MATEMÁTICA BÁSICA FUNCIONES LOGARITMICAS

1. UPN, PASIÓN PORTRANSFORMAR VIDAS
MATEMÁTICA BÁSICA
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Departamento de Ciencias

2. https://www.youtube.com/watch?v=VKAq1kcxTx4
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3. SABERES PREVIOS:
ENLACE: https://kahoot.it/

4. LOGRO DE LA SESIÓN:
Al finalizar la sesión, el estudiante grafica
la función logarítmica en el plano
cartesiano, determinando su dominio y
rango, resolviendo además problemas
vinculados a su entorno profesional,
mostrando orden y exactitud.

5. CONTENIDOS:
1. Definición de función logarítmica
2. Representación e interpretación gráfica
3. Aplicaciones

6. Toda función exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
, con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1, tiene una función inversa
𝑓−1
que recibe el nombre de función logarítmica con base 𝑎 y se denota por 𝑙𝑜𝑔𝑎. Sea
𝑎 un número positivo con 𝑎 ≠ 1 la función logarítmica con base 𝑎 se define como:
Así, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 es el exponente al que se
debe elevar la base 𝑎 para obtener
el valor de 𝑥.
Nota:
𝒙: 𝒂𝒓𝒈𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
𝒂: 𝒃𝒂𝒔𝒆
Definición de la función logarítmica
𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 = 𝒚 = 𝒇 𝒙 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙

7. 7
1
a
0 
 1
a 
Existen dos Casos
Punto de Corte
Con el eje X
1
1
Punto de Corte
Con el eje x
x
log
y a
=
x
log
y a
=
Decrece
Crece
Asíntota vertical: x = 0
x
x
y y
𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 = 𝒚 = 𝒇 𝒙
Gráfica de la función logarítmica

8. Ejemplo 1: Bosqueje la gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥
Solución: Para construir una tabla de valores, se eligen valores de 𝑥 como potencias
de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos. Se grafican estos puntos
y se unen con una línea curva.
𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥
23
3
22
2
21
1
20
0
2−1
−1
2−2
−2
Dominio: 0; +∞
Rango: ℝ
A.V: x=0
Gráfica de una función logarítmica

9. Ejemplo 2: Bosqueje la gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 2 , indicando su asíntota, los
puntos de corte y su dominio y rango.
Solución:
𝐵𝑎𝑠𝑒: 2 > 1 𝐹. 𝐶.
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙:
𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2
Puntos de corte:
𝑦 = 0 → 1 = 𝑥 + 2 → 𝑥 = −1
𝑥 = 0 → 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 2 → 𝑦 = 1
Gráfica de una función logarítmica
Dominio: −2; +∞
Rango: ℝ
Calculadora gráfica: https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

10. Ejemplo 3: Bosqueja la gráfica de cada función las gráficas de cada función y determine
su dominio y rango
a. 𝑔 𝑥 = − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 b. ℎ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 −𝑥
Solución:
Reflexión de una función logarítmica

11. 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝟓 𝑥
𝟓𝟎
0
𝟓𝟏
1
𝟓𝟐
2
Ejemplo 4: Gráfica la función 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 + 2. Luego determina su dominio y rango.
Solución: La gráfica de 𝒈 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝒙 + 𝟐 se obtiene al desplazar dos unidades hacia
arriba la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝒙.
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 0; +∞
𝑅𝑎𝑛 𝑔 = ℝ
Traslación de una función logarítmica

12. 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝟑 𝑥
𝟑𝟎
0
𝟑𝟏
1
𝟑𝟐
2
𝟑𝟑
3
Ejemplo 5: Gráfica la función ℎ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 3 . Luego determina su dominio y rango.
Solución: La gráfica de 𝒉 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙 + 𝟑 se obtiene al desplazar tres unidades hacia
la izquierda la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙.
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = −3; +∞
𝑅𝑎𝑛 𝑔 = ℝ
La recta 𝑥 = −3 es su asíntota vertical
Traslación de una función logarítmica

13. 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙
De la definición de logaritmos se puede encontrar fácilmente que
𝑙𝑜𝑔 10 = 1 y 𝑙𝑜𝑔 100 = 2
Para calcular el valor de 𝑙𝑜𝑔 50, se necesita hallar un exponente tal que 10𝑦
= 50.
Es evidente que el valor buscado debe ser mayor a 1 pero meno que 2.
Por lo tanto, podemos afirmar que
1 < 𝑙𝑜𝑔 50 < 2
Empleando una calculadora científica, podemos obtener que 𝑙𝑜𝑔 50 ≈ 1,70.
Logaritmos comunes

14. 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥
0,01 −2
0,1 −1
0,5 −0,301
1 0
4 0,602
5 0,699
10 −2
Ejemplo 6: Con ayuda de la calculadora, halle los valores apropiados y bosqueje la
gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥
Solución: Se construye una tabla de valores que son y no son potencias de 10. Se grafican los
puntos y se unen mediante una curva.
Gráfica de una función logarítmica en base 10
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 0; +∞
𝑅𝑎𝑛 𝑔 = ℝ

15. ¡Recuerda, cada desafío es una oportunidad para aprender!

16. Leyes de logaritmos
Sea a > 0, con a ≠ 1. Sean A, B y C números reales cualesquiera con A > 0, B > 0
log𝑎 𝐴𝐵 = log𝑎 𝐴 + log𝑎 𝐵
El logaritmo de un producto de números es la
suma de los logaritmos de los números.
log𝑎
𝐴
𝐵
= log𝑎 𝐴 − log𝑎 𝐵
El logaritmo de un cociente de números es la
diferencia de los logaritmos de los números.
log𝑎 𝐴𝐶
= 𝐶 log𝑎 𝐴
El logaritmo de una potencia de un número es el
exponente multiplicado por el logaritmo del
número.
Leyes de los logaritmos

17. Ejemplo 7: Evalúa cada expresión
a. 𝑙𝑜𝑔4 2 + 𝑙𝑜𝑔4 32
Solución:
log4(2 × 32)
log4 64
log4 43
3log4 4
3 1 = 3
b. 𝑙𝑜𝑔2 80 − 𝑙𝑜𝑔2 5
Solución:
𝑙𝑜𝑔2
80
5
log2 16
log2 24
4 1 = 4
c. −
1
3
𝑙𝑜𝑔8
Solución:
−𝑙𝑜𝑔8
1
3
−𝑙𝑜𝑔
3
8
−𝑙𝑜𝑔2
Empleando una calculadora científica,
podemos obtener que −𝑙𝑜𝑔 2 ≈ −0,30.
Leyes de los logaritmos
CALCULADORA: https://web2.0calc.es/

18. El logaritmo con base 𝑒 se llama logaritmo natural y se denota por 𝑙𝑛.
𝑙𝑛 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥
La función logaritmo natural 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥 es la función inversa de
la función exponencial 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥
. Por lo tanto:
𝑙𝑛 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑒𝑦
= 𝑥
Recuerda que:
Logaritmos naturales

19. Propiedades de logaritmos naturales
𝑙𝑛 1 = 0
Se tiene que elevar 𝐞 a la potencia 0 para obtener
1.
𝑙𝑛 𝑒 = 1
Se tiene que elevar 𝐞 a la potencia 1 para obtener
𝑒.
𝑙𝑛 𝑒𝑥 = 𝑥
Se tiene que elevar 𝐞 a la potencia 𝑥 para obtener
𝑒𝑥.
𝑒𝑙𝑛 𝑥
= 𝑥
𝑙𝑛 𝑥 es la potencia a la cual 𝐞 debe ser elevada
para obtener 𝑥.
Propiedades de los logaritmos
naturales

20. Crecimiento de la población:
En el año 2 015 la población de un pueblo era de 7 000 habitantes. Si la tasa relativa de
crecimiento es de 4% al año, ¿En cuánto tiempo rebasará la población la marca de los 8550
habitantes, suponiendo que la tasa de crecimiento es exponencial?
Solución:
𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜. 𝑒𝑘.𝑡
En 5 años rebasará la población la
marca de los 8 550 habitantes.
Aplicando logaritmos a ambos lados
de la ecuación:
𝑃(𝑡) =
𝑘 =
8550
4 % = 0,04
𝑃𝑜 = 7000
𝑡 = 4,97
ln 1,22 = 𝑒0,04𝑡
ln
ln 𝑒
0,04 t
ln 1,22 =
𝑡 =
ln 1,22
0,04
= 1
𝑡 = ?
8550 = 7000. 𝑒0,04𝑡
1,22 = 𝑒0,04𝑡
8550
7000
= 𝑒0,04𝑡
Aplicaciones de la función logarítmica y los logaritmos

21. Préstamo Bancario
Una persona invirtió S/ 1500 en una entidad bancaria a una tasa anual de interés
compuesto del 5%, al finalizar el inversionista tiene S/ 1 820 en total ¿Cuánto
tiempo estuvo invertido su dinero?
Solución:
𝑀 𝑡 = 𝐶𝑜. 1 + 𝑟 𝑡
Su dinero estuvo invertido 4 años
aproximadamente.
Aplicando logaritmos a ambos lados
de la ecuación:
𝟏, 𝟐𝟏𝟑 = (1,05)𝑡
Log Log
𝑳𝒐𝒈 𝟏, 𝟐𝟏𝟑 =
𝑳𝒐𝒈 𝟏,𝟐𝟏𝟑
𝑳𝒐𝒈 𝟏,𝟎𝟓
= 𝒕
𝒕 = 3,958…
1,213 = (1,05)𝑡
1820 = 1500. 1 + 0,05 𝑡
1820
1500
= (1,05)𝑡
𝑳𝒐𝒈 (𝟏, 𝟎𝟓)
𝒕
Aplicaciones de la función logarítmica y
los logaritmos

22. Solución:
Como se desea saber el costo de producir 6
unidades, el valor de x = 6, luego reemplazamos
ese valor en la función C(x).
C(6) = 5 + 12 log (1 + 2(6))
C(6) = 5 + 12 log (13)
C(6) = 5 + 12(1,11)
Por lo tanto el costo de producir 6
unidades por hora es será de
18,32 soles.
Una compañía manufacturera encuentra que el costo de producir x unidades
por hora está dado por la fórmula 𝐶 𝑥 = 5 + 12 log(1 + 2𝑥)
Calcule el costo de producir 6 unidades por hora.
C(6) = 18,32
C(6) = 5 + 13,32
Aplicaciones de la función logarítmica y
los logaritmos

23. ¡Recuerda, cada desafío es una oportunidad para aprender!

24. METACOGNICIÓN
1. ¿Qué he aprendido en esta sesión?
2. ¿Qué características tiene la gráfica de una
función logarítmica?
3. ¿Qué dificultades se presentaron en la
resolución de los problemas?
4. ¿Qué recursos podrían incrementar mi
aprendizaje?

25. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• Arya, J. y Jardish,R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y la
economía (5.a ed.).
• Harshbarger, R. y Reynold, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la administración,
economía y ciencias sociales (7.a ed.).
• Hoffmann, L., Bradley, G., Sobecki, D., Price, M. y Sandoval, S. (2014).
Matemáticas aplicadas a la administración y negocios (11.a ed.).

26. GRACIAS