3. Pregrado Programa de
Contabilidad
Extremos relativos o locales
Una función 𝑓 tiene un máximo relativo en
𝒂 si existe un intervalo abierto que
contenga a 𝒂 sobre el cual 𝑓 𝑎 ≥ 𝑓(𝑥)
para toda 𝑥 en el intervalo.
Una función 𝑓 tiene un mínimo relativo en
𝒃 si existe un intervalo abierto que
contenga a 𝒃 sobre el cual 𝑓 𝑏 ≤ 𝑓(𝑥)
para toda 𝑥 en el intervalo.
𝒚
𝒙
𝑎1 𝑎2
Máximo
relativo
Máximo
relativo
𝒚
𝒙
𝑏1
𝑏2
Mínimo
relativo
Mínimo
relativo
4. Pregrado Programa de
Contabilidad
Número o punto crítico
Un número crítico de una función 𝑓 es un
número 𝒄 en el dominio de 𝑓 tal que 𝑓′ 𝑐 = 0
o 𝑓′ 𝑥 = 0 no existe.
Ejemplo
Solución
Encuentre los números críticos de
𝑓 𝑥 = 𝑥
3
5(4 − 𝑥)
Hallamos la derivada de la función
𝑓′ 𝑥 =
12 − 8𝑥
5𝑥
2
5
De 𝑓′
𝑥 = 0, se tiene:
12 − 8𝑥
5𝑥
2
5
= 0 → 𝑥 =
3
2
Para 𝑥 = 0, se tiene 𝑓′
0 no existe.
12 − 8𝑥
5𝑥
2
5
=
12
0
= ±∞
Por tanto, los puntos críticos son 0 y 2.
5. Pregrado Programa de
Contabilidad
Criterio de la primera derivada para los extremos relativos
Suponga que f es continua en un intervalo abierto 𝐼 que contiene el valor crítico 𝒂 y 𝑓 es diferenciable
en 𝐼 excepto posiblemente en 𝒂.
Si 𝑓′(𝑥) cambia de positiva a
negativa cuando 𝑥 crece al pasar por
𝒂 , entonces 𝑓 tiene un máximo
relativo en 𝒂.
Si 𝑓′(𝑥) cambia de negativo a
positiva cuando 𝑥 crece al pasar por
𝒂 , entonces 𝑓 tiene un mínimo
relativo en 𝒂.
Si 𝑓′(𝑥) no cambia de negativo a
positiva (o de positivo a negativo)
cuando 𝑥 crece al pasar por 𝒂 ,
entonces 𝑓 carece de extremo
relativo en 𝒂.
𝒚
𝒙
𝑎
𝑓′
𝑥 < 0 𝑓′
𝑥 > 0
𝒚
𝒙
𝑎
𝑓′
𝑥 < 0
𝑓′
𝑥 > 0
𝒚
𝒙
𝑎
𝑓′
𝑥 < 0
𝑓′
𝑥 < 0
6. Pregrado Programa de
Contabilidad
𝑓 𝑥 = 3𝑥5 − 5𝑥3
Determine las coordenadas de todos los
extremos relativos de la siguiente función.
Ejemplo
Solución
Hallemos los puntos críticos, derivando la
función
𝑓′ 𝑥 = 15𝑥4
− 15𝑥2
Si 𝑓′
𝑥 = 0 → 15𝑥4
− 15𝑥2
= 0
→ 𝑥2(𝑥2 − 1) = 0
→ 𝑥 = 0 ; 𝑥 = −1 ; 𝑥 = 1
Si 𝑥 = −2 → 𝑓′(−2) = 180 → positivo
Aplicando el criterio de la primera derivada
| | |
0
−1 1
| | | |
−2 −
1
2
1
2 2
Si 𝑥 = −
1
2
→ 𝑓′
−
1
2
= −
45
16
→ negativo
Si 𝑥 =
1
2
→ 𝑓′ 1
2
= −
45
16
→ negativo
Si 𝑥 = −
1
2
→ 𝑓′
−
1
2
= 180 → positivo
Máximo
relativo
Carece de
extremo
Mínimo
relativo
7. Pregrado Programa de
Contabilidad
Evaluemos la función
Si 𝑥 = −1 → 𝑓 −1 = 3 −1 5 − 5 −1 3 = 2
Si 𝑥 = 1 → 𝑓 1 = 3 1 5 − 5 1 3 = −2
Por tanto, las coordenadas de los extremos
relativos es:
−1; 2 la función 𝑓 tiene un máximo relativo.
