S4 concreto flexión_19_2

CONCRETO REFORZADO I
UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO
Escuela de Ingeniería Agrícola
Docente: Msc. Ing. Luis Alberto Ita Robles
UNIDAD II: DISEÑO DE VIGAS Y LOSAS
TERCERA PARTE

UNIDADES DE APRENDIZAJE
✓ UNIDAD I: INTRODUCCIÓN
✓ UNIDAD II: DISEÑO DE VIGAS Y LOSAS
✓ UNIDAD III: DISEÑO DE COLUMNAS
✓ UNIDAD V: DISEÑO DE CIMENTACIONES SUPERFICIALES
✓ E. Final : S16
✓ E. Sustitutoria : S17*

LOGRO:
Al finalizar la unidad, el estudiante aprender conceptos
y principios fundamentales para el diseño de vigas.

TEMARIO:
❑ Conceptos y Principios fundamentales del diseño de vigas
❑ Diseño de vigas simplemente reforzadas
❑ Diseño de vigas de gran peralte
❑ Diseño de vigas doblemente reforzadas
❑ Diseño de vigas T
❑ Diseño de aligerados

❑ Diseño de vigas de gran peralte

En vigas relativamente altas debe colocarse algún refuerzo longitudinal cerca de
las caras verticales en la zona de tracción con el fin de controlar la fisuración en
el alma (Frantz and Breen 1980, Frosch 2002). Si no se coloca este acero auxiliar,
el ancho de las fisuras en el alma puede exceder el ancho de las fisuras al nivel
del refuerzo de tracción por flexión. (ACI)
No se especifica el diámetro del refuerzo superficial; investigaciones han indicado
que el espaciamiento, más que el tamaño de las barras, es de primordial
importancia (Frosch 2002)
Agrietamiento por flexión en una viga peraltada
Vigas de gran peralte

Refuerzo superficial en vigas con peralte mayor a 900 mm
Fuente: E-060
Si el peralte h de una viga o nervadura excede de 900 mm, se deberá colocar
armadura (superficial) longitudinal uniformemente distribuida en ambas caras
laterales del alma, en una distancia 0,5 h cercana de la armadura principal de
tracción por flexión. El espaciamiento de la armadura superficial no excederá del
menor de los siguientes valores:

No se especifica el diámetro mínimo de las barras que conforman Ask,
normalmente se usan barras de 3/8’’ a 5/8’’
Fs=
𝑀𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜
𝐴𝑠∗(0.9𝑑)
O de manera un poco más precisa
utilizando la sección transformada
Cc es la menor distancia medida desde la superficie del refuerzo a la cara lateral
del elemento y fs es el esfuerzo en el acero principal de flexión bajo cargas de
servicio.
El refuerzo superficial se puede incluir en el cálculo de la resistencia a flexión de
la sección únicamente si se hace un análisis de compatibilidad de deformaciones
para determinar los esfuerzos en cada una de las barras en las caras laterales.

El problema de análisis, cuando no se cuenta con herramientas mas elaboradas,
se resuelve por tanteos:
Análisis de una sección con refuerzo distribuido en el alma
Fuente: Ottazzi G (2016)

1) Asumir un valor de “c” (posición del eje neutro).
2) Calcular la deformación en cada uno de los aceros, Ɛsi y el esfuerzo
correspondiente fsi = Es Ɛsi. Verificar que fsi ≤ fy.
3) Calcular la compresión total en el concreto (Cc)
4) Realizar el equilibrio de la sección Cc +σ f’si Asi = σ fsj Asj donde Asi son
las barras en compresión y Asj las de tracción.
Si no se logra el equilibrio regresar al primer paso e intentar con un nuevo valor
de la posición del eje neutro

Cuantía Balanceada en Vigas con Refuerzo en el Alma:
Condición de falla balanceada en una sección con acero en el alma.

