ES DEL CURSO DE GEOMETRIA

1. Física Conceptual
Unidad 2: Mecánica
Semana 03. s2:
Movimiento unidimensional, Desplazamiento,
velocidad y aceleración n: Caída libre. Movimiento
en dos dimensiones. Desplazamiento, velocidad y
a c ele ración: Movimiento de proyectiles
Daygord Mendoza

2. Datos/Observaciones
Logros de la Sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas de
cinemática, utilizando las ecuaciones correspondientes
para los movimientos de tipo rectilíneo, en base a la
correcta interpretación del problema, a la presentación
del resultado en una secuencia lógica y fundamentada.
Utilidad

3. Datos/Observaciones
La Derivada
Definición 1: La derivada de una función en , , es el límite:
siempre y cuando este límite exista.
𝒇
′
(𝒙 )=𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 (𝒙 +𝒉)− 𝒇 (𝒙)
𝒉
 Las notaciones para la primera derivada de con respecto a son:
o : se lee “ prima de ”.
o se lee “derivada de con respecto a ”,
 Las notaciones para la segunda derivada de con respecto a , son:
𝒇 ′
( 𝒙 ) ;
𝒅𝒚
𝒅𝒙
; 𝒚′
;
𝒅 [ 𝒇 ( 𝒙)]
𝒅𝒙
; 𝑫 𝒙 ( 𝒚)
𝒇 ′
′ ( 𝒙) ;
𝒅
𝟐
𝒚
𝒅 𝒙𝟐
;𝒚 ′′
;
𝒅𝟐
[ 𝒇 (𝒙)]
𝒅 𝒙𝟐
; 𝑫𝒙𝒙 ( 𝒚)

4. Datos/Observaciones
La Derivada
Definición 2: La derivada de una función en , , es el límite:
si este límite existe
¿ ∩ 𝒇
′
(𝒙𝟎)=𝒍𝒊𝒎
𝒉→ 𝟎
𝒇 ( 𝒙𝟎 +𝒉)− 𝒇 (𝒙𝟎 )
𝒉
INTERPRETACIONES DE
GEOMÉTRICA:
representa la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la función ,
en el punto
FÍSICA:
es la razón de cambio
instantánea de , cuando
Transformación

5. Datos/Observaciones
La Derivada
Ejemplo 1: Si , halle
Transformación
Ejemplo 2: Si , halle si

6. Datos/Observaciones
Reglas de la derivada
(𝑘 𝒇 )′
(𝒙 )=𝑘 𝒇
′
( 𝒙)
01. DERIVADA DEL PRODUCTO POR UNA CONSTANTE:
02. DERIVADA DE UNA SUMA:
( 𝒇 +𝒈)′
(𝒙)= 𝒇
′
(𝒙)+𝒈
′
(𝒙)
03. DERIVADA DE PRODUCTO DE FUNCIONES: ( 𝒇 .𝒈)′
(𝒙)= 𝒇
′
(𝒙 ). 𝒈( 𝒙)+ 𝒇 (𝒙 ).𝒈
′
(𝒙)
04. DERIVADA DEL COCIENTE DE FUNCIONES:
(𝒇
𝒈 )
′
(𝒙)=
𝒇 ′
(𝒙).𝒈(𝒙 )− 𝒇 (𝒙 ).𝒈′
(𝒙 )
¿¿
Transformación

7. Datos/Observaciones
La Derivada
Ejemplo 3: Si determine
Transformación

8. Datos/Observaciones
Integral Indefinida
Transformación
Definición
Se dice que una función es una antiderivada de una función sobre algún intervalo si para toda en .
Ejemplo
Una antiderivada de es
Definición
Una función puede tener varias antiderivadas, por ejemplo , y son antiderivadas de .
Propiedad
Si para toda en algún , entonces , para toda en .
Es decir, las antiderivadas difieren por una constante.

9. Datos/Observaciones
Integral Indefinida
Transformación
Si , la antiderivada más general de se representa por:
Se lee, la integral indefinida de respecto a x.
Integrando
Constante
de
integración
Signo de
integral
Variable de
integración

10. Datos/Observaciones
Integral Indefinida
Transformación

11. Datos/Observaciones
Integral Indefinida
Transformación
sin( ) cos( )
x dx x c
 

cos( ) sin( )
x dx x c
 

2
sec ( ) tan( )
x dx x c
 

2
csc ( ) cot( )
x dx x c
 

tan( ) ln | cos( ) |
x dx x c
 

cot( ) ln | sin( ) |
x dx x c
 

sec( ) ln | sec( ) tan( ) |
x dx x x c
  

csc( ) ln |csc( ) cot( ) |
x dx x x c
  

sec( ) tan( ) sec( )
x x dx x c
 

csc( )cot( ) csc( )
x x dx x c
 

2 2
1 1
arctan
x
dx c
x a a a
 
 
 
