1) El documento presenta problemas matemáticos expresados en forma de poemas y versos para practicar operaciones algebraicas como el cálculo de cuadrados, productos y sumas. 2) También incluye ejercicios de geometría, física y taller sobre volúmenes, velocidad, distancias y diseño para practicar diferentes conceptos. 3) Finalmente, propone dos proyectos relacionados con la modelación de curvas de ríos, cálculo de distancias y áreas, y el estudio del flujo de líquidos en tubos

1. PRODUCTOS NOTABLES
Matemáticas Preuniversitarias
Dra. Ma. de Lourdes Palacios
y M. en I. Norma Castañeda

2. Unas niñas muy precoces,
al cuadrado se elevaron.
Y como eran muy audaces
por dos se multiplicaron.
Que ya eran muchas sintieron
y por eso se restaron
doce veces lo que fueron.
Las que al principio empezaron
con eso se contentaron
y treinta y dos ahora son.
Ahora quiero que me digas
sin miedo y sin compasión
¿Cuántas eran al principio
de este cuento juguetón?
Resolvamos el siguiente problema escrito en verso:
Alejandro Bravo
Margarita Espinosa

3. (a+b)2=
Para calcular el área del cuadrado que se muestra, multiplicamos las longitudes de
sus lados
(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
a
ba
b
a2
ab
ab
b2
CUADRADO DE UNA SUMA
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2
+2ab +b2

4. (a-b)2=
En la siguiente figura queremos encontrar el área del cuadrado cuyo lado mide a-b. Al
área delcuadro de lado a le restamos la suma de las áreas de los rectángulos con lados a
y b y sumamos el área del cuadro de lado b.
a
a- b
(a-b)2
b2
CUADRADO DE UNA DIFERENCIA
(a-b)2=a2-2ab+b2
b
a2
-2ab +b2

5. a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
Queremos encontrar el área de la parte sombreada del cuadro que se
muestra.
a
a- b
PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIFERENCIA
(a+b) (a-b)=a2-b2
b
a- b
b
a(a-b)
b(a-b)

6. (a+b)(a+c)=
Para encontra el área del rectángulo de la figura, sumamos el área del cuadrado de
lado a más el área de los rectángulos con lado a, b; a, c y b, c, respectivamente.
a
a
PRODUCTO DE (a+b) (a+c)=a2+a(b+c)+bc
b
c
a2
ab
ac
bc
a2
+ab +ac +bc = a2+a(b+c)+bc

7. 1. Interés simple. La fórmula A=p+prt expresa el
saldo de una cuenta de ahorros al final de un
tiempo específico. Despejar a p de la fórmula.
2. Electrónica. En electrónica se usa la fórmula
r1r2=rr2+rr1 para relacionar la resistencia
combinada, r, de dos resistores conectados en
paralelo. La variable r1 representa la resistencia
del primer resistor y r2 la del segundo. Despejar
r2 de la ecuación.
Ejercicios

8. 1. Explica cómo determinar el máximo factor común
de dos números naturales.
2. Explica cómo reconocer si un número es primo.
Ejercicios de redacción.
Algo para razonar.
1. Elije dos números naturales. Divide su
producto entre su máximo factor común. Al
resultado se le llama mínimo común múltiplo
de los números que elijiste. ¿Porqué?
2. Al número 6 se le llama número perfecto
porque la suma de todos sus divisores es el
doble de 6: 1+2+3+6=12. Comprueba que 28
también es un número perfecto.

9. 1. Geometría. Calcula el perímetro de rectángulo
que se muestra.
Ejercicios de taller
2. Geometría.Calcula la altura del triángulo que se
muestra. Su área es de 162 centímetros
cuadrados.

10. 1. Tiempo de vuelo. ¿Despúes de cuantos
segundos llegará un objeto al piso, si se arrojó
en línea recta hacia arriba con una velocidad
inicial de 160 pies por segundo?
2. Balística. Con una honda se pueden obtener
velocidades iniciales de 128 pies por segundo.
¿A los cuántos segundos una piedra, arrojada
verticalmente con la honda, estará a 192 pies
del piso ?
Ejercicios de taller

11. Ejercicios de taller
Diseño de una alberca. Los
reglamentos de
construcción indican que
la alberca rectangular que
se muestra debe estar
rodeada por un pasillo de
ancho uniforme, que
tenga un área mínima de
516 pies cuadrados. La
longitud de la alberca es
de 10 pies menor qu el
doble de su ancho. ¿De
qué ancho debe ser el
pasillo?

