional en forma plana.
El documento presenta el capítulo 5 de un libro sobre aplicaciones de la derivada. El capítulo cubre temas como razón de cambio, problemas de máximos y mínimos, aproximaciones, y polinomios de Taylor. Incluye ejemplos resueltos de estos temas y ejercicios propuestos al final para que los estudiantes practiquen.
Aplicaciones de las derivadas en ingenieríaPaul Nùñez
Este documento presenta varios problemas de ingeniería que involucran el uso de derivadas para encontrar dimensiones, valores o condiciones que maximicen o minimicen alguna cantidad. Los problemas cubren diversas áreas como ingeniería civil, eléctrica, mecánica, industrial, química y de petróleos. Los problemas buscan determinar cosas como la forma óptima de una estructura, la corriente o potencia máxima en un circuito eléctrico, las dimensiones para mayor resistencia o volumen en una pieza, y condiciones para minimizar costos
El documento presenta dos problemas de matemáticas relacionados con el Teorema de Pitágoras para calcular los lados de un triángulo rectángulo. En el primer problema, se da la hipotenusa de 10 cm y un cateto de 6 cm, y se pide encontrar el otro cateto, cuya solución es 8 cm. En el segundo problema, se dan los dos catetos (12 cm y 8 cm) y se pide hallar la hipotenusa, cuya solución es 14.42 cm. Ambos problemas se resuelven aplicando la fórmula a2 + b
El documento presenta un ejercicio para calcular el volumen de un cilindro. Explica que el cilindro tiene una base circular con un radio de 400 cm y una altura de 6 m. Usa la fórmula del volumen de un cilindro, V=πr2h, reemplazando los valores dados y obtiene un volumen de 96 m3.
Este documento presenta 18 preguntas de selección múltiple sobre temas de matemáticas como álgebra, geometría y estadística. Las preguntas incluyen gráficos, tablas y ecuaciones para analizar y responder cuestiones relacionadas con movimiento, velocidad, triángulos, figuras geométricas y facturas de servicios públicos.
Este documento presenta información sobre pirámides regulares, incluyendo definiciones de términos como área lateral, área total y volumen. También contiene 16 problemas de ejercicios sobre el cálculo de estas medidas para pirámides regulares dadas sus dimensiones.
El documento contiene definiciones y fórmulas para calcular áreas y volúmenes de diferentes sólidos geométricos como prismas, paralelepípedos, cilindros, pirámides, conos y esferas. Se describen sus características y cómo desarrollar sus superficies laterales. Se incluyen también ejemplos numéricos de cálculos con estas figuras.
El documento describe cómo calcular el área de varios cuerpos geométricos tridimensionales. Explica cómo calcular el área lateral y total de prismas, pirámides, troncos de pirámide, cilindros, conos y esferas. Proporciona ejemplos resueltos de cómo calcular el área de estos cuerpos. También describe los pasos para desarrollar cada figura tridimensional en forma plana.
El documento presenta el capítulo 5 de un libro sobre aplicaciones de la derivada. El capítulo cubre temas como razón de cambio, problemas de máximos y mínimos, aproximaciones, y polinomios de Taylor. Incluye ejemplos resueltos de estos temas y ejercicios propuestos al final para que los estudiantes practiquen.
Aplicaciones de las derivadas en ingenieríaPaul Nùñez
Este documento presenta varios problemas de ingeniería que involucran el uso de derivadas para encontrar dimensiones, valores o condiciones que maximicen o minimicen alguna cantidad. Los problemas cubren diversas áreas como ingeniería civil, eléctrica, mecánica, industrial, química y de petróleos. Los problemas buscan determinar cosas como la forma óptima de una estructura, la corriente o potencia máxima en un circuito eléctrico, las dimensiones para mayor resistencia o volumen en una pieza, y condiciones para minimizar costos
El documento presenta dos problemas de matemáticas relacionados con el Teorema de Pitágoras para calcular los lados de un triángulo rectángulo. En el primer problema, se da la hipotenusa de 10 cm y un cateto de 6 cm, y se pide encontrar el otro cateto, cuya solución es 8 cm. En el segundo problema, se dan los dos catetos (12 cm y 8 cm) y se pide hallar la hipotenusa, cuya solución es 14.42 cm. Ambos problemas se resuelven aplicando la fórmula a2 + b
Este documento presenta varias preguntas de selección múltiple relacionadas con diferentes temas. La primera sección presenta preguntas sobre bases para esculturas y sus dimensiones. La segunda sección presenta preguntas relacionadas con la población y extensión de diferentes zonas de una ciudad. Otras secciones presentan preguntas sobre la fabricación de relojes, una rifa organizada por estudiantes, y las probabilidades de un juego con balotas de diferentes colores.
Este documento trata sobre el tema de la destilación y la rectificación. Explica conceptos clave como el equilibrio líquido-vapor, los diferentes tipos de destilación como la destilación fraccionada continua, y métodos para predecir el equilibrio líquido-vapor en soluciones binarias. También describe el proceso de rectificación, incluyendo líneas de operación, líneas de alimentación, relación de reflujo mínimo y número de etapas ideales.
Este documento explica los conceptos básicos de geometría para calcular perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas planas y cuerpos. Define y muestra fórmulas para calcular el perímetro y área de triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, romboides, trapecios, trapezoides y polígonos regulares. También cubre figuras circulares como circunferencias, arcos, sectores y coronas circulares. Por último, introduce los poliedros y prismas.
Este documento presenta una guía para el diseño de un sistema de riego por aspersión. El diseño incluye determinar la dosis de riego requerida, seleccionar el tipo y disposición de los aspersores, calcular los caudales necesarios y diseñar los ramales laterales considerando las pérdidas de carga. El objetivo es aplicar la dosis de riego de manera uniforme en toda la parcela.
Este documento contiene 59 problemas relacionados con el cálculo del área lateral, área total y volumen de diferentes cuerpos geométricos como cubos, prisma, cilindros y pirámides. Los problemas involucran el uso de fórmulas matemáticas para hallar medidas desconocidas a partir de dimensiones dadas de los cuerpos.
Este documento explica cómo calcular perímetros, áreas y volúmenes de varias figuras geométricas. Detalla fórmulas para triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, círculos, sectores circulares y más. También cubre poliedros regulares como tetraedros, cubos e icosaedros. Define prismas como poliedros con dos bases paralelas y caras laterales paralelogramos.
Este documento trata sobre perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas. Explica cómo calcular el perímetro y área de polígonos como triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios y polígonos regulares. También cubre figuras circulares como circunferencias, sectores circulares y coronas circulares. Por último, introduce los poliedros y clasifica prismas.
3º eso area y volumen de cuerpos geométricossoltero1980
Este documento explica cómo calcular el área y volumen de diferentes cuerpos geométricos. Describe las fórmulas para el área de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, así como las fórmulas para el volumen de prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar estas fórmulas.
Este documento trata sobre perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas. Explica cómo calcular estas medidas para triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, círculos, sectores circulares y coronas circulares. También define poliedros y prismas, y clasifica los poliedros regulares.
El documento describe los gráficos de diseño para determinar la presión de cámara en motores cohete de propelente sólido de estado continuo basados en nitrato de potasio y sorbitol, dextrosa o sacarosa. Incluye ecuaciones para calcular el área de combustión, el parámetro Kn y usar los gráficos para determinar la presión inicial, máxima y final. También presenta ejemplos del cálculo del área de combustión y presión para granos tubulares y de configuración BATES.
El documento presenta las pautas de diseño hidráulico para canales, incluyendo la identificación de tramos uniformes, el dimensionado de canales, la presentación y determinación de saltos hidráulicos para salvar desniveles topográficos, y la configuración de flujo uniforme y variado con curvas de remanso y resalto hidráulico entre tramos.
1. El documento presenta 29 preguntas de geometría del espacio relacionadas con conceptos como el número máximo de planos determinados por puntos y rectas, cálculo de distancias y proyecciones de segmentos sobre planos.