Influencia del Acero Repartido en el Alma en la Resistencia a Flexión
Considerando solo el acero en tracción en la resistencia de la sección

Comparación entre el acero concentrado y el acero repartido
Considerando solo el acero en tracción en la resistencia de la sección

❑ Diseño de vigas doblemente reforzadas

Flexión – Vigas rectangulares Doblemente Reforzada
GENERALIDADES.
Uno también puede recurrir en el cálculo a fierro en compresión, aún
cuando la cuantía en tracción no sobrepase el 0.75 ρ𝑏, pero en la
mayoría de los casos el momento resistente total no variará
significativamente por el hecho de que el fierro en compresión
seguramente no estará fluyendo.
ECUACIONES PARA EL DISEÑO.
Si analizamos la siguiente figura, podemos plantear las ecuaciones de
equilibrio de la siguiente manera: 𝐴𝑆 = 𝐴𝑆1 + 𝐴𝑆
′
= +
𝐴𝑆 𝐴𝑆1
𝐴𝑆
′
𝐴𝑆
′
𝑎 𝑏 𝑐

Resistencia de una sección con acero en compresión:
Por equilibrio ∑ 𝐹𝑋 = 0 y suponiendo que 𝐴𝑆
′
fluya
𝐴𝑆 𝑓𝑦 = 0.85 𝑓𝑐
′ ba + 𝐴𝑆
′
𝑓𝑦
Si tomamos momentos en el punto de paso de la resultante del concreto
comprimido se tendrá:
𝑀𝑛 = 𝐴𝑆 𝑓𝑦 (d-a/2) +𝐴𝑆
′
𝑓𝑦 ( a/2-𝑑′)

GENERALIDADES.
Se denomina vigas doblemente reforzadas a aquellas donde adicional al
refuerzo en tracción se tiene refuerzo en compresión
Desde el punto de vista del cálculo se recurre al refuerzo en compresión
cuando con la cuantía máxima de 0.75 ρ𝑏 no se alcanza a resistir el
momento actuante (resistencia requerida); en estos casos es factible
aumentar la capacidad resistente de la viga (resistencia suministrada)
adicionando refuerzo en la zona traccionada en igual cantidad que en la
zona comprimida, de manera de tener un momento adicional con el par de
fuerzas de estos refuerzos.
En el diseño se recurre a fierro en compresión también para otros fines
como son el de disminuir el esfuerzo del concreto de la zona comprimida, y
de esta manera disminuir el efecto del flujo plástico, logrando así una
disminución de las deflexiones diferidas y, para el caso de elementos sismo
resistentes , donde por condiciones de confinamiento y ductilidad se
especifica disponer refuerzo corrido superior e inferior.

Resistencia de una sección con acero en compresión:
La sección de la viga indicada anteriormente se puede subdividir en una
viga simplemente reforzada de área 𝐴𝑆1(figura b) y una viga imaginaria
sólo conformada por refuerzo superior e inferior de área 𝐴𝑆
′
(figura c)
Para la primera viga (figura b): 𝑀𝑛1 = 𝐴𝑆1 𝑓𝑦 (d-a/2)
Para la segunda viga (figura c): 𝑀𝑛2 = 𝐴𝑆
′
𝑓𝑦 ( d - 𝑑′)
Superponiendo ambas se tendrá: 𝑀𝑛 = 𝐴𝑆1 𝑓𝑦 (d-a/2) +𝐴𝑆
′
𝑓𝑦 ( d - 𝑑′
)
Si se usa esta ecuación para el diseño se reemplazara 𝐴𝑆1 por (𝐴𝑆 - 𝐴𝑆
′
), se tendrá:
𝑀𝑛 = (𝐴𝑆 - 𝐴𝑆
′
)𝑓𝑦 (d-a/2) +𝐴𝑆
′
𝑓𝑦 ( d -𝑑′)= 𝑀𝑢
Estas ecuaciones han sido encontradas suponiendo que 𝐴𝑆
′
fluya; esta
suposición debe ser comprobada para lo cual se puede plantear las
siguientes ecuaciones:

0.003
𝑐
=
ε𝑠
′
𝑐−𝑑′
Reemplazando a=β1c, tendremos:
0.003
𝑎/β1
=
ε𝑠
′
𝑎/β1−𝑑′
De donde se despeja ε𝑠
′ : ε𝑠
′ =
0.003(𝑎−β1−𝑑′)
𝑎
Si 𝐴𝑆
′
(superior) fluye deberá cumplirse que ε𝑠
′
> 𝑓𝑦/ 𝐸𝑠
Por tanto:
0.003(𝑎−β1−𝑑′)
𝑎
> 𝑓𝑦/ 𝐸𝑠
Despejando a: a ≥
0.003β1𝑑′𝐸𝑠
0.003𝐸𝑠 −𝑓𝑦

