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Universidad “Fermín Toro”
Cabudare – Lara
Sistemas de
Ecuaciones Lineales.
Integrante:
Christopher Adan C.I 24400311
Sección. SAIA B
Cabudare, Estado Lara 2015
Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal
de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones
lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de
primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo
de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las
variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más
antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como
en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación,
predicción y más generalmente en programación lineal así como en
la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales.
 Método de eliminación gaussiana: este método propone la
eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones,
hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta
esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores
de todas las variables.
Ejemplo:
Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que
entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de
los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican
al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.
Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:
Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20
el doble de los niños:
También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número
de niños:
Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado
resulta:
Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:
En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que
no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z =
10 de la tercera ecuación:
Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:
Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.
Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:
 Método de Gauss Jordan: Una variante de este método,
denominada eliminación de Gauss-Jordan, es un método aplicable
únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en
triangular la matriz aumentada del sistema mediante
transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una
sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la
misma fila de la matriz.
Ejemplo
Supóngase que es necesario encontrar los números x, y, z, que
satisfacen simultáneamente al siguiente sistema de ecuaciones
lineales:
Inicialmente, se escriben los coeficientes del sistema como
una matriz aumentada. Lo que en notación matricial se denota por:
Posteriormente, se reduce la incógnita , sumando a la segunda fila,
la primera multiplicada por , y a la tercera, la primera fila. La matriz
queda así:
El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y
tercera fila, para lo cual se suma la segunda multiplicada por y
por , respectivamente.
Por último, se elimina , tanto de la primera como de la segunda fila,
sumándoles la tercera multiplicada por y por , respectivamente:
Llegados a este punto se puede resolver directamente las
ecuaciones que se nos plantean:
O, si se prefiere, se puede multiplicar las tres filas de la matriz por:
, y respectivamente, y obtener así automáticamente los valores
de las incógnitas en la última columna.
 Descomposición LU: es una forma de factorización de
una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y
una superior. Debido a la inestabilidad de este método, deben
tenerse en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si
uno o varios elementos de la diagonal principal de la matriz a
factorizar es cero, es necesario pre multiplicar la matriz por
una o varias matrices elementales de permutación. Método
llamado factorización o con pivote. Esta
descomposición se usa en el análisis numérico para resolver
sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las
matrices inversas.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la
matriz en LU:
=
Las matrices de factores L y U de A son:
L = U =
El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución
progresiva para obtener los elementos del vector auxiliar Y:
=
Donde
El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar los
elementos de X, por sustitución regresiva:
=
De donde se obtiene:
 Factorizacion de Cholesky: El método de Factorización de Cholesky
se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida
positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada
como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de
la matriz triangular inferior, es decir los factores triangulares
resultantes son la traspuesta de cada uno. A = L . LT
 Metodo de Gauss Seidel: En análisis numérico el método de Gauss-
Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los
matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von
Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de
ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada,
naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe
tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los
elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo
se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es
simétrica y, a la vez, definida positiva.
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una
aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución
con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la
solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:
Donde:
El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración
:
Donde
Definimos
Y
,
Donde los coeficientes de la matriz N se definen como si
, si .
Considerando el sistema con la condición de que
. Entonces podemos escribir la fórmula de
iteración del método
La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último,
las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las
iteraciones.
 Metodo de Jacobi: En análisis numérico el método de Jacobi es
un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones
lineales del tipo . El algoritmo toma su nombre del
matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi
consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.
La sucesión se construye descomponiendo la matriz del
sistema en la forma siguiente:
Donde
, es una matriz diagonal.
, es una matriz triangular inferior.
, es una matriz triangular superior.
Partiendo de , podemos reescribir dicha ecuación como:
Luego,
Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método
de Jacobi puede ser expresado de la forma:
Donde es el contador de iteración, Finalmente tenemos:
Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos
en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en
el método Gauss-Seidel, no se puede sobrescribir xi(k) con xi(k+1), ya
que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la
diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-
Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores
de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.

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Ecuaciones lineales

  • 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Universidad “Fermín Toro” Cabudare – Lara Sistemas de Ecuaciones Lineales. Integrante: Christopher Adan C.I 24400311 Sección. SAIA B Cabudare, Estado Lara 2015
  • 2. Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente: El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales.  Método de eliminación gaussiana: este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables. Ejemplo: Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.
  • 3. Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños: Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños: También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños: Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta: Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes: En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación: Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:
  • 4. Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10. Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:  Método de Gauss Jordan: Una variante de este método, denominada eliminación de Gauss-Jordan, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Ejemplo Supóngase que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente al siguiente sistema de ecuaciones lineales: Inicialmente, se escriben los coeficientes del sistema como una matriz aumentada. Lo que en notación matricial se denota por:
  • 5. Posteriormente, se reduce la incógnita , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por , y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así: El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y tercera fila, para lo cual se suma la segunda multiplicada por y por , respectivamente. Por último, se elimina , tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por y por , respectivamente: Llegados a este punto se puede resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:
  • 6. O, si se prefiere, se puede multiplicar las tres filas de la matriz por: , y respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.  Descomposición LU: es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o varios elementos de la diagonal principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario pre multiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de permutación. Método llamado factorización o con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matriz en LU: = Las matrices de factores L y U de A son:
  • 7. L = U = El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución progresiva para obtener los elementos del vector auxiliar Y: = Donde El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar los elementos de X, por sustitución regresiva: =
  • 8. De donde se obtiene:  Factorizacion de Cholesky: El método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior, es decir los factores triangulares resultantes son la traspuesta de cada uno. A = L . LT  Metodo de Gauss Seidel: En análisis numérico el método de Gauss- Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi. Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva. Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:
  • 9. Donde: El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración : Donde Definimos Y , Donde los coeficientes de la matriz N se definen como si , si . Considerando el sistema con la condición de que . Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.  Metodo de Jacobi: En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo . El algoritmo toma su nombre del
  • 10. matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo. La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente: Donde , es una matriz diagonal. , es una matriz triangular inferior. , es una matriz triangular superior. Partiendo de , podemos reescribir dicha ecuación como: Luego, Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma: Donde es el contador de iteración, Finalmente tenemos: Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobrescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss- Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.