2. Las preguntas requieren calcular valores numéricos, identificar figuras geométricas o elegir la respuesta correcta entre las opciones provistas.
3. La resolución de las preguntas implica aplicar conceptos como planos paralelos, perpendiculares, proyecciones, distancias y relaciones entre figuras
El documento presenta 25 problemas relacionados con el cálculo de áreas, volúmenes y otras propiedades geométricas de figuras como cubos, pirámides, prismas, cilindros y esferas. Se pide calcular áreas, volúmenes totales, superficies, capacidades y otras medidas. También se incluyen preguntas sobre porcentajes y fracciones relacionadas con los volúmenes calculados.
El documento presenta un problema en verso sobre un grupo de niñas. Se pide determinar cuántas niñas había originalmente. También contiene fórmulas y ejemplos sobre áreas de figuras geométricas como cuadrados, rectángulos y triángulos. Finalmente, propone dos proyectos relacionados con el flujo de fluidos a través de tubos y arterias y cómo afectan factores como la presión, longitud, radio y viscosidad.
Este documento presenta un problema en verso sobre un grupo de niñas. Se pide determinar cuántas niñas había originalmente. También incluye fórmulas matemáticas como el cuadrado de una suma y diferencia, y productos de sumas y diferencias. Finalmente, propone ejercicios y proyectos sobre áreas, volúmenes, mapas, flujos y circulación sanguínea.
El documento presenta varios problemas y conceptos matemáticos relacionados con álgebra y geometría. Incluye ecuaciones para calcular el área de cuadrados, rectángulos y otros polígonos. También contiene ejercicios y problemas resueltos sobre volúmenes de figuras geométricas como esferas y conos. Finalmente, propone dos proyectos que involucran el cálculo de distancias y velocidades de fluidos en tuberías.
1) El documento presenta problemas matemáticos expresados en forma de poemas y versos para practicar operaciones algebraicas como el cálculo de cuadrados, productos y sumas.
2) También incluye ejercicios de geometría, física y taller sobre volúmenes, velocidad, distancias y diseño para practicar diferentes conceptos.
3) Finalmente, propone dos proyectos relacionados con la modelación de curvas de ríos, cálculo de distancias y áreas, y el estudio del flujo de líquidos en tubos
Este documento presenta varios conceptos y fórmulas matemáticas, incluyendo el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia, el producto de una suma por una diferencia, y el producto de (a+b) por (a+c). También incluye ejercicios de interés simple, resistencia eléctrica, geometría, tiempo de vuelo, balística y diseño de albercas.
Este documento presenta fórmulas para calcular el perímetro y área de diferentes figuras geométricas como triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, paralelogramos, trapecios, trapezoides, circunferencias y círculos. También explica conceptos como suma y resta de áreas y da fórmulas para el área y volumen de cuerpos como cubos, paralelepípedos rectos, conos y cilindros. Finalmente incluye ejercicios de aplicación.
Medición - Área de cuadrilateros y poligonosAna Robles
Este documento presenta información sobre el área de figuras planas como cuadriláteros y polígonos regulares. Explica que el área es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie y proporciona fórmulas para calcular el área de figuras como cuadrados, rectángulos, trapecios, triángulos y polígonos regulares. También define términos como apotema y ofrece ejemplos numéricos de cálculos de área.
Este documento presenta tres problemas de geometría relacionados con figuras tridimensionales. El primer problema pide calcular el área lateral de un sólido de revolución generado por un triángulo rectángulo girando alrededor de su cateto mayor. El segundo problema calcula el volumen de un cono equilátero circunscrito a una esfera. El tercer problema halla el volumen de un cono de revolución cuya generatriz forma un ángulo de 30° con la base.
Este documento presenta varias preguntas de selección múltiple relacionadas con diferentes temas. La primera sección presenta preguntas sobre bases para esculturas y sus dimensiones. La segunda sección presenta preguntas relacionadas con la población y extensión de diferentes zonas de una ciudad. Otras secciones presentan preguntas sobre la fabricación de relojes, una rifa organizada por estudiantes, y las probabilidades de un juego con balotas de diferentes colores.