Lo que representa el valor del bloque rectangular comprimido equivalente
para que 𝐴𝑆
′
fluya.
Si ahora se plantea por equilibrio la suma de fuerzas se tendrá:
𝐴𝑆 𝑓𝑦 = 0.85 𝑓𝑐
′
ba + 𝐴𝑆
′
𝑓𝑦
(𝐴𝑆 - 𝐴𝑆
′
) 𝑓𝑦 = 0.85 𝑓𝑐
′ b a a =
(𝐴𝑆 − 𝐴𝑆
′
) 𝑓𝑦
0.85 𝑓𝑐
′ b
Que representa el valor del bloque rectangular comprimido equivalente para
que 𝐴𝑆
′
fluya.
Reemplazando el valor de “a” en la ecuación obtenida por deformaciones se
tendrá:
(𝐴𝑆 − 𝐴𝑆
′
) 𝑓𝑦
0.85 𝑓𝑐
′ b
≥
0.003β1𝑑′𝐸𝑠
0.003𝐸𝑠 −𝑓𝑦
Si se reemplaza ρ =𝐴𝑆/bd y ρ′ = 𝐴𝑆
′
/bd se puede escribir la desigualdad
anterior de la siguiente manera:

ρ - ρ′ ≥
0.85 𝑓𝑐
′β1𝑑′
𝑑𝑓𝑦
(0.003𝐸𝑠)
(0.003𝐸𝑠 −𝑓𝑦
ρ - ρ′ ≥
0.85 𝑓𝑐
′β1𝑑′
𝑑𝑓𝑦
(6,000)
(6,000 −𝑓𝑦)
Ejemplo de diseño de viga doblemente reforzada.
Momento requerido (último actuante): 𝑀𝑢 = 50 ton x mt.
Concreto 𝑓𝑐
′ = 210 kg/cm2
Acero 𝑓𝑦 = 4,200 kg/cm2
Determinar el 𝐴𝑆 requerido.
Viga 30 x 60 cmt.
= +
𝐴𝑆 𝐴𝑆1
𝐴𝑆
′
𝐴𝑆
′
𝑎 𝑏 𝑐

Solución.
1.- Determinamos el máximo acero de la viga simplemente reforzada
𝐴𝑆 𝑚𝑥 = 0.75 ρ𝑏 (b d)
ρ𝑏 = 1.19 x 10−4
x 210 x 0.85 = 0.0212415
Como sabemos que el refuerzo va ser importante trabajamos con 2 capas
de acero, lo cual conlleva a considerar:
d = (h-9)cm. = 60-9=51 cm.
𝐴𝑆 𝑚𝑥 = 0.75 ρ𝑏 (b d) = 0.75 x 0.0212415 (30 x51) = 24.40 cm2
= +
𝐴𝑆 𝐴𝑆1
𝐴𝑆
′
𝐴𝑆
′
𝑎 𝑏 𝑐

Solución.
2.- Determinamos el momento requerido 𝑀𝑢 correspondiente al máximo
acero de la viga simplemente reforzada
𝐴𝑆 𝑚𝑥 = 24.40 cm2 que equivale a 𝐴𝑆1
a =
𝐴𝑆 𝑓𝑦
0.85 𝑓𝑐
′ b
=
24.40 𝑥 4,200
0.85 𝑥 210 𝑥 30
= 19.14 cm.
𝑀𝑢 = 𝐴𝑆 𝑓𝑦 (d -
𝑎
2
)
𝑀𝑢1 = 0.9 𝐴𝑆1 𝑓𝑦 (d -
𝑎
2
)= 0.9 x 24.40 x 4,200 x (51-19.14/2)= 3,821,171.76 kg-cm
𝑀𝑢1 = 38.21 ton-m.
Como el momento aplicado es 50 ton-m. y como el refuerzo máximo en
tracción solo resiste 38.21 ton-m., debe recurrirse a refuerzo adicional
superior e inferior “𝑨𝒔
′
” con el fin de resistir el remanente 𝑀𝑢 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 =
50.00 - 38.21 = 11.79 ton-m.

Solución.
3.- Determinamos del refuerzo adicional superior e inferior 𝐴𝑠
′
𝑀𝑢 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 50.00 - 38.21 = 11.79 ton-m.
𝑀𝑢 = 𝐴𝑠
′ 𝑓𝑦 (d - 𝑑′ )
1’179,000 = 0.9 𝐴𝑠
′
4,200 (51-6) 𝐴𝑠
′
= 6.93 cm2
Por tanto para resistir un momento de 50 ton-m. se requerirán:
𝐴𝑆 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 𝐴𝑆 = 𝐴𝑆1 + 𝐴𝑠
′ = 24.40 cm2 + 6.93 cm2 = 31.33 cm2
𝐴𝑆 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 = 𝐴𝑠
′ = 6.93 cm2

Solución.
4.- Verificación si 𝐴𝑠
′
fluye
ρ =
𝐴𝑆
𝑏𝑑
=
31.33
30 𝑥 51
= 0.0205
ρ′=
𝐴𝑠
′
𝑏𝑑
=
6.93
30 𝑥 51
= 0.0045
ρ - ρ′ = 0.0160
ρ - ρ′ ≥
0.85 𝑓𝑐
′β1𝑑′
𝑑𝑓𝑦
(6,000)
(6,000 −𝑓𝑦)
0.016 ≥
0.85 𝑥 210 𝑥 0.85 𝑥 6
51 𝑥 4,200
(6,000)
(6,000 −4,200)
0.016 ≥ 0.01416 con el cual se comprueba que 𝐴𝑠
′
está fluyendo
4.- 𝐴𝑠
′
fluye si :

SECCIONES RECTANGUIARES DOBLEMENTE REFORZADA
Comentarios sobre la fluencia del acero en compresión
Generalmente cuando uno recurre al refuerzo adicional, luego de haber
sobrepasado el máximo refuerzo en tracción, se encuentra que el acero en
compresión fluye.
Cuando se adiciona refuerzo superior e inferior por encima del acero en
tracción que representa el 0.75 ρ𝑏 se cumple que:
ρ - ρ′
= 0.75 ρ𝑏
Si usamos 𝑓𝑐
′
=210 kg/cm2 se tiene: ρ - ρ′
= 0.0160
Examinando la expresión: ρ - ρ′ ≥
0.85 𝑓𝑐
′β1𝑑′
𝑑𝑓𝑦
(6,000)
(6,000 −𝑓𝑦)
Que asegura la fluencia del fierro en compresión y efectuando números con
diferentes peraltes de vigas se tiene los siguientes resultados:
h = 20 ρ - ρ′
> 0.0212 (d=h-3)
h = 40 ρ - ρ′
> 0.0212 (d=h-6)
h = 50 ρ - ρ′
> 0.0164
h = 60 ρ - ρ′
> 0.0133
h = 70 ρ - ρ′
> 0.0112
h = 80 ρ - ρ′
> 0.0097
Con el cual se concluye que siempre estará
fluyendo el fierro superior a partir de vigas con
peralte de 55 cm. siempre y cuando se haya
colocado refuerzo por encima del 0.75 ρ𝑏
traccionado.

Influencia del acero en compresión en las deflexiones originadas por las
cargas sostenidas
Influencia del acero en compresión en el comportamiento

Influencia del acero en compresión en la resistencia y ductilidad de
secciones con falla por tracción (As< Asb)

Diagramas momentos curvatura para una sección con fallas por
compresión y efecto de acero en compersión

Flexión Simple – Vigas T
Introducción
Vigas T en una losa maciza armada en una dirección
Con excepción de los sistemas prefabricados , los entrepisos de una estructura o
edificio de concreto armado, casi siempre son monolíticos.
El vaciado del concreto se suele realizar en
una sola operación, desde la parte inferior
de las vigas de mayor peralte hasta la parte
superior de la losa de piso.

Esfuerzos en el encuentro ala – alma.
Fuerzas en el encuentro ala – alma.
Para que exista un trabajo del alma y del ala como una unidad, debe haber
monolitismo entre el ala y alma o una unión efectiva capaz de transferir la fuerza
cortante horizontal que se produce en el encuentro del ala con el alma

Distribución de esfuerzos de compresión en el alma
A medida que nos alejamos del encuentro del ala con el alma, los esfuerzos de
compresión en el ala son menores que en la zona misma del encuentro con el
alma
A este fenómeno se le denomina “shear lag” o “retraso del cortante” y origina que
las compresiones en el ala no sean uniformes (constantes).
Adicionalmente a lo largo del
eje de la viga la distribución
de compresiones por flexión
en el ala varía.