1; −2 la función 𝑓 tiene un mínimo relativo.
𝒚
𝒙
−1 0
1
2
−2
Máximo
relativo
Mínimo
relativo
8. Pregrado Programa de
Contabilidad
Criterio de la segunda derivada para los extremos relativos
Suponga que 𝑓′ 𝑎 = 0
Si 𝑓′′
𝑎 > 0, entonces 𝑓 tiene un
mínimo relativo en 𝒂.
Si 𝑓′′
𝑎 < 0, entonces 𝑓 tiene un
máximo relativo en 𝒂.
La prueba de la segunda derivada
no es aplicable cuando:
𝑓′′
𝑎 = 0
𝑓′
𝑎 no existe.
𝒚
𝒙
𝑎
𝑓′′
𝑎 > 0
𝒚
𝒙
𝑎
𝑓′′
𝑎 < 0
9. Pregrado Programa de
Contabilidad
Si 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 5, determine
dónde ocurren los extremos relativos.
Ejemplo
Solución
Hallemos los puntos críticos, derivando la
función
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 − 9
Si 𝑓′ 𝑥 = 0 → 3𝑥2 − 6𝑥 − 9 = 0
→ 3(𝑥 + 1) (𝑥 − 3) = 0
→ 𝑥 = −1 ; 𝑥 = 3
Si 𝑥 = −1 → 𝑓′′ −1 = −12 < 0 máximo
Aplicando el criterio de la segunda derivada
𝑓′′
𝑥 = 6𝑥 −6
Si 𝑥 = 3 → 𝑓′′
3 = 12 > 0 mínimo
Por tanto, existe un máximo relativo en 𝑥 = −1
y un mínimo relativo en 𝑥 = 3.
10. Pregrado Programa de
Contabilidad
Aplicación de máximos y mínimos
Implica modelar situaciones que involucran la maximización o la minimización de cantidades.
Ejemplo Aplicativo 1
La función de costo total de un fabricante está dada por
𝐶 𝑞 =
𝑞2
4
+ 3𝑞 + 400
donde c es el costo total de producir q unidades. ¿Para qué nivel de producción será el costo
promedio por unidad un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?
Solución
La cantidad a minimizar es el costo promedio → 𝐶 𝑞 =
𝑞2
4
+ 3𝑞 + 400
𝑞
=
𝑞
4
+ 3 +
400
𝑞
11. Pregrado Programa de
Contabilidad
Hallemos los puntos críticos, derivando la
función
𝐶′(𝑞) =
1
4
−
400
𝑞2
Si 𝐶′ 𝑞 = 0 →
1
4
−
400
𝑞2 = 0
→ (𝑞 − 40) (𝑞 + 40) = 0
→ 𝑞 = 40 (𝑞 > 0)
Si 𝑞 = 40 → 𝐶′′
40 = 0.0125 > 0 mínimo.
Aplicando el criterio de la segunda derivada
𝐶′′ 𝑞 =
800
𝑞3
Por tanto, existe un mínimo en 𝑞 = 40, y su
costo promedio mínimo es
𝐶 40 =
40
4
+ 3 +
400
40
= 23.
12. Pregrado Programa de
Contabilidad
Demostramos lo aprendido
Determine cuándo la función es creciente o
decreciente, y determine la posición de los
máximos y mínimos relativos.
a) 𝑦 = 2𝑥3
+ 1
b) 𝑦 = −
𝑥3
3
− 2𝑥2 + 5𝑥 − 2
c) 𝑦 =
𝑥2
2−𝑥
La ecuación de demanda para el producto de
un monopolista es 𝑝 = 400 − 2𝑞 y que la
función de costo promedio es 𝐶 𝑞 = 0.2𝑞 +
4 + 400/𝑞, donde 𝑞 es el número de unidades,
𝑝 y 𝑐 se expresan en dólares por unidad.
Determine el nivel de producción en el que
se maximiza la utilidad.
Determine el precio en que ocurre la
utilidad máxima.
Determine la utilidad máxima.