Este documento trata sobre el tema de la destilación y la rectificación. Explica conceptos clave como el equilibrio líquido-vapor, los diferentes tipos de destilación como la destilación fraccionada continua, y métodos para predecir el equilibrio líquido-vapor en soluciones binarias. También describe el proceso de rectificación, incluyendo líneas de operación, líneas de alimentación, relación de reflujo mínimo y número de etapas ideales.
Este documento explica los conceptos básicos de geometría para calcular perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas planas y cuerpos. Define y muestra fórmulas para calcular el perímetro y área de triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, romboides, trapecios, trapezoides y polígonos regulares. También cubre figuras circulares como circunferencias, arcos, sectores y coronas circulares. Por último, introduce los poliedros y prismas.
Este documento presenta una guía para el diseño de un sistema de riego por aspersión. El diseño incluye determinar la dosis de riego requerida, seleccionar el tipo y disposición de los aspersores, calcular los caudales necesarios y diseñar los ramales laterales considerando las pérdidas de carga. El objetivo es aplicar la dosis de riego de manera uniforme en toda la parcela.
Este documento contiene 59 problemas relacionados con el cálculo del área lateral, área total y volumen de diferentes cuerpos geométricos como cubos, prisma, cilindros y pirámides. Los problemas involucran el uso de fórmulas matemáticas para hallar medidas desconocidas a partir de dimensiones dadas de los cuerpos.
Este documento explica cómo calcular perímetros, áreas y volúmenes de varias figuras geométricas. Detalla fórmulas para triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, círculos, sectores circulares y más. También cubre poliedros regulares como tetraedros, cubos e icosaedros. Define prismas como poliedros con dos bases paralelas y caras laterales paralelogramos.
Este documento trata sobre perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas. Explica cómo calcular el perímetro y área de polígonos como triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios y polígonos regulares. También cubre figuras circulares como circunferencias, sectores circulares y coronas circulares. Por último, introduce los poliedros y clasifica prismas.
3º eso area y volumen de cuerpos geométricossoltero1980
Este documento explica cómo calcular el área y volumen de diferentes cuerpos geométricos. Describe las fórmulas para el área de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, así como las fórmulas para el volumen de prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar estas fórmulas.
Este documento trata sobre perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas. Explica cómo calcular estas medidas para triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, círculos, sectores circulares y coronas circulares. También define poliedros y prismas, y clasifica los poliedros regulares.
El documento describe los gráficos de diseño para determinar la presión de cámara en motores cohete de propelente sólido de estado continuo basados en nitrato de potasio y sorbitol, dextrosa o sacarosa. Incluye ecuaciones para calcular el área de combustión, el parámetro Kn y usar los gráficos para determinar la presión inicial, máxima y final. También presenta ejemplos del cálculo del área de combustión y presión para granos tubulares y de configuración BATES.
El documento presenta las pautas de diseño hidráulico para canales, incluyendo la identificación de tramos uniformes, el dimensionado de canales, la presentación y determinación de saltos hidráulicos para salvar desniveles topográficos, y la configuración de flujo uniforme y variado con curvas de remanso y resalto hidráulico entre tramos.
1. El documento presenta 29 preguntas de geometría del espacio relacionadas con conceptos como el número máximo de planos determinados por puntos y rectas, cálculo de distancias y proyecciones de segmentos sobre planos.
2. Las preguntas requieren calcular valores numéricos, identificar figuras geométricas o elegir la respuesta correcta entre las opciones provistas.
3. La resolución de las preguntas implica aplicar conceptos como planos paralelos, perpendiculares, proyecciones, distancias y relaciones entre figuras
El documento presenta 25 problemas relacionados con el cálculo de áreas, volúmenes y otras propiedades geométricas de figuras como cubos, pirámides, prismas, cilindros y esferas. Se pide calcular áreas, volúmenes totales, superficies, capacidades y otras medidas. También se incluyen preguntas sobre porcentajes y fracciones relacionadas con los volúmenes calculados.