Por simplicidad el código ACI, a partir de estudios teóricos sobre el comportamiento
elástico (teoría de la elasticidad) define un ancho efectivo del ala “be”
en el cual se puede suponer un esfuerzo uniforme de las compresiones originadas por
la flexión es decir un ancho en el cual la resultante de compresiones (fc máx)(be*hf )
es la misma que se desarrolla en el ancho real
Distribución equivalente de los esfuerzos de compresión en el ala
El ancho efectivo - be - es
valido para la zona de
momentos positivo de la
viga en la cual se producen
compresiones en el ala.

Ancho Efectivo del Ala - be - en Vigas T
Fuente: E-060
La Norma Peruana cubre
lo relativo a vigas “T” en
los artículos 8.10 y 9.9.5

Ancho Efectivo del Ala - be - en Vigas T
Vigas Interiores be no debe de exceder de ½ de la distancia a la siguiente viga
paralela
Vigas de Borde o Exteriores
be no debe de exceder de ½ de la
distancia a la siguiente viga paralela

Análisis de Vigas T
Regiones de momento positivo y negativo en una viga T
La figura muestra la elevación de una viga continua monolítica con la losa maciza
de piso.
Analizando…

Zonas de Momento Negativo – Ala en Tracción
Estas secciones se analizan y diseñan como
rectangulares con b = bw.
Zonas de Momento Positivo – Ala en Compresión
Altura del bloque de compresiones
menor que el espesor del ala
Caso 1 ( a ≤hf ) bloque de compresiones en el espesor del ala.
Existen dos posibilidades dependiendo de la profundidad del bloque equivalente de
compresiones
Es claro que en este caso la
sección se analiza y diseña
como una rectangular con
b = bf.

Altura del bloque de compresiones mayor que el espesor del ala
Caso 2 ( a > hf ): bloque de compresiones en el alma.

Caso 2 ( a > hf ): Sección 1 – Resistencia del Ala
Equilibrio:
Tf = 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦

Caso 2 ( a > hf ): Sección 2 – Resistencia del Alma
Equilibrio:
Tw = 𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦

Finalmente es necesario verificar la fluencia del acero total As en tracción

Cuantía Balanceada en Vigas “T” (Momento Positivo)
Falla balanceada en una sección T:

con 𝑎𝑏 > hf
Equilíbrio: 𝑇𝑠𝑏 = 𝐶𝑐𝑏
Cuantía Balanceada en Vigas “T” (Momento Positivo)
𝐶𝑐𝑏 = 0.85 𝑓𝑐
′
[ (𝑏𝑓 - 𝑏𝑤) ℎ𝑓 + 𝑎𝑏 𝑏𝑤 ]
𝑇𝑠𝑏 = 𝐴𝑠𝑏 𝑓𝑦
Falla balanceada en una sección T:

Acero Máximo
El procedimiento propuesto para calcular Asb en vigas T, se puede adaptar para
cualquier sección con la condición de que el plano de carga sea un eje de simetría
de la sección, el procedimiento consiste en:
a) Calcular la posición del eje neutro en la falla balanceada 𝑐𝑏
b) Calcular, si hubiera acero en compresión, 𝑓𝑠𝑏
′
c) Determinar el área comprimida de concreto en la falla balanceada 𝐴𝑐𝑏
d) Calcular 𝐴𝑠𝑏 a través del equilibrio de fuerzas horizontales:
𝐴𝑠𝑏 𝑓𝑦 = 0.85 𝑓𝑐
′
𝐴𝑐𝑏 + 𝐴𝑠
′
𝑓𝑠𝑏
′
La ecuación se puede transformar para llegar a la expresión que suele presentarse
en los libros de texto:
Limite de la Norma: 𝑨𝒔 𝒎𝒂𝒙 = 0.75 𝑨𝒔𝒃
𝑻
= 0.75 𝑨𝒔𝒃
𝑹
+ 0.75 𝑨𝒔𝒇

Acero Mínimo en Vigas T
La Norma Peruana exige una cantidad mínima de acero en tracción en elementos
sujetos a flexión, tal que: 𝑀𝑛 ≥ 1.2 𝑀𝑐𝑟
+ . Donde 𝑀𝑐𝑟 es momento de
agrietamiento de la sección
A continuación se presenta una metodología aproximada y rápida para el cálculo
del acero mínimo:
En las expresiones de 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛,
se ha supuesto que el brazo
de palanca interno “jd” se
puede estimar como 0.95d.
En vigas T normalmente se
cumple la siguiente relación entre
los momentos de agrietamiento
negativos y positivos:
𝑀𝑐𝑟
−
≈ 2𝑀𝑐𝑟
+
.
secciones T requieren más acero
mínimo negativo que positivo

