Este documento explica cómo resolver circuitos de primer orden RC y RL. (1) Se obtiene la ecuación diferencial del circuito y (2) se resuelve para encontrar la respuesta natural y forzada. La respuesta natural es la solución de la ecuación homogénea asociada, mientras que la respuesta forzada depende de la función de entrada. (3) Se combinan ambas respuestas y se determina la constante k usando las condiciones iniciales.

1. Por Peter Wolfgang Espinel
Resolución de Circuitos de Primer Orden (RL y RC)
1.- En primer lugar, cuando nos encontramos un circuito de primer orden debemos hallar su respectiva ecuación
diferencial. Para ello se resuelve el circuito con los métodos ya conocidos (Blakesley de tensión y corriente, mallas, nodos,
transformaciones de fuentes,…) según sea más conveniente.
Cuando en un circuito RC se nos pide hallar
debemos llegar a una ecuación diferencial de la forma:
Cuando en un circuito RL se nos pide hallar
debemos llegar a una ecuación diferencial de la forma:
2.- Luego de obtener la ecuación diferencial procedemos a resolverla y tendremos dos respuestas para un circuito de primer
orden: una respuesta natural y una respuesta forzada. Para ello recurrimos a la homogénea asociada:
RESPUESTA NATURAL (TRANSITORIA):
Para la homogénea asociada tendremos una única solución general, que llamaremos Respuesta Natural o Transitoria:
⁄
donde para un circuito con un condensador
para un circuito con un inductor
RESPUESTA FORZADA (PERMANENTE):
Y también tendremos una Respuesta Forzada o Permanente que varía según sea el tipo de f(t) del circuito (es decir, el
o el de la ecuación diferencial hallada)
Cuando tengamos nuestra respuesta forzada que puede
ser que quede en función de las letras A, o B, o C.
Para encontrar estos valores sólo tendremos que hacer
lo que sigue a continuación:
f(t) Xf(t)
K0 A
K0 t A + Bt
K0 e-bt
A e-bt
K0 e-at
At e-at
K0sen(bt) Asen(bt) + Bcos(bt)
K0cos(bt) Asen(bt) + Bcos(bt)
K0 + K1 e-bt
A + Be-bt
K0 + K1 t + K2 t2
A + Bt + C t2

2. Por Peter Wolfgang Espinel
Si estamos hallando
Y sustituimos en ecuación diferencial original
quedando:
Si estamos hallando
Y sustituimos en ecuación diferencial original
quedando:
Y luego hayamos las respectivas incógnitas. En este paso la forma de hallar las incógnitas variará según la Xf(t) que
utilicemos, se recomienda practicar con cada una de ellas.
3.- Una vez resuelto los valores de las incógnitas (valores de A, B, C), sustituimos y tenemos que:
Respuesta Primer Orden = Respuesta Natural + Respuesta Forzada
= +
⁄
+
La última y única incógnita que nos quedaría sería k, que se haya a través de las condiciones iniciales dadas, que pueden
ser datos del problema o simplemente se calculan. Ver los ejemplos resueltos.
Notas:
f(t) Xf(t)
K0 e-bt
A e-bt
Se usa cuando ≠ b ; ⁄
K0 e-at
At e-at
Se usa cuando = b ; ⁄