El documento presenta un problema en verso sobre un grupo de niñas. Se pide determinar cuántas niñas había originalmente. También contiene fórmulas y ejemplos sobre áreas de figuras geométricas como cuadrados, rectángulos y triángulos. Finalmente, propone dos proyectos relacionados con el flujo de fluidos a través de tubos y arterias y cómo afectan factores como la presión, longitud, radio y viscosidad.
Este documento presenta un problema en verso sobre un grupo de niñas. Se pide determinar cuántas niñas había originalmente. También incluye fórmulas matemáticas como el cuadrado de una suma y diferencia, y productos de sumas y diferencias. Finalmente, propone ejercicios y proyectos sobre áreas, volúmenes, mapas, flujos y circulación sanguínea.
El documento presenta varios problemas y conceptos matemáticos relacionados con álgebra y geometría. Incluye ecuaciones para calcular el área de cuadrados, rectángulos y otros polígonos. También contiene ejercicios y problemas resueltos sobre volúmenes de figuras geométricas como esferas y conos. Finalmente, propone dos proyectos que involucran el cálculo de distancias y velocidades de fluidos en tuberías.
1) El documento presenta problemas matemáticos expresados en forma de poemas y versos para practicar operaciones algebraicas como el cálculo de cuadrados, productos y sumas.
2) También incluye ejercicios de geometría, física y taller sobre volúmenes, velocidad, distancias y diseño para practicar diferentes conceptos.
3) Finalmente, propone dos proyectos relacionados con la modelación de curvas de ríos, cálculo de distancias y áreas, y el estudio del flujo de líquidos en tubos
Este documento presenta varios conceptos y fórmulas matemáticas, incluyendo el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia, el producto de una suma por una diferencia, y el producto de (a+b) por (a+c). También incluye ejercicios de interés simple, resistencia eléctrica, geometría, tiempo de vuelo, balística y diseño de albercas.
Este documento presenta fórmulas para calcular el perímetro y área de diferentes figuras geométricas como triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, paralelogramos, trapecios, trapezoides, circunferencias y círculos. También explica conceptos como suma y resta de áreas y da fórmulas para el área y volumen de cuerpos como cubos, paralelepípedos rectos, conos y cilindros. Finalmente incluye ejercicios de aplicación.
Medición - Área de cuadrilateros y poligonosAna Robles
Este documento presenta información sobre el área de figuras planas como cuadriláteros y polígonos regulares. Explica que el área es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie y proporciona fórmulas para calcular el área de figuras como cuadrados, rectángulos, trapecios, triángulos y polígonos regulares. También define términos como apotema y ofrece ejemplos numéricos de cálculos de área.
Este documento presenta tres problemas de geometría relacionados con figuras tridimensionales. El primer problema pide calcular el área lateral de un sólido de revolución generado por un triángulo rectángulo girando alrededor de su cateto mayor. El segundo problema calcula el volumen de un cono equilátero circunscrito a una esfera. El tercer problema halla el volumen de un cono de revolución cuya generatriz forma un ángulo de 30° con la base.
Este documento presenta tres problemas de geometría relacionados con triángulos rectángulos, conos y esferas. El primer problema pide calcular el área lateral de un sólido generado por la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. El segundo problema calcula el volumen de un cono equilátero circunscrito a una esfera. El tercer problema halla el volumen de un cono de revolución cuya generatriz forma un ángulo de 30° con la base.
El documento resume el Teorema de Pitágoras y su historia. Explica que Pitágoras vivió en el siglo VI a.C. y fundó una escuela en Crotona, Italia donde estudió matemáticas y astronomía. El teorema establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. El documento también presenta varias demostraciones del teorema y ejemplos de su aplicación.
El documento presenta dos problemas relacionados con el cálculo de áreas de figuras geométricas. En el primer problema, se pide determinar el área de la parte roja de una figura formada por dos circunferencias tangentes. Tras calcular el área de cada circunferencia y de un rectángulo interno, se deduce que el área roja es de 343.36 cm2. En el segundo problema, se pide hallar el área de un círculo y un cuadrado dado el área de un cuadrado menor. Usando las propiedades de cuadrados y
Este documento presenta un guión de clases para una lección de matemáticas sobre el área de figuras planas. La lección se enfoca en demostrar las fórmulas para calcular el área de diferentes figuras como cuadrados, rectángulos, triángulos, rombos, trapecios, polígonos regulares y círculos. Luego, aplica estas fórmulas en ejemplos numéricos y complejos que involucran descomponer figuras. La lección concluye con una guía de ejercicios para que los estudiantes practiquen.