Procedimiento que se sigue para el diseño de una viga T:
1.- Suponer que el bloque comprimido no ha excedido el espesor de la losa; esto
significa diseñar una viga rectangular de ancho 𝑏𝑓 (incluyendo alma y zona
participante de losa.
2.- Determinar el área de acero requerida para la sección rectangular de ancho b,
se encuentra el valor de “a” mediante el equilibrio.
𝑎 =
𝐴𝑆𝑓𝑦
0.85 𝑓𝑐
′
𝑏
3.- Si el valor de “a” es menor o igual al espesor de la losa (a≤ ℎ𝑓), la suposición
hecha es correcta y el diseño estará concluido.
Si el valor de “a” excede el espesor de la losa (a> ℎ𝑓), estaremos en el Caso 2 ( a
> hf ), la sección 1 esta totalmente determinado siendo su área (𝑏𝑓 - 𝑏𝑤)(a) donde “a” es
igual a ℎ𝑓
𝑀𝑢𝑓 = 𝑀𝑛𝑓
𝑀𝑢𝑤 = 𝑀𝑛𝑤

Procedimiento que se sigue para el diseño de una viga T:
4.- Para esta sección se obtiene el acero 𝐴𝑠𝑓 en tracción que equilibra el bloque
comprimido:
𝐴𝑠𝑓 =
0.85 𝑓𝑐
′
𝑓𝑦
(𝑏𝑓 - 𝑏𝑤) ℎ𝑓
y se obtiene su correspondiente momento requerido 𝑀𝑢𝑓:
𝑀𝑢𝑓 = 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 (d -
ℎ𝑓
2
)
5.- Conociendo el momento ultimo (momento requerido 𝑀𝑢) del análisis, se
obtiene por diferencia el momento requerido 𝑀𝑢𝑤 = ( 𝑀𝑢 - 𝑀𝑢𝑓 )
correspondiente a la sección 2, se calculara el acero requerido en tracción 𝐴𝑠𝑤
para esto se usa todo lo indicado para vigas rectangulares.
𝑎 =
𝐴𝑆𝑤𝑓𝑦
0.85 𝑓𝑐
′
𝑏𝑤
𝐴𝑠𝑤 =
𝑀𝑢𝑤
0.9 𝑓𝑦 (d − 𝑎
2
)
6.- Conociendo 𝐴𝑠𝑓 y 𝐴𝑠𝑤 se sumas estos dos refuerzos obteniéndose el área total
del refuerzo “𝐴𝑠 = 𝐴𝑠𝑓 + 𝐴𝑠𝑤” en la viga real de sección T

Ejemplo: diseño de una viga T:
𝑀𝑢 = 70 ton-m. (tracción abajo)
𝑏𝑓 = 0.80 m.
𝑏𝑤 = 0.30 m.
ℎ𝑓 = 0.10 m.
ℎ = 0.60 m.
Solución:
1.- Suponer que el bloque comprimido no ha excedido el espesor de la losa (a≤ ℎ𝑓)
; esto significa diseñar una viga rectangular de ancho b= 𝑏𝑓
𝑓𝑐
′
= 210 kg/cm2
d = ℎ - 6 = 54 cm.
a = 𝑑 - 𝑑2
−
2 𝑀𝑢
Ø 0.85𝑓𝑐
′𝑏
1/2
= 54 - 542
−
2𝑥7000,000
0.9𝑥0.85𝑥210𝑥80
1/2
= 11.26 cm
Como a > ℎ𝑓 la suposición no es correcta y por tanto se tiene el caso de una viga T, que
podemos diseñarla trabajando con dos vigas (secciones) rectangulares

Solución:
2.- Estaremos en el Caso 2 ( a > hf ), la sección 1 esta totalmente determinado
siendo su área (𝑏𝑓 - 𝑏𝑤)(a) donde “a” es igual a ℎ𝑓
𝐴𝑠𝑓 =
0.85 𝑓𝑐
′
𝑓𝑦
(𝑏𝑓 - 𝑏𝑤) ℎ𝑓 =
0.85𝑥210
4200
(80- 30) 10 = 21.25 cm2
y se obtiene su correspondiente momento requerido 𝑀𝑢𝑓:
𝑀𝑢𝑓 = 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 (d -
ℎ𝑓
2
) = 0.90 x 21.25 x 4200(54-10/2)= 3’935,925 kg-cm
𝑀𝑢𝑓 = 39.36 ton-m.
𝑀𝑢𝑓 = 𝑀𝑛𝑓
𝑀𝑢𝑤 = 𝑀𝑛𝑤

Solución:
sección 2 (2da viga)
Como el momento aplicado es 70 ton-m. y la primera viga (sección 1) absorbe
39.36 ton-m. la segunda viga (sección 2) tomara el momento remanente:
𝑀𝑢𝑤 = 70.00 - 39.36 = 30.64 ton-m.
Este momento será resistido por una viga rectangular de ancho 𝑏𝑤 = 0.30 m.
d = ℎ - 6 = 54 cm.
a = 𝑑 - 𝑑2 −
2 𝑀𝑢
Ø 0.85𝑓𝑐
′𝑏
1/2
= 54 - 542 −
2 𝑥 3,064,000
0.9 𝑥 0.85 𝑥 210 𝑥 30
1/2
= 13.45 cm
𝐴𝑠𝑤 =
𝑀𝑢𝑤
0.9 𝑓𝑦 (d − 𝑎
2
)
=
3,064,000
0.9 𝑥4,200( 54 −
13.45
2
)
= 17.15 cm2
Por tanto la viga real tendrá un refuerzo en tracción igual a:
𝐴𝑠= 𝐴𝑠𝑓 + 𝐴𝑠𝑤 = 21.25 + 17.15 = 38.40 cm2

Requerimientos de la norma Preferencias personales del diseñador
Se presentan algunas recomendaciones aplicables a vigas aisladas o que forman
pórticos sin responsabilidad sísmica: (G. Ottazzi)
a) Es conveniente disponer tanto en la parte inferior como en la superior de la viga.
Armadura corrida que permita el armado de los estribos. La armadura corrida,
de preferencia, no debería ser inferior a dos barras.
c) No es conveniente, dentro de una misma viga, usar barras de diámetros muy
distintos.
b) Es conveniente colocar un número mínimo de barras que guarde relación con el
ancho de la viga. No es razonable, en una viga de por ejemplo 0.6m de ancho
colocar únicamente dos barras de refuerzo de gran diámetro, es mejor trabajar
con más barras de menor diámetro ( por lo menos 4 barras)
Recomendaciones para el armado por flexión

d) El número de varillas que se pueden colocar en cada debe estar de acuerdo con
el ancho de la viga y con el espaciamiento mínimo entre barras.
e) Por el punto de inflexión debe pasar por lo menos la tercera parte del acero
negativo determinado para el apoyo y extenderse más allá de este punto una
distancia no menor de d, 12db ni ln/16

f) Ningún bastón positivo o negativo, debe tener una longitud menor que su
longitud de desarrollo a ambos lados de la sección crítica (momento máximo)
g) La longitud de los bastones debe aproximarse a múltiplo de 0.10m
h) La armadura positiva debe consistir de barras corridas y si fueran necesario
bastones adicionales. A los apoyos debe llegar por lo menos 1/3 (As+)
necesario en la sección de máximo positivo
i) Estas recomendaciones deben modificarse para vigas con responsabilidad
sísmica tal como se especifica el Capítulo 21 de la norma

Fuente: HARMSEN
≥d, 12db
≥d, 12db
≥d, 12db
≥ld
≥ld
≥ld
As ɸMn
Mu

Aligerados
Los aligerados, de gran aceptación en nuestro medio, forman parte de los sistemas
de techado denominados Losas Nervadas
Las losas nervadas o aligeradas se utilizan para reducir el costo del sistema de piso
o techo.
Con las losas nervadas se pueden cubrir luces medianas a grandes con un menor
peso en comparación de las losas macizas
Estos sistemas están cubiertos en el articulo 8.11 de la Norma Peruana. Las Losas
Nervadas que cumplan con lo dispuesto en el artículo, pueden diseñarse
aceptando un incremento en la resistencia al corte del concreto del 10%.
En caso contrario los nervios deberán diseñarse como vigas y la losa superior
como una losa continua apoyada sobre los nervios.
Se presentan algunas recomendaciones : (G. Ottazzi)
Flexión Simple – Aligerados

Aligerados

Geometría de los aligerados convencionales utilizados en nuestro medio.
El espaciamiento libre entre las viguetas de 0.30 m obedece a las dimensiones del
ladrillo o bloque para techo que se fabrica en nuestro medio.
Aligerados – Geometría típica

