tarea de informe matematico III

1. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
a.- Función Homogénea: Diremos que la función 𝒇(𝒙,𝒚) es homogénea de grado
𝒌, 𝒙 e 𝒚 , sí y solo si, cumple la condición siguiente:
Ejemplos: Determinar cuál de las funciones son homogéneas.
1.- 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚𝟐
− 𝒚𝒙𝟐
𝒕𝒈(
𝒙
𝒚
) es homogénea de grado 3 en 𝑥 e 𝑦.
2.- 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚 + 𝒙𝟐
es homogénea de grado 2 en 𝑥 e 𝑦.
3.- 𝒇(𝒙, 𝒚) = √𝒙𝟒 − 𝒚𝟒
𝟒
es homogénea de grado 1 en 𝑥 e 𝑦.
4.- 𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝒙𝟐
+𝒚𝟐
𝒙𝒚
es homogénea de grado 0 en 𝑥 e 𝑦.
5.- 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝒙𝒚𝟐
+ 𝒚𝒔𝒆𝒏𝒙 no es homogénea.
6.- 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆𝒙
no es homogénea.
b.- Definición:
Diremos que una ecuación diferencial de primer orden y primer grado de
la forma:
𝑴(𝒙,𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
Es homogénea si 𝑴(𝒙,𝒚) y 𝑵(𝒙, 𝒚) son homogéneas del mismo grado en 𝒙 e
𝒚.
Ejemplo. Las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias son
homogéneas.
1.- (𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐)𝒅𝒙 + 𝒙𝒚𝒅𝒚 = 𝟎
2.- (𝒙𝟑
+ 𝒚𝟐
√𝒙𝟑 − 𝒚𝟑
𝟑
)𝒅𝒙 + 𝒙𝒚√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐𝒅𝒚 = 𝟎
3.- (𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
− 𝒙𝒚 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(
𝒚
𝒙
))𝒅𝒙 − 𝒙𝟐
𝒄𝒐𝒔 (
𝒚
𝒙
)𝒅𝒚 = 𝟎
4.- 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚 + 𝟑𝒙𝒆
𝒙
𝒚
𝒇(𝝀𝒙, 𝝀𝒚) = 𝝀𝒌
𝒇(𝒙,𝒚)
𝑴(𝒙,𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙,𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎

2. EJEMPLO DE ECUACIÓN HOMOGÉNEA DE 2 GRADOS
EJEMPLO DE ECUACIÓN HOMOGÉNEA DE 0 GRADOS

3. c.- Solución de una ecuación diferencial homogénea.
Consideremos la ecuación diferencial homogénea.
𝑴(𝒙,𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙,𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 … (𝟏)
Entonces: {
𝑴(𝝀𝒙,𝝀𝒚) = 𝝀
𝒌
𝑴(𝒙,𝒚)
𝑵(𝝀𝒙,𝝀𝒚) = 𝝀
𝒌
𝑵(𝒙,𝒚)
… (𝟐)
Porque la ecuación (𝟏) es homogénea.
a) Haciendo 𝝀 =
𝟏
𝒙
reemplazando en la ecuación (𝟐) tenemos:
{
𝑴 (𝟏,
𝒚
𝒙
) =
𝟏
𝒙𝒌
𝑴(𝒙,𝒚)
𝑵(𝟏,
𝒚
𝒙
) =
𝟏
𝒙𝒌
𝑵(𝒙,𝒚)
⇒
𝑴(𝒙,𝒚) = 𝒙𝒌
𝑴 (𝟏,
𝒚
𝒙
)
𝑵 (𝒙,𝒚) = 𝒙𝒌
𝑵(𝟏,
𝒚
𝒙
)
Si 𝒖 =
𝒚
𝒙
reemplazando en: 𝑴(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒌
𝑴(𝟏,
𝒚
𝒙
) = 𝒙𝒌
𝝋(𝒖)
Es decir: 𝑴(𝒙,𝒚) = 𝒙𝒌
𝝋(𝒖) …(𝟑)
Si 𝒖 =
𝒚
𝒙
reemplazando en: 𝑵(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒌
𝑵(𝟏,
𝒚
𝒙
) = 𝒙𝒌
𝝍(𝒖)
Es decir: 𝑴(𝒙,𝒚) = 𝒙𝒌
𝝍(𝒖) … (𝟒)
Como 𝒚 = 𝒖𝒙 entonces: 𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒙 …(𝟓)
Reemplazando (𝟑), (𝟒) y (𝟓) en (𝟏) tenemos:
𝒙𝒌
𝝋(𝒖)𝒅𝒙 + 𝒙𝒌
𝝍(𝒖)(𝒙𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒙 ) = 𝟎
𝒙𝒌
𝝋(𝒖)𝒅𝒙 + 𝒙𝒌+𝟏
𝝍(𝒖)𝒅𝒖 + 𝒙𝒌
𝝍(𝒖)𝒖𝒅𝒙 = 𝟎
𝒙𝒌[𝝋(𝒖) + 𝝍(𝒖)𝒖]𝒅𝒙 + 𝒙𝒌+𝟏
𝝍(𝒖)𝒅𝒖 = 𝟎
𝒅𝒙
𝒙
+
𝝍(𝒖)
𝝋(𝒖) + 𝝍(𝒖)𝒖
𝒅𝒖 = 𝟎
Es una ecuación diferencial de variable separable.
∫
𝒅𝒙
𝒙
+ ∫
𝝍(𝒖)
𝝋(𝒖) + 𝝍(𝒖)𝒖
𝒅𝒖 = 𝒄
Análogamente se hace 𝝀 =
𝟏
𝒚
; 𝒖 =
𝒙
𝒚

4. Desarrolle las siguientes ecuaciones diferenciales
1. Resolver: (𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝒅𝒙 + 𝒙𝒚𝒅𝒚 = 𝟎
Sea 𝒚 = 𝒖𝒙 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒙 reemplazando en la ecuación diferencial se
tiene.
(𝟐𝒙𝟐 + 𝒖𝟐𝒙𝟐)𝒅𝒙 + 𝒖𝒙𝟐(𝒙𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒙) = 𝟎
𝟐𝒙𝟐(𝟏+ 𝒖𝟐)𝒅𝒙+ 𝒖𝒙𝟑𝒅𝒖 = 𝟎
𝟐
𝒅𝒙
𝒙
+
𝒖
𝟏 + 𝒖𝟐 𝒅𝒖 = 𝟎
𝟐∫
𝒅𝒙
𝒙
+ ∫
𝒖
𝟏 + 𝒖𝟐 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏|𝒄|
𝟐𝒍𝒏|𝒙| +
𝟏
𝟐
𝒍𝒏|𝟏+ 𝒖𝟐| = 𝒍𝒏|𝒄|
𝒙𝟒(𝟏+ 𝒖𝟐) = 𝒌
∴ 𝒙𝟐(𝟏+ 𝒚𝟐) = 𝒌
2. Resolver: 𝒙𝒅𝒚 = (𝒚 + √𝒙𝟐 − 𝒚𝟐)𝒅𝒙
Se expresa la ecuación: (𝒚 + √𝒙𝟐 − 𝒚𝟐)𝒅𝒙 − 𝒙𝒅𝒚= 𝟎
Sea 𝒚 = 𝒖𝒙 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒙 reemplazando en la ecuación diferencial se
tiene.
(𝒖𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝒖𝟐𝒙𝟐 )𝒅𝒙 − 𝒙(𝒙𝒅𝒖+ 𝒖𝒅𝒙) = 𝟎
𝒙 √𝟏 − 𝒖𝟐 𝒅𝒙 − 𝒙𝟐𝒅𝒖 = 𝟎
𝒅𝒙
𝒙
−
𝒅𝒖
√𝟏 − 𝒖𝟐
= 𝟎
∫
𝒅𝒙
𝒙
− ∫
𝒅𝒖
√𝟏 − 𝒖𝟐
= 𝒄
𝒍𝒏|𝒙|−
𝟏
𝟐
𝒂𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏(𝒖) = 𝒄
∴ 𝒍𝒏|𝒙|−
𝟏
𝟐
𝒂𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏(
𝒚
𝒙
) = 𝒄

