matematica

1. Matemática para los
Negocios I
Relaciones y Funciones

2. Logro de la sesión
Resuelve problemas de aplicación a la economía, en
contextos intramatemáticos y extramatemáticos,
aplicando los modelos de relaciones y funciones en
forma correcta.

3. Producto Cartesiano
𝐀𝐱𝐁 = 𝒂, 𝒃 / 𝒂 ∈ 𝑨 ∧ 𝒃 ∈ 𝐁
Sea 𝐀 = 𝟐, 𝟓, 𝟔 y 𝐁 = 𝟒, 𝟗
𝐀𝐱𝐁 = 𝟐, 𝟒 , 𝟐, 𝟗 , 𝟓, 𝟒 , 𝟓, 𝟗 , 𝟔, 𝟒 , 𝟔, 𝟗
𝐁𝐱𝐀 = 𝟒, 𝟐 , 𝟒, 𝟓 , 𝟒, 𝟔 , 𝟗, 𝟐 , 𝟗, 𝟓 , 𝟗, 𝟔

4. Relaciones
Se llama relación binaria de A en B o relación entre elementos de A y
B a todo subconjunto R del producto cartesiano 𝐀𝐱𝐁
Sea 𝐀 = 𝟏, 𝟑, 𝟓 y 𝐁 = 𝟐, 𝟒 , de donde
𝐀𝐱𝐁 = 𝟏, 𝟐 , 𝟏, 𝟒 , 𝟑, 𝟐 , 𝟑, 𝟒 , 𝟓, 𝟐 , 𝟓, 𝟒
Relación: 𝐑 = 𝒂, 𝒃 𝛜 𝐀𝐱𝐁 / 𝒂 + 𝒃 = 𝟓
𝐑 = 𝟏, 𝟒 , 𝟑, 𝟐

5. Ejemplos explicativos
Ejercicio 1
Dados los conjuntos 𝐀 = 𝟐, 𝟔 y 𝐁 = 𝟏, 𝟒, 𝟓 , determine la
relación 𝐑 = 𝒂, 𝒃 𝛜 𝐀𝐱𝐁 / 𝒂 + 𝒃 ≤ 𝟗
Resolución
𝐀𝐱𝐁 = 𝟐, 𝟏 , 𝟐, 𝟒 , 𝟐, 𝟓 , 𝟔, 𝟏 , 𝟔, 𝟒 , 𝟔, 𝟓
𝟐, 𝟏 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝟐 + 𝟏 ≤ 𝟗 ; 𝟐, 𝟒 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝟐 + 𝟒 ≤ 𝟗
𝟐, 𝟓 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝟐 + 𝟓 ≤ 𝟗 ; 𝟔, 𝟏 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝟔 + 𝟏 ≤ 𝟗
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐑 = 𝟐, 𝟏 , 𝟐, 𝟒 , 𝟐, 𝟓 , 𝟔, 𝟏

6. Funciones
𝐏𝐚𝐫 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐨
𝐅 = 𝟎, 𝟏 , 𝟐, 𝟓 , 𝟑, 𝟕 , 𝟒, 𝟗 , 𝟏𝟏, 𝟐𝟑
𝐃𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨: 𝐃𝐨𝐦 𝐅 = 𝟎, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟏𝟏
𝐑𝐚𝐧𝐠𝐨: 𝐑𝐚𝐧 𝐅 = 𝟏, 𝟓, 𝟕, 𝟗, 𝟐𝟑

7. Observación:
𝐀 𝐜𝐚𝐝𝐚 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 "x" 𝐥𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐮𝐧 ú𝐧𝐢𝐜𝐨 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞 "𝒚"
• Dado el conjunto de pares ordenados 𝐅 = 𝟎, 𝟑 , 𝟓, 𝟖
𝑺𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆: 𝐅 𝟎 = 𝟑 , 𝐅 𝟓 = 𝟖 "𝐅" Si es una función
• Dado el conjunto de pares ordenados 𝐆 = 𝟔, 𝟏 , 𝟔, 𝟗
𝑺𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆: 𝐆 𝟔 = 𝟏 , 𝐆 𝟔 = 𝟗 "𝐆" No es una función
• Dado el conjunto de pares ordenados 𝐇 = 𝟐, 𝟓 , 𝟐, 𝒏
𝑺𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆: 𝐇 𝟐 = 𝟓 , 𝐇 𝟐 = 𝒏 , 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 "𝐇" sea función, "n" debe ser 5

