pfm

2. En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange es un
procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas
a restricciones.
Pasos a seguir:
Reconocer la función que se desea optimizar.
Ejemplo: 𝒇 𝒙, 𝒚
Luego encontrar la función restricción.
Ejemplo: 𝒈 𝒙, 𝒚
Luego construir la función de Lagrange de la siguiente manera:
𝐿 𝑥, 𝑦, 𝛾 = 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝛾(𝑔 𝑥, 𝑦

3. Luego realizar las derivadas parciales de la función de Lagrange e igualarlos a
cero para hallar los puntos máximos y mínimos. Para saber cuáles puntos son
máximos y mínimos realizar el hessiano orlado si la función restricción no es
cerrada de lo contrario remplazar los puntos críticos en la función donde el
resultado nos indicara si es punto máximo o minino.
Ejemplo:
Use los multiplicadores de Lagrange para calcular el(los) valores maximos de
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙 + 𝟐𝒚 𝟐
intersectado con la circunferencia 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟏
Solución:
𝒈 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟏
Construir la función de Lagrange:
𝑳 𝒙, 𝒚, 𝜸 = 𝒇 𝒙, 𝒚 + 𝜸(𝒈 𝒙, 𝒚 )
𝑳 𝒙, 𝒚, 𝜸 = 𝒙 + 𝟐𝒚 𝟐
+ 𝜸(𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟏)

4. Puntos críticos Función 𝐟 𝐱, 𝐲 = 𝐱 + 𝟐𝐲 𝟐
𝟏
𝟒
;
𝟏𝟓
𝟏𝟔
2.125
𝟏
𝟒
; −
𝟏𝟓
𝟏𝟔
2.125
𝟏; 𝟎 1
−𝟏; 𝟎 -1
Derivamos parcialmente:
Lx=1+2xγ=0
Ly=4y+2yγ=0
Lγ=x2+y2-1=0
Desarrollamos el sistema de ecuaciones:
𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝟎
𝟒𝒚 + 𝟐𝒚𝜸 = 𝟎
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
Resolviendo obtenemos los siguientes puntos críticos:
𝟏
𝟒
;
𝟏𝟓
𝟏𝟔
;
𝟏
𝟒
; −
𝟏𝟓
𝟏𝟔
; 1; 0 ; −1; 0
Como la restricción es una curva cerrada se evalúan los puntos críticos en la función

5. ∴ 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔
𝟏
𝟒
;
𝟏𝟒
𝟏𝟔
y
𝟏
𝟒
; −
𝟏𝟒
𝟏𝟔
Ahora desarrollaremos el mismo problema pero por el método del hessiano orlado
Los pasos son los mismos hasta antes de hacer el cuadro, pues es ahí donde se realiza la derivada
de segundo orden para poder armar una determinante para cada punto crítico.
Resolvemos la derivada de segundo orden para la función de Lagrange y de primer orden para la
restricción:
𝑳 𝒙𝒙 = 𝟐𝜸 = −𝟒
𝑳 𝒚𝒚 = 𝟒 + 𝟐𝜸 = 𝟎
𝑳 𝒙𝒚 = 𝟎
𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙
𝒈 𝒚 = 𝟐𝒚
La determinante debe estar formada de la siguiente forma:
𝒅 =
𝟎 𝒈 𝒙 𝒈 𝒚
𝒈 𝒙 𝑳 𝒙𝒙 𝑳 𝒚𝒙
𝒈 𝒚 𝑳 𝒙𝒚 𝑳 𝒚𝒚

6. Hallamos la determinante para el punto crítico
𝟏
𝟒
;
𝟏𝟓
𝟏𝟔
.
𝒅 =
𝟎
𝟏
𝟐
√𝟏𝟓
𝟐
𝟏
𝟐
−𝟒 𝟎
√𝟏𝟓
𝟐
𝟎 𝟎
𝒅 = 𝟏𝟓 ∴ el punto crítico
𝟏
𝟒
;
𝟏𝟓
𝟏𝟔
es un punto máximo
Hallamos la determinante para el punto crítico
𝟏
𝟒
; −
𝟏𝟓
𝟏𝟔
.
𝒅 =
𝟎
𝟏
𝟐
−
√𝟏𝟓
𝟐
𝟏
𝟐
−𝟒 𝟎
−√𝟏𝟓
𝟐
𝟎 𝟎
𝒅 = 𝟏𝟓 ∴ el punto crítico
𝟏
𝟒
; −
𝟏𝟓
𝟏𝟔
es un punto máximo

7. Hallamos la determinante para el punto crítico 𝟏; 𝟎 .
𝒅 =
𝟎 𝟏 𝟎
𝟏 𝟐 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎
𝒅 = 𝟎 no definido
Hallamos la determinante para el punto crítico −𝟏; 𝟎 .
𝒅 = −
𝟎 −𝟏 𝟎
𝟏 𝟐 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎
𝒅 = 𝟎 no definido