  


12. Datos/Observaciones
Ejemplo 1
1) Calcular 




 dx
x
x
x
x
I )
4
3
2
3
( 2
2
/
1
3

13. Datos/Observaciones
Ejemplo 2
2) Calcular 2
2
4
(sin sec ( ) )
2
x
I x x e dx
x
   



14. Datos/Observaciones
Ejemplo 3
Encuentre si:
{𝑓
′
( 𝑥 )=𝑥 − 𝑒
𝑥
𝑓 (0 )=2

15. Datos/Observaciones
Ejemplo 4
Calcular:

 dx
x
e
I x2

16. Datos/Observaciones
Ejemplo 5
Calcular:

 dx
x
x
I 3
ln
1

17. Datos/Observaciones
Ejemplo 6

18. Datos/Observaciones
POSICIÓN
Considere una partícula situada en un punto de una curva espacial definida por la función de
trayectoria s(t). El vector de posición r = r(t) designará la posición de la partícula, medida con
respecto a un punto fijo O. Observe que tanto la magnitud como la dirección de este vector
cambiarán a medida que la partícula se mueve a lo largo de la curva.
Transformación

19. Datos/Observaciones
Desplazamiento
Suponga que durante un breve intervalo Δt la partícula se mueve una distancia Δs a lo largo de
la curva a una nueva posición, definida por r’ = r + Δr. El desplazamiento Δr representa el
cambio de posición de la partícula y se determina mediante una resta vectorial, es decir:
r
r
r 

 '
Transformación

20. Datos/Observaciones
TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO
s
s
s
TRAYECTORIA CIRCULAR
TRAYECTORIA RECTA
TRAYECTORIA PARABOLICA

21. CANTIDADES CINEMÁTICAS
Matemáticamente ∆ ⃗
𝑟 =⃗
𝑑=⃗
𝑟 𝐹 − ⃗
𝑟 0
trayectoria
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
1
2
2
t
t
t
r
t
r
t
t
r
vm










POSICIÓN : Es una magnitud que nos permite determinar la
ubicación del móvil en cualquier instante de tiempo.
DESPLAZAMIENTO : Es la magnitud que expresa el cambio
de posición que experimenta un móvil.
Del gráfico:
Asimismo:
Velocidad media : Es una magnitud que mide la rapidez con
la cual un móvil cambia de posición.

22. Velocidad instantánea : es aquella magnitud vectorial
que mide el cambio de posición en un instante de tiempo
dt
t
r
d
v
)
(



Aceleración media : Se denomina aceleración media
entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de
velocidad Δv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha
tardado en efectuar dicho cambio, Δt=t'-t.
Aceleración instantánea : La aceleración en el instante t es el límite de la
aceleración media cuando el intervalo Δt tiende a cero, que es la definición de la
derivada de v.
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
1
2
2
t
t
t
v
t
v
t
t
v
am










dt
t
v
d
a
)
(




26. • Es aquel movimiento en el que la
velocidad del móvil en cualquier
instante permanece constante.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
GRÁFICAS DEL MRU
Sabias que las vías férreas están
diseñadas para el desplazamiento en
líneas rectas por tramos, de tal manera
que los pasajeros puedan viajar de
manera confortable.
• Ecuación de posición del MRU.
Asimismo se
verifica que:
d=v. t
/
3
⃗
𝑥 =⃗
𝑥 0 − ⃗
𝑣 𝑡

28. 20
Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)
Es un movimiento cuya trayectoria es una línea recta y aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la
aceleración es cero.
𝑥0 𝑥
s
O
𝑣
vt
x
x 
 0
.
cte
v 
𝑣0=¿
𝑣0

29. 19

30. ⃗
𝑎=
𝑑⃗
𝑣
𝑑𝑡
=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
⃗
𝑎 𝑑𝑡=𝑑 ⃗
𝑣
∫
0
𝑡
⃗
𝑎 𝑑𝑡=∫
𝑣0
𝑣
𝑑 ⃗
𝑣
⃗
𝑎𝑡=⃗
𝑣𝑓 − ⃗
𝑣𝑜
⃗
𝑣 =⃗
𝑣𝑜 +⃗
𝑎𝑡
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo común de
movimiento. En éste, la aceleración a de la partícula es constante
La velocidad v de la partícula se obtiene al
integrar esta ecuación:
donde es la velocidad inicial
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

31. ⃗
𝑣=
𝑑 ⃗
𝑥
𝑑𝑡
(⃗
𝑣¿¿𝑜+⃗
𝑎𝑡)𝑑𝑡=𝑑⃗
𝑥 ¿
∫
0
𝑡
(⃗
𝑣𝑜+⃗
𝑎𝑡)𝑑𝑡=∫
𝑥0
𝑥
𝑑 ⃗
𝑥
⃗
𝑣𝑜 𝑡+
1
2
⃗
𝑎𝑡
2
=⃗
𝑥 −⃗
𝑥𝑜
⃗
𝑥=⃗
𝑥𝑜+⃗
𝑣𝑜 𝑡 +
1
2
⃗
𝑎𝑡
2
Al denotar mediante el valor inicial de
x e integrar, se tiene
Al sustituir , se escribe
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

32. ⃗
𝑣=
𝑑 ⃗
𝑥
𝑑𝑡
⃗
𝑣 𝑑𝑡=𝑑 ⃗
𝑥
⃗
𝑎∙ ⃗
𝑣 𝑑𝑡 =⃗
𝑎∙𝑑 ⃗
𝑥
𝑑 ⃗
𝑣
𝑑𝑡
∙⃗
𝑣 𝑑𝑡=⃗
𝑎∙ 𝑑⃗
𝑥
⃗
𝑣 𝑑𝑡 ∙
𝑑 ⃗
𝑣
𝑑𝑡
=⃗
𝑎∙ 𝑑⃗
𝑥
𝑣𝑑𝑣=𝑎𝑑𝑥
∫
𝑣𝑜
𝑣
𝑣𝑑𝑣=∫
𝑥𝑜
𝑥
𝑎𝑑𝑥
1
2
(𝑣
2
− 𝑣𝑜
2
)=𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 ) 𝑣2
=𝑣𝑜
2
+2 𝑎 ∆ 𝑟
Al integrar ambos lados, se obtiene
⇒ ⇒
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

33. De la formula , despejamos
⃗
𝑎=
⃗
𝑣 − ⃗
𝑣𝑜
𝑡
Utilizando la ecuación , y reemplazando , tenemos
∆ ⃗
𝑟 =⃗
𝑣𝑜 𝑡+
1
2 (⃗
𝑣 −⃗
𝑣𝑜
𝑡 )𝑡
2
∆ ⃗
𝑟 =⃗
𝑣𝑜 𝑡+
1
2
⃗
𝑣𝑡 −
1
2
⃗
𝑣𝑜𝑡
∆ ⃗
𝑟 =(⃗
𝑣 +⃗
𝑣𝑜
2 )𝑡
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

34. 1s 1s 1s t-1 t
⃗
𝒙 (𝒕 −𝟏)
⃗
𝒙 (𝒕)
∆ ⃗
𝒓
⃗
𝒙 (𝒕 )=⃗
𝒙 (𝒕− 𝟏)+∆ ⃗
𝒓
∆ ⃗
𝒓 =⃗
𝒙 (𝒕)− ⃗
𝒙 (𝒕 −𝟏)
Utilizando la ecuación
∆ ⃗
𝒓 =⃗
𝑥𝑜 +⃗
𝑣𝑜 𝑡+
1
2
⃗
𝑎 𝑡
2
−[⃗
𝑥𝑜 +⃗
𝑣𝑜 (𝑡 −1)+
1
2
⃗
𝑎(𝑡 − 1)
2
]
∆ ⃗
𝒓 =⃗
𝑣𝑜 +
⃗
𝑎
2
(2𝑡 −1)
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

35. Aceleración media
La aceleración media es la tasa media de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo Δt.
t
v
amedia






36. Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (M.R.U.V.)
𝑥0 𝑥
O
𝑣
at
v
v 
 0
2
0
0
2
1
at
t
v
x
x 


)
(
2 0
2
0
2
x
x
a
v
v 

 .
cte
a 
𝑣0
𝑎

37. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Es aquel movimiento rectilíneo que desarrolla un cuerpo con aceleración
constante

38. CAÍDA LIBRE
0
2
h= v x t +
1
gt2
Durante el ascenso
del objeto, la rapidez
disminuye hasta llegar a
cero, en dicho instante
alcanza su altura máxima.
Luego durante el retorno la
rapidez aumenta en forma
proporcional a la aceleración
de la gravedad.
vF = v0 +
g. t
ℎ
Las ecuaciones que los gobiernan son las mismas del MRUV, veamos algunas
ecuaciones vectoriales:
Un cuerpo se encuentra en caída libre, cuando su movimiento esta influenciado
por la atracción de la gravitatoria.

39. Caída Libre
gt
v
v 
 0
2
0
0
2
1
gt
t
v
y
y 


)
(
2 0
2
0
2
y
y
g
v
v 


2
2
/
2
.
32
/
81
.
9 s
ft
s
m
g 


40. Movimiento en dos dimensiones
Vector Posición
Vector Velocidad
Rapidez
Dirección
Vector Aceleración
x y
r r i r j
  
 
x y
v v i v j
  
 
x y
a a i a j
  
 
2 2
x y
v v v
 
1
tan y
x
v
v
   
  
 

41. Movimiento Parabólico

42. MOVIMIENTO PARABÓLICO
• Esaquel movimiento mecánico en la cual la trayectoria es una
parábola y el cuerpo se encuentra en caída libre.
ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO
• Es estudio
de
generalmente
este
movimiento se
desarrolla
descomponiendo el movimiento en la
horizontal y la vertical.
0
 En la horizontal: MRU, usar:
dx = vx . t
 En la vertical: caída libre, usar:
1
2
h = v . t +
g t
2

43. EJERCICIO 01
Un caballo se aleja de su entrenador galopando en línea recta una distancia de 116 m en
14.0 s. Luego regresa abruptamente y recorre la mitad de la distancia en 4.8 s. Calcule:
a) la rapidez promedio y
b) la velocidad promedio para todo el viaje, usando “alejándose de su entrenador”
como el sentido positivo del movimiento.

44. EJERCICIO 02
Un auto acelera de 12 m/s a 21 m/s en 6.0 s. ¿Cuál fue su aceleración? ¿Qué
distancia recorrió en este tiempo? Suponga aceleración constante.

45. EJERCICIO 03
La pelota A se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio de 30 m de
altura con una velocidad inicial de 5 m/s. Al mismo tiempo se lanza otra pelota B hacia
arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 20 m/s. Determine la altura desde el
suelo y el tiempo en que se cruzan.

46. EJERCICIO 04
Un cohete se eleva verticalmente desde el reposo, con una aceleración neta de 3.2 m/s2
hasta que se le agota el combustible a una altitud de 950 m. Después de este punto, su
aceleración es la de la gravedad, hacia abajo. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el
cohete? y ¿con qué velocidad toca el suelo?

47. EJERCICIO 05
Un Alunzador está descendiendo hacia la base lunar frenado lentamente por el retro-
empuje del motor de descenso. El motor se apaga cuando el alunizador está a 5.0 m sobre
la superficie y tiene una velocidad hacia debajo de 0.8 m/s. Con el motor apagado, el
vehículo está en caída libre. ¿ Qué velocidad tiene justo antes de tocar la superficie? La
aceleración debida a la gravedad lunar es de 1.6 m/s2.

48. La posición de una partícula en función de las coordenadas cartesianas
esta dada por la siguiente ecuación.
Donde esta en metros y t esta en segundos. Determine su
desplazamiento y su velocidad media entre t=1s y t=10s
RETO 1

49. La posición es una magnitud vectorial que se emplea para determinar la
ubicación del objeto en cualquier instante de tiempo, en ese sentido, si
un avión vuela por el cielo de la ciudad de Lima, cuya posición se expresa
según la siguiente ecuación.
Donde esta en m y t en s. Determine su posición, velocidad y aceleración
para t=10s
RETO 2

50. El movimiento de una partícula está definido por la relación , donde x y t se expresan en
metros y segundos, respectivamente. Determine:
(a) cuando la velocidad es cero,
(b) la posición y la distancia total recorrida cuando la aceleración es cero.
RETO 3

51. EJERCICIO 06
El patinador deja la rampa A con una velocidad inicial de vA a un ángulo
de 30°, si golpea el suelo en B, determine vA y el tiempo de vuelo.

52. EJERCICIO 07
Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de vA = 150 m/s desde la azotea de
un edificio. Determine la distancia R donde golpea el suelo en B.

53. EJERCICIO 08
Mediante una banda transportadora se descarga arena en A y cae en la parte superior de un
montículo en B. Si se sabe que la banda transportadora forma un ángulo α = 20° con la horizontal,
determine la velocidad v0 de la banda.

54. EJERCICIO 09
Se golpea una pelota de béisbol de modo que se mueva hacia arriba después de ser
golpeada por el bate. Un aficionado observa que la pelota tarda 3.00 s en alcanzar su altura
máxima. Encuentre:
(a) la velocidad inicial de la pelota y
(b) la altura que alcanza.

55. EJERCICIO 10
Una piedra lanzada horizontalmente desde lo alto de una torre choca contra el suelo
a una distancia de 18 m de su base.
a) Sabiendo que la altura de la torre es de 24m, calcular la velocidad con que fue
lanzada la piedra.
b) Calcular la velocidad de la piedra con que llega al suelo

56. RETO 4

57. Datos/Observaciones
Qué hemos aprendido hoy?
Cierre
Para culminar nuestra sesión respondemos a: