Este documento explica varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación Gaussiana, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky y la factorización QR. Además, destaca la importancia de aplicar estos métodos numéricos para desarrollar habilidades en la resolución de problemas matemáticos, de ingeniería y científicos.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE MANTENIMIENTO MECANICO
Integrante:
Jesús Robertiz
C.I.: 24.354.327
SAIA B

2. Métodos de Eliminación
Gussiana utilizando métodos
Numéricos
A continuación explicaremos de una manera
breve los aspectos numéricos que se
presentan al resolver sistemas de
ecuaciones, utilizando matrices que permiten
utilizar algoritmos para resolver estos
sistemas.

3. Métodos De Eliminación
Gaussiana
El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de
ecuaciones lineales consiste en convertir a través de operaciones
básicas llamadas operaciones de renglón un sistema en otro
equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera
directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para
sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y
cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada
variable.
Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que debemos
dividir entre el pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un
error de redondeo puede arrojar serias dudas sobre la respuesta final.
En forma general este método propone la eliminación progresiva de
variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación
con una incógnita.

4. Método de Gauss-Jordan
El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste
en realizar transformaciones elementales en el sistema
inicial, destinadas a transformarlo en un sistema
diagonal. El número de operaciones elementales de
este método, es superior al del método de Gauss
(alrededor de un 50% más).Sin embargo, a la hora de
resolver el sistema de llegada por remonte, el número
de operaciones es menor, motivo por el cual, el método
de Gauss - Jordán es un método computacionalmente
bueno cuando tenemos que resolver varios sistemas
con la misma matriz A y resolverlos simultáneamente,
utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán.

5. Descomposición LU
El método de Descomposición LU se basa en demostrar que
una matriz A se puede factorizar como el producto de una
matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior
U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran
operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo
así evaluar los términos independientes bi de manera
eficiente.
La implementación del algoritmo de la Descomposición LU
tiene sus variantes en cuanto a los valores iniciales de la
diagonal que tomen las matrices L y U, es decir si los valores
de la diagonal de la matriz L tiene números 1, formalmente
esto se refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si los
valores de la diagonal de la matriz U tiene números 1,
formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout

6. Factorización De Cholesky
Una matriz A simétrica y positiva definida puede ser factorizada de
manera eficiente por medio de una matrz triangular infereior y una
matriz triangular superior.
Para una matriz no singular la descomposición LU nos lleva a
considerar una descomposición de tal tipo A = LU; dadas las
condiciones de A, simétrica y definida positiva, no es necesario hacer
pivoteo, por lo que ésta factorización se hace eficientemente y en un
número de operaciones la mitad de LU tomando la forma , donde L (la
cual podemos "verla" como la raíz cuadrada de A) es una matriz
triangular inferior donde los elementos de la diagonal son
positivos.Para resolver un sistema lineal Ax = b con A simétrica
definida positiva y dada su factorizaciòn de Cholesky , primero
debemos resolver Ly = b y entonces resolver para lograr x.
Una variante de la factorización de Cholesky es de la forma, donde R
es una matriz triangular superior, en algunas aplicaciones se desea ver
la matriz en esa forma y no de otra.

7. Factorización de QR,
Householder
Anteriormente analizamos la factorización LU de una
matriz el cual conduce aun método muy eficiente para
resolver un sistema lineal. Otro método de factorización
de una A, llamada factorización QR de A. Esta
factorización se usa ampliamente en los programas de
computadora para determinar valores propios de una
matriz, para resolver sistemas lineales y para
determinar aproximaciones por mínimos cuadrados
En muchas aplicaciones el número de filas (M) de una
matriz de coeficientes A mxn puede ser 3 al número de
columnas (N). La Factorización QR consiste en
descomponer la matriz Amxn en el producto de dos
matrices

8. La aplicación de los métodos de eliminación Gaussiana
utilizando métodos numéricos es de gran importancia ya que
son técnicas en las que desarrollamos habilidades para la
resolución de problemas matemáticos, de ingeniería y
científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos
básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y
usar correctamente el software existente para dichos métodos y
no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras
sino que también amplia la pericia matemática y la comprensión
de los principios científicos básicos.