El documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación gaussiana, método de Gauss-Jordan, descomposición LU, factorización de Cholesky, método de Jacobi y método de Gauss-Seidel. Explica cada método con un ejemplo numérico para ilustrar los pasos involucrados en la resolución del sistema de ecuaciones.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERECTORADO ACADÉMICO
SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVO A DISTANCIA
CABUDARE
Resumen
(UNIDAD III)
Alumno: Ronald Giménez
CI: 21.503.603
Sección: SAIA-B
Profesor: Domingo Méndez

2. Métodos De Eliminación Gaussiana
Es uno de los métodos ma utilizados para resolver sistemas lineales, la técnica
consiste en transformar mediante operaciones elementales1
la matriz aumentada del sistema
[A|b] en una matriz de la forma [A'|b'] donde A’ es una matriz triangular superior y así el
sistema AX=b se transforma en un sistema equivalente A’X=b’ que es un sistema fácil de
resolver ya que es triangular superior y se puede resolver con sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
Resolver el sistema lineal usando el método de eliminación gaussiana.
Solución:
La matriz aumentada del sistema es:
a11=1 es el elemento pivote, para anular los elementos que están debajo de la primera columna
se usan los multiplicadores2
M21=a21/a11 = 2/1 = 2 y M31=a31/a11 = 4/1 = 4.
a22=-4 es el elemento pivote, para anular el elemento que está debajo de la segunda columna
se usa el multiplicador M22=a32/a22 = -6/-4 = 1.5
Finalmente se obtiene el sistema

3. usando sustitución hacia atrás se tiene que x3=4, x2=-1 y x1=3, luego la solución del sistema
es X = (3,-1,4).
Método de Gauss-Jordan
El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular
superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener
una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier i≠ 𝑗). El algoritmo de Gauss-Jordan o
método de escalonamiento nos transforma cualquier matriz en una escalonada reducida única
y que es la forma más sencilla de solucionar.
Ejemplo:
Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:
Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por
−3
4
y la
restamos a la primera:
Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:
Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por
2
2
y la
restamos a la primera:

4. Repetimos la operación con la segunda fila:
Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por
−2
−4
y la
sumamos a la primera:
El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la
ecuación (46) obtenemos las soluciones:
Descomposición LU
El paso de la eliminación que consume tiempo se puede reformular de tal manera que
involucre sólo operaciones sobre los coeficientes de “A”.
Esto es:
Donde:
L - Matriz triangular inferior
U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

5. SOLUCIÓN:
11 - 3 - 2 18
[A] = 5 - 2 - 8 [B] = 13
4 - 7 2 2
La matriz a ser factoriza o "descompone" en matrices triangular inferior (L), y superior (U).
Factorización de Cholesky
Puede ser descompuesta una matriz definida positivamente, como el producto de una
matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular
inferior triangular original positiva definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a
matrices con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones
matriciales y se deriva de la factorización LU con una pequeña variación.
Ejemplo:
Para la matriz
Escribimos {{2,-1,0},{-1,2,-1},{0,-1,2}}; con el resultado:

6. Método de Jacobi:
En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver
sistemas de ecuaciones lineales del tipo . El algoritmo toma su nombre del
matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas
como iteración de punto fijo.
En general, para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas,
el Método de Jacobi para encontrar un valor k de una variable x es el siguiente:
El procedimiento consiste en asignar unos valores iniciales a las variables, usualmente
se escoge "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteración se sustituyen
los valores obtenidos en la ecuación siguiente, con lo que se obtiene:
En la siguiente sección se ilustra cómo la convergencia de éste método está dada por:
Método de Gauss-Seidel
Es un utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Aunque este método
puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz
(cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas
ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la

7. convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es
simétrica y, a la vez, definida positiva.
lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta
llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la
solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:
donde: