Ecuaciones Lineales

1. La discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, empleando distintos
procedimientos, completa el estudio del álgebra matricial que se realiza en 2º de
Bachillerato. Con esta unidad se pretende que el alumnado aplique lo estudiado en las
Unidades de Matrices y Determinantes a la discusión y resolución de los sistemas de
ecuaciones lineales. Comienza con la identificación de los distintos elementos de un
sistema de ecuaciones lineales (incógnitas, coeficientes, términos independientes), su
escritura utilizando notación matricial y su clasificación. Posteriormente, como paso
previo a su resolución en los casos en que sea posible, se efectúa su "discusión" o
estudio de su compatibilidad, utilizando el Teorema de Rouché- Fröbenius o el método
de Gauss. Por último, se describen tres procedimientos para su resolución, en el caso de
que sean compatibles: Regla de Cramer, Método de Gauss y a través de la matriz
inversa.
El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales
permitirá al alumnado afrontar el planteamiento y resolución de problemas diversos. Si
se siguen estudios de Ciencias los aplicarán también en Geometría para estudiar las
posiciones relativas de rectas en el plano y en el espacio, posiciones relativas de planos
y de rectas y planos en el espacio, etc.
Entre los métodos tenemos:
Métodos De Eliminación Gaussiana
En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el
sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez
resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las
variables.
Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones: Lo que buscamos son 3 números,
que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las
ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se
comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:
Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y
sumando esta a la segunda. Entonces:
sumadolas resulta

2. La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:
Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:
Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.
Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:
En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la
sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras
incógnitas. Se obtendrá:
Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número
diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.
Método de Gauss-Jordan
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un
método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números
de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la
primera aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer
lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su
notación matricial

3. Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una
matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de
transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier ).
Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:
Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss.
Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por
y la restamos a la primera:
Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:
Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación
por y la restamos a la primera:

4. Repetimos la operación con la segunda fila:
Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por y
la sumamos a la primera:
El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la
ecuación (46) obtenemos las soluciones:
Descomposición LU
Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de
cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el
mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores"
debajo de la diagonal según corresponda en cada uno
El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales
debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes
(A) en el producto de dos matrices (L y U).
Esto es:
Donde:
L - Matriz triangular inferior

5. U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a
1.
De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:
=
Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto con
los de la matriz A correspondientes, se obtiene:
De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:
Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:
A x = b
lo cual resulta lo mismo escribir:
L U X = b
Definiendo a:
U X = Y
podemos escribir:
L Y = b
Resolviendo para Y, encontramos:

6. El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar
primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b". En
segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para encontrar los valores
de "x", obteniendo:
La determinación de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientemente
aplicando una forma modificada del método de eliminación de Gauss.
Se observa que el método de descomposición LU opera sólo sobre la matriz de
coeficientes, sin modificar el vector de excitación (en este caso b), por lo que resulta
superior al método de eliminación gausiana.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matriz en LU:
=
Las matrices de factores L y U de A son:
L = U =
El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución progresiva para obtener
los elementos del vector auxiliar Y:

7. =
Donde
El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar los elementos de X, por
sustitución regresiva:
=
De donde se obtiene: