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- 1. Principio de Inducción Matemática y Sumatorias. Para principiantes. Ejercicios Resueltos Por: Jonathan Miguel Mendoza Versión Preliminar
- 2. Ejercicio #1: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + … . + 𝒏 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 𝑷 𝟏 : 𝟏 = 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟐 𝑷 𝒌 : 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + … . +𝒌 = 𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 Verdadero Base de inducción Hipótesis de inducción 𝑷 𝒌 + 𝟏 : 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + … . + 𝒌 + (𝒌 + 𝟏) = (𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟏 + 𝟏 𝟐 𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 Por Hipótesis de inducción Prueba Paso inductivo: 𝑷(𝒌) ⇒ 𝑷(𝒌 + 𝟏)
- 3. 𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 + 𝒌 + 𝟏 =? (𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝒌 + 𝟏 =? (𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝒌 𝒌 + 𝟏 + 𝟐(𝒌 + 𝟏) 𝟐 =? (𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝒌 + 𝟏 (𝒌 + 𝟐) 𝟐 = (𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 L.C.Q.D. ■
- 4. Ejercicio #2: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟑 + 𝟔 + 𝟗 + … . +𝟑𝒏 = 𝟑𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 𝑷 𝟏 : 𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟐 = 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 Verdadero Base de la inducción 𝑷 𝒌 : 𝟑 + 𝟔 + 𝟗 + … . +𝟑𝒌 = 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 Hipotesis de inducción 𝑷 𝒌 + 𝟏 : 𝟑 + 𝟔 + 𝟗 + … . + 𝟑𝒌 + 𝟑(𝒌 + 𝟏) = 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟏 + 𝟏 𝟐 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 Por Hipótesis de inducción Prueba Paso inductivo: 𝑷(𝒌) ⇒ 𝑷(𝒌 + 𝟏)
- 5. 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝒌 + 𝟏 =? 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 𝟐 𝒌 + 𝟏 =? 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 + 𝟔 𝟐 𝒌 + 𝟏 =? 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 + 𝟔(𝒌 + 𝟏) 𝟐 =? 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝒌 + 𝟏 (𝟑𝒌 + 𝟔) 𝟐 =? 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐
- 6. 𝒌 + 𝟏 (𝟑𝒌 + 𝟔) 𝟐 =? 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝟑 𝒌 + 𝟏 (𝒌 + 𝟐) 𝟐 = 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 L.C.Q.D. ■ Ejercicio #3. Demostrar por inducción, que si η es impar, 𝟕𝜼 + 𝟏 es divisible por 8. Prueba Antes de aplicar el proceso inductivo conviene hacer algunos cambios, en particular cambiar el índice: 𝜼 = 𝟐𝒊 − 𝟏
- 7. Luego, si 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … 𝜼 = 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, … y el enunciado se transforma en: 𝟕 𝟐𝒊−𝟏 + 𝟏 es divisible por 8, ∀𝒊 ∈ 𝑵 Ahora hemos preparado el enunciado para aplicarle el proceso inductivo: 𝟕𝟐𝒊−𝟏 + 𝟏 es divisible por 8 ⇒ 𝟖| 𝟕𝟐𝒊−𝟏 + 𝟏 𝟖| 𝟕𝟐𝒊−𝟏 + 𝟏 ⇒ 𝟕𝟐𝒊−𝟏 + 𝟏 = 𝟖𝒌 Verdadero, Base de inducción 𝑷 𝟏 : 𝟖| 𝟕𝟐(𝟏)−𝟏 + 𝟏 ⇒ 𝟕𝟐(𝟏)−𝟏 + 𝟏 = 𝟖(𝟏)
- 8. Hipótesis de inducción 𝑷 𝒌 : 𝟖| 𝟕𝟐𝒌−𝟏 + 𝟏 ⇒ 𝟕𝟐𝒌−𝟏 + 𝟏 = 𝟖𝒌 Paso inductivo: 𝑷(𝒌) ⇒ 𝑷(𝒌 + 𝟏) ⇒ 𝟕𝟐𝒌−𝟏 + 𝟏 = 𝟖𝒌 ⇒ (𝟕𝟐𝒌−𝟏 + 𝟏)(𝟕𝟐) = 𝟖𝒌(𝟕𝟐) ⇒ 𝟕𝟐𝒌+𝟏 + 𝟕𝟐 = 𝟖 (𝟕𝟐𝒌) ⇒ 𝟕𝟐𝒌+𝟏 + 𝟒𝟗 − 𝟒𝟖 = 𝟖 𝟕𝟐 𝒌 − 𝟒𝟖 ⇒ 𝟕𝟐𝒌+𝟏 + 𝟏 = 𝟖 𝟕𝟐 𝒌 − 𝟔 Si hacemos que: 𝟕𝟐𝒌 − 𝟔 = 𝑲
- 9. ⇒ 𝟕𝟐𝒌+𝟏 + 𝟏 = 𝟖𝑲 ⇒ 𝟖| 𝟕𝟐𝒌+𝟏 + 𝟏 : 𝑷 𝒌 + 𝟏 ⇒ 𝟕𝟐𝒌+𝟏 + 𝟏 es divisible por 8. L.C.Q.D. ■ Por el principio de inducción matemática, concluimos que: 𝟕𝟐𝒊−𝟏 + 𝟏 es divisible por 8, ∀𝒊 ≥ 𝟏 Así, concluimos que 𝟕𝜼 + 𝟏 es divisible por 8, ∀𝜼 ∈ 𝑵 𝒚 𝜼 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
- 10. Probaremos por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗, 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝟗|(𝟏𝟎𝒏 − 𝟏) 𝑷 𝟏 : 𝟏𝟎𝟏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗 Verdadero, Base de inducción 𝑷 𝒌 : 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗 Hipótesis de inducción 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗 ⇒ 𝟗| 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 𝟗| 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 ⇒ 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 = 𝟗𝐊 PRUEBA: Paso inductivo: 𝑷(𝒌) ⇒ 𝑷(𝒌 + 𝟏)
- 11. 𝟗| 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 ⇒ 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 = 𝟗𝐊 ⇒ 𝟏𝟎𝐤 − 𝟏 (𝟏𝟎) = 𝟗𝐊(𝟏𝟎) ⇒ 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏𝟎 + 𝟗 = 𝟗 𝟏𝟎𝐊 + 𝟗 ⇒ 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 = 𝟗(𝟏𝟎𝐊 + 𝟏) Si hacemos que: 𝟏𝟎𝐊 + 𝟏 = 𝑲∗ ⇒ 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 = 𝟗𝐊∗ ⇒ 𝟗| 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 ⇒ 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 es divisible por 9. Usando la Hipótesis de inducción
- 12. 𝟗| 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 ⇒ 𝟗| 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 L.C.Q.D. ■ ⇒ 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 es divisible por 9. Por el principio de inducción matemática, concluimos que: 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 es divisible por 9, ∀𝒏 ≥ 𝟏
- 13. Probaremos por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟖𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟕 𝟕| 𝟖𝒏 − 𝟏 ⇒ 𝟖𝒏 − 𝟏 = 𝟕𝑪; 𝑪 ∈ 𝑵 𝟏) 𝟕| 𝟖𝟏 − 𝟏 ⇒ 𝟖𝟏 − 𝟏 = 𝟕(𝟏) Verdadero, Base de inducción 𝟐) 𝟕| 𝟖𝒌 − 𝟏 ⇒ 𝟖𝒌 − 𝟏 = 𝟕𝑪 Hipótesis de inducción 𝟑) ⇒ (𝟖𝒌 − 𝟏)(𝟖) = 𝟕𝑪(𝟖) 𝟒) ⇒ 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟖 + 𝟕 = 𝟕 𝟖𝑪 + 𝟕 𝟓) ⇒ 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏 = 𝟕(𝟖𝑪 + 𝟏) PRUEBA: Paso inductivo: 𝑷(𝒌) ⇒ 𝑷(𝒌 + 𝟏)
- 14. 𝟔) 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏 = 𝟕 𝟖𝑪 + 𝟏 ⇒ 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏 = 𝟕𝑪∗ 𝟕) ⇒ 𝟕|(𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏) 𝟖) 𝟕|(𝟖𝒌 − 𝟏) ⇒ 𝟕|(𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏) 𝟗) 𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒚𝒆 𝒒𝒖𝒆: 𝟖𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟕, ∀𝒏 ≥ 𝟏 L.C.Q.D. ■
- 15. Propiedad de la Sumatoria. n i = 1 [xi – xi – 1 ] = [x1 – x0 ] + [x2 – x1 ] + [x3 – x2 ] + [x4 – x3 ] + … + [xn – 1 – xn – 2] + [xn – xn – 1] = – x0 + xn = xn – x0 n i = 1 [xi – xi – 1 ] = xn – x0 Propiedad telescópica
- 16. Demostrar por inducción la Propiedad telescópica 𝐢=𝟏 𝐧 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 = 𝐱𝐧+𝟏 − 𝐱𝟏 Prueba. Como la sumatoria esta definida podemos escribir: 𝐢=𝐦 𝐧 𝐱𝐢 ; 𝐧 ≥ 𝐦 Base inductiva; n = 1 𝐢=𝟏 𝟏 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 = 𝐱𝟐 − 𝐱𝟏
- 17. Hipótesis inductiva; n = k 𝐢=𝟏 𝐤 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 = 𝐱𝐤+𝟏 − 𝐱𝟏 Paso inductivo; 𝒏 = 𝒌 + 𝟏; 𝑷(𝒌) ⇒ 𝑷(𝒌 + 𝟏) 𝐢=𝟏 𝐤 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 + 𝐢=𝐤+𝟏 𝐤+𝟏 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 = 𝐢=𝟏 𝐤+𝟏 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 Usando la hipótesis inductiva del lado izquierdo resulta
- 18. (𝐱𝐤+𝟏 − 𝐱𝟏) + 𝐱𝐤+𝟏+𝟏 − 𝐱𝐤+𝟏 = 𝐢=𝟏 𝐤+𝟏 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 −𝐱𝟏 + 𝐱(𝐤+𝟏)+𝟏 = 𝐢=𝟏 𝐤+𝟏 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 𝐱(𝐤+𝟏)+𝟏 − 𝐱𝟏 = 𝐢=𝟏 𝐤+𝟏 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 Por el principio de inducción matemática, concluimos que la fórmula es cierta para todo 𝒏 ≥ 𝟏. ■