12. 1. Calcula el volumen de una esfera cuando r=21.23
centímetros. Redondea tu respuesta a centésimas. La
fórmula del volumen de la esfera es
Ejercicios
3
3
4
rV 
hrV 2
3
4

2. Calcula el volumen de un cono cuando r=12.23
metros y h=14.7 metros. Redondea tu
respuesta a centésimas. La fórmula del
volumen del cono es

13. Manuel tiene una tienda de cebos junto al Río Limpio. Está
entre dos vueltas pronunciadas del río y la zona que rodea
la tienda se ha puesto de moda como lugar de campamento
y excursionismo. Manuel quiere producir mapas de la zona
para los visitantes. Pero, aunque conoce bien la región, casi
no tiene idea de las distancias reales de un lugar a otro. Lo
que sabe es que:
1. La Catarata, una bella caída de agua del Río Limpio, está
hacia el este de su tienda.
2. El Balcón, una famosa roca para escaladores, está hacia el
oeste de su tienda, al lado del río.
3. Los Almacenes Generales, el único abastecedor importante
de campismo de la zona, está sobre el río, a cierta distancia
hacia el oeste y norte de la tienda de Manuel.
Proyecto 1.

14. Manuel contrata a un aerofotógrafo para tomar paisajes
del área y se encuentra con algunos resultados
sorprendentes. Si considera que su tienda es el origen de
un sistema de coordenadas, y que el eje y va de norte a
sur y el eje x de este a oeste, entonces, en el dominio
(las unidades son millas), el río sigue la curva
.
a. A Manuel le gustaría mostrar las posiciones exactas, en
relación con su tienda, de la Gran Catarata y del Balcón.
Determínaselas y explícale por qué lo que le dices debe
estar correcto.
Proyecto 1 (cont.)
44  x
   xxxxP 6
4
1 23


15. b. Manuel y Almacenes Generales midieron la distancia entre
sus negocios y resultó que los almacenes están a 0.7 millas
al oeste de la tienda de carnadas. Como está sobre el río,
está también un poco al norte. Ellos deciden que, para
promover sus negocios, se unirán para desmontar algunos
lugares de campamento en la región que bordea la vereda
directa que va desde las dos tiendas y el Balcón, y entre los
almacenes y el Balcón. Si desmontan un campamento por
cada 40 acres totales de área, ¿cuántos campamentos
pueden tener? (Sugerencia: Una milla cuadrada equivale a
640 acres)
c. Una vereda va en línea recta hacia el sureste (siguiendo la
recta y=-x) desde la tienda de Manuel hasta el río. ¿A qué
distancia al este y al sur debe estar un excursionista que la
recorra cuando llega al río ?
Proyecto 1 (cont.)

16. Proyecto 2
El gasto con el que pasa un fluido por
un tubo cilíndrico, o cualquier
conducto cilíndrico (por ejemplo, una
arteria) es:
Velocidad de flujo
en donde p es la diferencia de
presiones entre los dos extremos del
tubo, L es la longitud de tubo, R es su
radio y n es la constante de viscosidad,
una función de lo espeso que es el
fluido. Como la variable r representa la
distancia al centro del tubo, .
(Ver ilustación). En la mayor parte de
los casos, p, L, R, y n son constantes,
de modo que V es función de r.
 22
rR
nL
P
V 
 22
)( rR
nL
P
rV 
Rr 0

17. Se puede demostrar que la velocidad de un flujo que pasa
por un tubo depende de su distancia al centro (o de su
distancia a la pared).
a. Se tiene un tubo con 5 cm de radio y 60 cm de longitud.
Supón que p=15 y n=0.001 (ya que la viscosidad
aproximada del agua es 0.001). Calcula la velocidad del
fluido en el centro del tubo. Las unidades de V son
centímetros por pulgada.
b. Supón el mismo caso, pero ahora el fluido es aceite
lubricante, con una viscosidad igual a 0.15. Contesta lo que
se pide en la parte a, pero además determina en qué lugar
del tubo la velocidad del aceite es de 15 cm por segundo.
Toma nota de que el aceite es mas espeso que el agua.
Proyecto 2 (cont.)

18. c. Los médicos emplean varios métodos para
aumentar el flujo de sangre en las arterias. El
paciente debe tomar una droga que “le
adelgace la sangre” (baja su viscosidad), o una
que le dilate sus arterias, o bien puede
someterse a una angioplastia, que es un
procedimiento quirúrgico para ampliar la luz o el
hueco por el que pasa la sangre. Explica por qué
con cada una de las medidas anteriores la
velocidad V de la sangre aumenta a determinada
distancia r del centro de la arteria.
Proyecto 2 (cont.)