8. Ejemplos explicativos
Ejercicio 2
Dada la función 𝐅 = 𝟑, 𝟐 , 𝟓, 𝒏 − 𝟔 , 𝒏, 𝟕 , 𝟓, 𝟐 − 𝒏
Calcule la suma de elementos de su dominio
Resolución
Para que sea función, se cumple 𝟓, 𝒏 − 𝟔 = 𝟓, 𝟐 − 𝒏
𝐧 − 𝟔 = 𝟐 − 𝐧 de donde 𝟐𝐧 = 𝟖 luego 𝐧 = 𝟒
𝐇 = 𝟑, 𝟐 , 𝟓, −𝟐 , 𝟒, 𝟕 , 𝟓, −𝟐 , 𝐇 = 𝟑, 𝟐 , 𝟓, −𝟐 , 𝟒, 𝟕
𝐃𝐨𝐦(𝐇) = 𝟑, 𝟓, 𝟒
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝟏𝟐

9. Ejemplos explicativos
Ejercicio 3
Dada la función 𝐅 = 𝟏, 𝒏 , 𝟑, 𝟒 , 𝟏, 𝒏𝟐
− 𝟔 , 𝒏, 𝟖 , 𝟕, 𝟖 − 𝒏
Calcule la suma de elementos de su rango
Resolución
Para que sea función, se cumple 𝟏, 𝒏 = 𝟏, 𝒏𝟐 − 𝟔
𝐧 = 𝒏𝟐 − 𝟔 de donde 𝟎 = 𝒏𝟐 − 𝒏 − 𝟔 luego 𝐧 = 𝟑 ó 𝐧 = −𝟐
Para 𝐧 = 𝟑 𝐅 = 𝟏, 𝟑 , 𝟑, 𝟒 , 𝟏, 𝟑 , 𝟑; 𝟖 , 𝟕, 𝟓 No es función
Para 𝐧 = −𝟐 𝐅 = 𝟏, −𝟐 , 𝟑, 𝟒 , 𝟏, −𝟐 , −𝟐, 𝟖 , 𝟕, 𝟏𝟎 Si es función
𝐑𝐚𝐧(𝐅) = −𝟐, 𝟒, 𝟖, 𝟏𝟎
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝟐𝟎

10. Regla de correspondencia de una función
𝒚 = 𝒇 𝒙
𝒙, 𝒚 𝛜 𝒇
𝒙: 𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐
𝒚: 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐
Observación
•
𝒑𝒂𝒓
𝒙 se cumple 𝒙 ≥ 𝟎
•
𝒙
𝒙−𝒏
se cumple 𝒙 − 𝒏 ≠ 𝟎 de donde 𝒙 ≠ 𝒏

11. Ejemplos explicativos
Ejercicio 4
Determine el dominio de la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟓 +
𝒙
𝒙−𝟔
Resolución
• Para que exista 𝟑𝒙 − 𝟓
𝟑𝒙 − 𝟓 ≥ 𝟎 de donde 𝟑𝒙 ≥ 𝟓 luego 𝒙 ≥ 𝟓/𝟑
• Para que exista
𝒙
𝒙−𝟔
𝒙 − 𝟔 ≠ 𝟎 luego 𝒙 ≠ 𝟔
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐃𝐨𝐦 𝐟 =
𝟓
𝟑
; +∞ − 𝟔

12. Ejemplos explicativos
Ejercicio 5
Determine el dominio de la función
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 + 𝟏𝟓 − 𝒙
Resolución
• Para que exista 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟎
𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 ≥ 𝟎 de donde 𝒙 − 𝟐 𝒙 − 𝟏𝟎 ≥ 𝟎
luego 𝒙𝝐 −∞, 𝟐 ∪ 𝟏𝟎, +∞
• Para que exista 𝟏𝟓 − 𝒙
𝟏𝟓 − 𝒙 ≥ 𝟎 de donde 𝟏𝟓 ≥ 𝒙 luego 𝒙𝝐 −∞, 𝟏𝟓
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐃𝐨𝐦 𝐟 = −∞, 𝟐 ∪ 𝟏𝟎; 𝟏𝟓

13. Ejemplos explicativos
Ejercicio 6
Determine el dominio de la función
𝒇(𝒙) =
𝟏𝟐
𝒙𝟐−𝒙−𝟔
+
𝒙−𝟖
𝟒
− 𝟏𝟔
Resolución
• Para que exista
𝟏𝟐
𝒙𝟐−𝒙−𝟔
𝒙𝟐
− 𝒙 − 𝟔 ≠ 𝟎 de donde 𝒙 − 𝟑 𝒙 + 𝟐 ≠ 𝟎
luego 𝒙 ≠ 𝟑, −𝟐
• Para que exista
𝒙−𝟖
𝟒
, "𝒙" puede tomar cualquier valor real
• Para que exista −𝟏𝟔 , "𝒙" puede tomar cualquier valor real
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐃𝐨𝐦 𝐟 = 𝐑 − 𝟑, −𝟐

14. Diferencia gráfica entre una relación y una función
Función: Una recta vertical corta a la gráfica solo en un punto
Relación: Una recta vertical corta a la gráfica en más de un punto