- 19. 𝐢=𝟏 𝐧 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 = 𝐱𝐧+𝟏 − 𝐱𝟏 ; 𝐧 ≥ 𝟏 Propiedad telescópica La Propiedad telescópica también es válida para 𝐧 ≥ 𝟎 esto es: 𝐢=𝟎 𝐧 𝐱𝐢+𝟏 − 𝐱𝐢 = 𝐱𝐧+𝟏 − 𝐱𝟎 ; 𝐧 ≥ 𝟎
- 20. 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 Demostrar la siguientes propiedad de la sumatoria: Prueba: Por la propiedad algebraica 𝒊 + 𝟏 𝟐 = 𝒊𝟐 + 𝟐𝒊 + 𝟏, sabemos que: 𝟐𝒊 + 𝟏 = 𝒊 + 𝟏 𝟐 − 𝒊𝟐 de donde 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒊 + 𝟏 𝟐 − 𝒊𝟐 − 𝟏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 𝟐 𝒊 + 𝟏 𝟐 − 𝒊𝟐 − 𝟏 Así, 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟐 − 𝒊𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 Por la propiedad de linealidad de la sumatoria
- 21. De donde resulta, 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟐 − 𝒊𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒏 por la propiedad de la sumatoria de una constante. De igual modo, por la propiedad telescópica de la sumatoria tenemos: 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒏 Reescribiendo resulta que, 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 (𝒏 + 𝟏)
- 22. Factorizando por factor común resulta: 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝒏 + 𝟏 − 𝟏 Simplificando y organizando tenemos: 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒏 𝒏 + 𝟏 ⇔ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 L.C.Q.D. ■
- 23. 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 (𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟔 Demostrar la siguientes propiedad de la sumatoria: Prueba: Por la propiedad algebraica 𝒊 + 𝟏 𝟑 = 𝒊𝟑 + 𝟑𝒊𝟐 + 𝟑𝒊 + 𝟏, sabemos que: 𝟑𝒊𝟐 = 𝒊 + 𝟏 𝟑 − 𝒊𝟑 + 𝟑𝒊 + 𝟏 de donde 𝒊𝟐 = 𝟏 𝟑 𝒊 + 𝟏 𝟑 − 𝒊𝟑 + 𝟑𝒊 + 𝟏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 𝟑 𝒊 + 𝟏 𝟑 − 𝒊𝟑 + 𝟑𝒊 + 𝟏
- 24. 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝟏 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟑 − 𝒊𝟑 − 𝟏 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝟑𝒊 + 𝟏 Así, Por la propiedad de linealidad de la sumatoria De donde resulta, 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝟏 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟑 − 𝒊𝟑 − 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 por la propiedad distributiva y linealidad de la sumatoria.
- 25. 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝟏 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟑 − 𝒊𝟑 − 𝟑 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝒏 De modo que aplicando la propiedad de la sumatoria de una constante y la propiedad previamente demostrada, resulta que: 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 Ahora aplicando la propiedad telescópica resulta,
- 26. 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝟏 𝟑 𝒏 + 𝟏 𝟑 − 𝟏 − 𝟑 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝒏 Reescribiendo resulta que, 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝟏 𝟑 𝒏 + 𝟏 𝟑 − 𝟑 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝒏 + 𝟏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝟏 𝟔 𝒏 + 𝟏 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝟑𝒏 − 𝟐
- 27. Simplificando y factorizando por factor común resulta: 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝟏 𝟔 𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏𝟐 + 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝟏 𝟔 𝒏 + 𝟏 𝒏 𝟐𝒏 + 𝟏 Organizando tenemos: 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟔 L.C.Q.D. ■