5. 3. Resolver: (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚+ 𝒚𝟐)𝒅𝒙 − 𝒙𝟐𝒅𝒚 = 𝟎
Sea 𝒚 = 𝒖𝒙 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒙 reemplazando en la ecuación diferencial se
tiene.
(𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟐𝒖 + 𝒙𝟐𝒖𝟐)𝒅𝒙− 𝒙𝟐(𝒙𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒙) = 𝟎
𝒙𝟐(𝟏+ 𝟐𝒖 + 𝒖𝟐)𝒅𝒙− 𝒙𝟑𝒅𝒖 = 𝟎
𝒅𝒙
𝒙
−
𝒅𝒖
(𝟏 + 𝒖)𝟐 = 𝟎
∫
𝒅𝒙
𝒙
− ∫
𝒅𝒖
(𝟏 + 𝒖)𝟐 = 𝒄
𝒍𝒏|𝒙| + 𝟏 + 𝒖 = 𝒄
∴ 𝒍𝒏|𝒙| +
𝒙 + 𝒚
𝒙
= 𝒄
4. Resolver: 𝒙𝒔𝒆𝒏(
𝒚
𝒙
)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚𝒔𝒆𝒏(
𝒚
𝒙
) + 𝒙
Se expresa la ecuación: [𝒚𝒔𝒆𝒏 (
𝒚
𝒙
) + 𝒙] 𝒅𝒙 − 𝒙𝒔𝒆𝒏 (
𝒚
𝒙
)𝒅𝒚 = 𝟎
Sea 𝒚 = 𝒖𝒙 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒙 reemplazando en la ecuación diferencial.
(𝒖𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒖 + 𝒙)𝒅𝒙 − 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒖 (𝒙𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒙 ) = 𝟎
𝒙𝒅𝒙 − 𝒙𝟐
𝒔𝒆𝒏𝒖 𝒅𝒖 = 𝟎
𝒅𝒙
𝒙
− 𝒔𝒆𝒏𝒖 𝒅𝒖 = 𝟎
∫
𝒅𝒙
𝒙
− ∫𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒄
𝒍𝒏|𝒄𝒙| + 𝒄𝒐𝒔𝒖 = 𝟎
∴ 𝒍𝒏|𝒄𝒙| + 𝒄𝒐𝒔(
𝒚
𝒙
) = 𝟎

6. 5. Resolver: 𝒙𝟑𝒅𝒙 + (𝒚𝟑 − 𝒙𝟐𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
Sea 𝒙 = 𝒖𝒚 ⇒ 𝒅𝒙 = 𝒚𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒚 reemplazando en la ecuación diferencial.
𝒚𝟑𝒖𝟑(𝒚𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒚 ) + (𝒚𝟑 − 𝒚𝟑𝒖𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎
𝒚𝒖𝟑𝒅𝒖 + (𝒖𝟒 − 𝒖𝟐 + 𝟏)𝒅𝒚 = 𝟎
𝒖𝟑
𝒖𝟒 − 𝒖𝟐 + 𝟏
𝒅𝒖 +
𝒅𝒚
𝒚
= 𝟎
∫
(𝟏 − 𝒖𝟐)
𝒖 (𝒖𝟐 + 𝟏)
𝒅𝒖 + ∫
𝒅𝒚
𝒚
= 𝒍𝒏|𝒄|
6. Resolver: 𝟐𝒙𝒚𝒅𝒙 − (𝟑𝒙𝟐
− 𝒚𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎
Sea 𝒙 = 𝒖𝒚 ⇒ 𝒅𝒙 = 𝒚𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒚 reemplazando en la ecuación diferencial.
𝟐𝒖𝒚𝟐(𝒚𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒚 ) − (𝟑𝒖𝟐
𝒚𝟐 − 𝒚𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎
𝟐𝒖𝒚𝟑
𝒅𝒖 − 𝒚𝟐(𝒖𝟐
+ 𝟏)𝒅𝒚 = 𝟎
∫
𝟐𝒖
𝒖𝟐 + 𝟏
𝒅𝒖 − ∫
𝒅𝒚
𝒚
= 𝟎
𝒍𝒏|𝒖𝟐
+ 𝟏| = 𝒍𝒏|𝒄𝒚|
∴ 𝒚𝟐
= 𝒙𝟐(𝒄𝒚 − 𝟏)
7. Resolver: 𝒚𝒅𝒙 − (𝒙 + √𝒚𝟐 − 𝒙𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎
Sea 𝒙 = 𝒖𝒚 ⇒ 𝒅𝒙 = 𝒚𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒚 reemplazando en la ecuación diferencial.
𝒚(𝒚𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒚 ) − (𝒖𝒚 + √𝒚𝟐 − 𝒖𝟐𝒚𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎
𝒚𝟐𝒅𝒖− 𝒚 √𝟏 − 𝒖𝟐𝒅𝒚 = 𝟎
𝒅𝒖
√𝟏 − 𝒖𝟐
−
𝒅𝒚
𝒚
= 𝟎
𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒖 − 𝒍𝒏|𝒚| = 𝒍𝒏|𝒄|
𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(
𝒙
𝒚
) = 𝒍𝒏|𝒚𝒄|

7. Ecuación Diferencial homogénea por sustitución