El documento resume conceptos básicos sobre triángulos rectángulos, incluyendo sus relaciones métricas, el Teorema de Pitágoras y fórmulas para calcular el área. También presenta breve historia sobre Pitágoras y cómo se calculaba el área de triángulos en la antigüedad. Finalmente, revisa distintos tipos de triángulos y sus relaciones de áreas.
El documento presenta información sobre triángulos rectángulos. Explica la relación entre los lados de un triángulo rectángulo usando el Teorema de Pitágoras. También cubre conceptos como triángulos rectángulos semejantes y relaciones entre los ángulos y lados de triángulos rectángulos con ángulos de 45°, 60° y 90°. Finalmente, presenta ejercicios para practicar el uso de estas propiedades para calcular lados desconocidos.
El documento habla sobre las figuras geométricas encontradas en las paredes del complejo arquitectónico de Velarde en Chan Chan. Cuatro de las figuras fueron retiradas para mantenimiento y se anotó su posición original como "de derecha a izquierda: traslación-rotación-traslación-rotación". El texto también explica brevemente las transformaciones geométricas de traslación, rotación y reflexión.
CLASES VIRTUALES EN PPT SE INCLUYE EL APRENDIZAJE ESPERADO, ACTITUD ANTE EL AREA E INDICADORES DE EVALUACION DE LA SESION DE CLASES DE AREAS POLIGONALES DEL CUADRADO Y RECTANGULO.
Atte.
Lic.: Edgar Zavaleta Portillo
I:E. Humberto Luna-Ugel Cusco
El documento presenta información sobre funciones cuadráticas, incluyendo su definición, elementos clave como el vértice y dominio/rango, y aplicaciones. Explica que una función cuadrática toma la forma f(x)=ax2+bx+c, con su gráfica siendo una parábola. Detalla cómo calcular el vértice y raíces de la función, y cómo estas propiedades determinan la forma de la parábola. También cubre el cálculo de áreas bajo curvas cuadráticas y la intersección entre parábolas y rectas
Este documento presenta fórmulas para calcular el área de diferentes figuras geométricas planas, incluyendo triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, rombos, círculos y polígonos regulares. También incluye ejemplos numéricos para practicar el cálculo del área.
Este documento presenta fórmulas para calcular el perímetro y área de diferentes figuras geométricas como triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, paralelogramos, trapecios, trapezoides, circunferencias y círculos. También explica cómo calcular el área total de figuras compuestas sumando o restando las áreas de sus partes. Por último, presenta fórmulas para calcular el área y volumen de cuerpos como cubos, paralelepípedos rectos, conos, cilindros
Este documento presenta fórmulas para calcular el perímetro y área de diferentes figuras geométricas como triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, paralelogramos, trapecios, trapezoides, circunferencias y círculos. También explica cómo calcular el área total de figuras compuestas sumando o restando las áreas de sus partes. Por último, presenta fórmulas para calcular el área y volumen de cuerpos como cubos, paralelepípedos rectos, conos, cilindros
1. PRODUCTOS NOTABLES
Matemáticas Preuniversitarias
Dra. Ma. de Lourdes Palacios
y M. en I. Norma Castañeda
2. Resolvamos el siguiente problema escrito en verso:
Unas niñas muy precoces,
al cuadrado se elevaron.
Y como eran muy audaces
por dos se multiplicaron.
Que ya eran muchas sintieron
y por eso se restaron
doce veces lo que fueron.
Las que al principio empezaron
con eso se contentaron
y treinta y dos ahora son.
Ahora quiero que me digas
sin miedo y sin compasión Alejandro Bravo
¿Cuántas eran al principio Margarita Espinosa
de este cuento juguetón?
3. CUADRADO DE UNA SUMA
(a+b)2=a2+2ab+b2
Para calcular el área del cuadrado que se muestra, multiplicamos
las longitudes de sus lados
(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
a a2 ab
b ab b2
a b
(a+b)2= a2 +2ab +b2
4. CUADRADO DE UNA DIFERENCIA
(a-b)2=a2-2ab+b2
En la siguiente figura queremos encontrar el área del cuadrado cuyo
lado mide a-b. Al área delcuadro de lado a le restamos la suma de
las áreas de los rectángulos con lados a y b y sumamos el área del
cuadro de lado b.
(a-b)2
a
b
b2
a- b (a-b)2= a2-2ab +b2
5. PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIFERENCIA
(a+b) (a-b)=a2-b2
Queremos encontrar el área de la parte sombreada del
cuadro que se muestra.
a- b b(a-b)
a(a-b)
a
b
a- b b
a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
6. PRODUCTO DE (a+b) (a+c)=a2+a(b+c)+bc
Para encontra el área del rectángulo de la figura, sumamos el área
del cuadrado de lado a más el área de los rectángulos con lado a,
b; a, c y b, c, respectivamente.
a2 ac
a
b ab bc
a c
(a+b)(a+c)= a2+ab+ac+bc = a2+a(b+c)+bc
7. Ejercicios
1. Interés simple. La fórmula A=p+prt expresa el
saldo de una cuenta de ahorros al final de un
tiempo específico. Despejar a p de la fórmula.
2. Electrónica. En electrónica se usa la fórmula
r1r2=rr2+rr1 para relacionar la resistencia
combinada, r, de dos resistores conectados en
paralelo. La variable r1 representa la resistencia
del primer resistor y r2 la del segundo. Despejar r2
de la ecuación.
8. Ejercicios de redacción.
1. Explica cómo determinar el máximo factor
común de dos números naturales.
2. Explica cómo reconocer si un número es primo.
Algo para razonar.
1. Elije dos números naturales. Divide su producto
entre su máximo factor común. Al resultado se
le llama mínimo común múltiplo de los
números que elijiste. ¿Porqué?
2. Al número 6 se le llama número perfecto
porque la suma de todos sus divisores es el doble
de 6: 1+2+3+6=12. Comprueba que 28 también
es un número perfecto.
9. Ejercicios de taller
1. Geometría. Calcula el perímetro de rectángulo
que se muestra.
2. Geometría.Calcula la altura del triángulo que se
muestra. Su área es de 162 centímetros
cuadrados.
10. Ejercicios de taller
1. Tiempo de vuelo. ¿Despúes de cuantos
segundos llegará un objeto al piso, si se arrojó
en línea recta hacia arriba con una velocidad
inicial de 160 pies por segundo?
2. Balística. Con una honda se pueden obtener
velocidades iniciales de 128 pies por segundo.
¿A los cuántos segundos una piedra, arrojada
verticalmente con la honda, estará a 192 pies del
piso ?
11. Ejercicios de taller Diseño de una alberca. Los
reglamentos de
construcción indican que la
alberca rectangular que se
muestra debe estar rodeada
por un pasillo de ancho
uniforme, que tenga un área
mínima de 516 pies
cuadrados. La longitud de la
alberca es de 10 pies menor
qu el doble de su ancho.
¿De qué ancho debe ser el
pasillo?
12. Ejercicios
1. Calcula el volumen de una esfera cuando
r=21.23 centímetros. Redondea tu respuesta a
centésimas. La fórmula del volumen de la
4 3
esfera es V = πr
3
2. Calcula el volumen de un cono cuando r=12.23
metros y h=14.7 metros. Redondea tu respuesta a
centésimas. La fórmula del volumen del cono es
4 2
V = πr h
3
13. Proyecto 1.
Manuel tiene una tienda de cebos junto al Río Limpio.
Está entre dos vueltas pronunciadas del río y la zona que
rodea la tienda se ha puesto de moda como lugar de
campamento y excursionismo. Manuel quiere producir
mapas de la zona para los visitantes. Pero, aunque conoce
bien la región, casi no tiene idea de las distancias reales de
un lugar a otro. Lo que sabe es que:
1. La Catarata, una bella caída de agua del Río Limpio, está
hacia el este de su tienda.
2. El Balcón, una famosa roca para escaladores, está hacia el
oeste de su tienda, al lado del río.
3. Los Almacenes Generales, el único abastecedor
importante de campismo de la zona, está sobre el río, a
cierta distancia hacia el oeste y norte de la tienda de
Manuel.
14. Proyecto 1 (cont.)
Manuel contrata a un aerofotógrafo para tomar paisajes del
área y se encuentra con algunos resultados sorprendentes. Si
considera que su tienda es el origen de un sistema de
coordenadas, y que el eje y va de norte a sur y el eje x de
este a oeste, entonces, en el dominio x ≤ 4
−4≤ (las unidades
son millas), el río sigue la curva) = 1 ( x 3 − x 2 − 6 x )
P( x .
4
a. A Manuel le gustaría mostrar las posiciones exactas, en
relación con su tienda, de la Gran Catarata y del Balcón.
Determínaselas y explícale por qué lo que le dices debe estar
correcto.
15. Proyecto 1 (cont.)
b. Manuel y Almacenes Generales midieron la distancia
entre sus negocios y resultó que los almacenes están a
0.7 millas al oeste de la tienda de carnadas. Como está
sobre el río, está también un poco al norte. Ellos deciden
que, para promover sus negocios, se unirán para
desmontar algunos lugares de campamento en la región
que bordea la vereda directa que va desde las dos tiendas
y el Balcón, y entre los almacenes y el Balcón. Si
desmontan un campamento por cada 40 acres totales de
área, ¿cuántos campamentos pueden tener? (Sugerencia:
Una milla cuadrada equivale a 640 acres)
c. Una vereda va en línea recta hacia el sureste (siguiendo
la recta y=-x) desde la tienda de Manuel hasta el río. ¿A
qué distancia al este y al sur debe estar un excursionista
que la recorra cuando llega al río ?
16. Proyecto 2 El gasto con el que pasa un fluido
por un tubo cilíndrico, o cualquier
conducto cilíndrico (por ejemplo,
una arteria) es:
P 2
Velocidad de flujo V = (R − r2 )
nL
en donde p es la diferencia de
presiones entre los dos extremos del
tubo, L es la longitud de tubo, R es
su radio y n es la constante de
viscosidad, una función de lo espeso
que es el fluido. Como la variable r
representa la distancia al centro del
tubo, 0 ≤ r ≤ R. (Ver ilustación). En la
mayor parte de los casos, p, L, R, y n
son constantes, de modo que V es
función de r. V (r ) = P ( R 2 − r 2 )
nL
17. Proyecto 2 (cont.)
Se puede demostrar que la velocidad de un flujo que
pasa por un tubo depende de su distancia al centro (o de
su distancia a la pared).
a. Se tiene un tubo con 5 cm de radio y 60 cm de longitud.
Supón que p=15 y n=0.001 (ya que la viscosidad
aproximada del agua es 0.001). Calcula la velocidad del
fluido en el centro del tubo. Las unidades de V son
centímetros por pulgada.
b. Supón el mismo caso, pero ahora el fluido es aceite
lubricante, con una viscosidad igual a 0.15. Contesta lo
que se pide en la parte a, pero además determina en qué
lugar del tubo la velocidad del aceite es de 15 cm por
segundo. Toma nota de que el aceite es mas espeso que
el agua.
18. Proyecto 2 (cont.)
c. Los médicos emplean varios métodos para
aumentar el flujo de sangre en las arterias. El
paciente debe tomar una droga que “le adelgace la
sangre” (baja su viscosidad), o una que le dilate
sus arterias, o bien puede someterse a una
angioplastia, que es un procedimiento quirúrgico
para ampliar la luz o el hueco por el que pasa la
sangre. Explica por qué con cada una de las
medidas anteriores la velocidad V de la sangre
aumenta a determinada distancia r del centro de la
arteria.