15. Función lineal
𝒇 𝒙 = 𝐦𝒙 + 𝐛
𝐃𝐨𝐦(𝒇) = −∞, +∞
𝐑𝐚𝐧(𝒇) = −∞, +∞

16. Función cuadrática
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
𝐃𝐨𝐦(𝒇) = −∞, +∞
𝐕é𝐫𝐭𝐢𝐜𝐞 𝒉, 𝒌
𝒉 = −
𝒃
𝟐𝒂
𝒌 = 𝒇(𝒉)

17. Función constante
𝒇 𝒙 = 𝐤 , 𝐤 𝐞𝐬 𝐮𝐧𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞
𝐃𝐨𝐦(𝒇) = −∞, +∞
𝐑𝐚𝐧(𝒇) = 𝒌

18. Aplicaciones a la economía
Luego de 3 años de funcionamiento, una empresa tuvo 240 colaboradores, y luego
de 6 años de funcionamiento tuvo 375 colaboradores. Además, se sabe que cada año
la cantidad de colaboradores aumenta en forma lineal. Calcule después de cuántos
años de funcionamiento, la empresa tendrá 915 colaboradores.
Resolución
𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍: 𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒃
𝒙: 𝒂ñ𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒇(𝒙): 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒍𝒂𝒃𝒐𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔
Luego de 3 años: 𝒇 𝟑 = 𝒎 𝟑 + 𝒃 = 𝟐𝟒𝟎
Luego de 6 años: 𝒇 𝟔 = 𝒎 𝟔 + 𝒃 = 𝟑𝟕𝟓
𝟑𝒎 + 𝒃 = 𝟐𝟒𝟎
𝟔𝒎 + 𝒃 = 𝟑𝟕𝟓
de donde 𝒎 = 𝟒𝟓 , 𝒃 = 𝟏𝟎𝟓 Luego 𝒇 𝒙 = 𝟒𝟓𝒙 + 𝟏𝟎𝟓
Condición: 𝒇 𝒙 = 𝟒𝟓𝒙 + 𝟏𝟎𝟓 = 𝟗𝟏𝟓 de donde 𝟒𝟓𝒙 = 𝟖𝟏𝟎
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟖 𝒂ñ𝒐𝒔

19. Aplicaciones a la economía
Una empresa produce 𝒒 toneladas de alimento a un costo unitario de
$300 la tonelada, con un costo fijo de $7000 diarios. Además, el precio
de cada tonelada de alimento se determina según 𝒑 = 𝟕𝟎𝟎 − 𝒒, donde
𝒑 es el precio de venta en dólares de cada tonelada de alimento
cuando se demanden 𝒒 toneladas. Calcule el precio al que se debe
vender la tonelada de alimento para que la empresa obtenga una
utilidad diaria de $23000.
Resolución
𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨: 𝐂 = 𝟑𝟎𝟎𝐪 + 𝟕𝟎𝟎𝟎
𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨: 𝐈 = 𝟕𝟎𝟎 − 𝐪 𝐪 de donde 𝐈 = −𝒒𝟐 + 𝟕𝟎𝟎𝒒
𝐔𝐭𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝: 𝐔 = −𝒒𝟐
+ 𝟕𝟎𝟎𝒒 − 𝟑𝟎𝟎𝐪 + 𝟕𝟎𝟎𝟎
𝐔 = −𝒒𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝒒 − 𝟕𝟎𝟎𝟎

20. Aplicaciones a la economía
Condición 𝐔 = −𝒒𝟐
+ 𝟒𝟎𝟎𝒒 − 𝟕𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎
De donde 𝟎 = 𝒒𝟐
− 𝟒𝟎𝟎𝒒 + 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 , luego 𝒒 = 𝟑𝟎𝟎 ó 𝒒 = 𝟏𝟎𝟎
Para 𝒒 = 𝟑𝟎𝟎 el precio de venta será 𝒑 = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟑𝟎𝟎 = 𝟒𝟎𝟎
Para 𝒒 = 𝟏𝟎𝟎 el precio de venta será 𝒑 = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎 = 𝟔𝟎𝟎
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐄𝐥 𝐩𝐫𝐞𝐜𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝐯𝐞𝐧𝐭𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐭𝐨𝐧𝐞𝐥𝐚𝐝𝐚 𝐝𝐞 𝐚𝐥𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐬𝐞𝐫á 𝐝𝐞 𝟒𝟎𝟎 ó 𝟔𝟎𝟎 𝐝𝐨𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬

21. Conclusiones:
• Una función es una relación, pero una relación no
necesariamente es una función.
• Para reconocer gráficamente a una función se traza una
recta vertical, la cual debe cortar a la gráfica en un solo
punto.
• Una función lineal tiene por gráfica a una recta.
• La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
• La gráfica de una función constante es una recta
horizontal.

22. Tarea de la semana 9
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