Fuente: A. Blanco
Geometría de los aligerados convencionales utilizados en nuestro medio.
La tabla resume los espesores más utilizados en nuestro medio así como el peso
propio aproximado.
Las luces máximas recomendadas en la tabla sirven para el predimensionamiento
del aligerado y han sido tomados del libro del Ing. Antonio Blanco. Estos valores
son fruto de su experiencia y pueden ser usados para predimensionar el aligerado a
cargo de verificar el espesor seleccionado, cuando se haga el diseño definitivo
Aligerados - Peraltes (espesores) más usados en nuestro medio

Fuente:
En muchas ocasiones, además de su peso propio, del piso terminado y de la s/c de
uso, los aligerados pueden estar exigidos por cargas concentradas provenientes del
peso de los tabiques o particiones que se apoyan directamente sobre él.
Cuando el tabique es perpendicular a la vigueta, la carga se modela como
concentrada en cada vigueta.
Aligerados – Cargas de diseño

Fuente:
Cuando el tabique es paralelo a las viguetas, se suele colocar una “viga chata”, la
cual se diseña para resistir íntegramente la carga repartida que produce el tabique,
además de su peso propio.
Aligerados – Cargas de diseño

En la zona de momento negativo la vigueta trabaja como una viga rectangular, la
compresión en el concreto estará contenida íntegramente en el alma.
En el raro caso que el bloque de compresiones ingrese al ala, significará que la
sección es insuficiente para las cargas y luces a cubrir.
En la zona de momento positivo, en la mayoría de los casos (por no decir en todos
los casos), la vigueta también trabaja como rectangular.
Aligerados – Viguetas de distribución.

Acero Mínimo y Acero Balanceado en Aligerados
En la sección anterior se presentó la exigencia de acero mínimo de la Norma E-060.
Esta cantidad mínima de acero, en teoría, también debería usarse en los aligerados
La tabla resume las propiedades de una vigueta típica. Se indica además los aceros
mínimos y balanceados.
Peralte
(h) m
Peralte
Efectivo
(d)
Ig
𝒄𝒎𝟒
𝑴𝒄𝒓
+
Kg-m
𝑴𝒄𝒓
−
Kg-m
𝑨𝒔 𝒎𝒊𝒏
+
𝒄𝒎𝟐
𝑨𝒔 𝒎𝒊𝒏
−
𝒄𝒎𝟐
𝑨𝒔 𝒃
+
𝒄𝒎𝟐
𝑨𝒔 𝒃
−
𝒄𝒎𝟐
0.17 0.14 7,275 185 370 0.34 0.91 9.35 2.97
0.20 0.17 11,800 260 505 0.41 1.01 10.00 3.61
0.25 0.22 22,700 405 750 0.53 1.15 11.05 4.67
0.30 0.27 38,430 580 1030 0.65 1.28 12.11 5.74
∅ 𝑀𝑛 ≥ 1.2 𝑀𝑐𝑟

En general los acero mínimos positivos de la tabla, son fáciles de cumplir. Aun
cuando el análisis indique una cantidad necesaria de acero positivo menor que la
mínima, conviene respetar el acero mínimo, ya que para aligerados de 0.17, 0.20,
0.25 bastará con 1φ ⅜” corrido y menos de esto no se suele colocar. Para
aligerados de h = 0.30 bastará con 1 φ ½” o 2 φ ⅜”
El acero mínimo negativo exigido por la Norma Peruana es demasiado elevado, la
experiencia ha demostrado que los aligerados con armaduras negativas por debajo
del mínimo exigido, se han comportado satisfactoriamente. En este caso puede
utilizarse un acero mínimo igual a 1.3 veces el área de acero requerida por el
cálculo.
Acero Mínimo y Acero Balanceado en Aligerados

Ensanches por Cortante y Flexión en Aligerados
Los ensanches son zonas en la vecindad de los apoyos de los aligerados, en las que
se retiran los bloques de relleno (ladrillos) y se reemplazan por concreto vaciado
en sitio. De esta forma se obtiene una banda paralela a los apoyos que se
comporta como una losa maciza.
Vista en planta de los ensanches corridos y alternados

Cortes en la zona de los ensanches
Las longitudes L1 y L2 de los
ensanches corridos o alternados
indicadas en la figura, deben
determinarse por cálculo.

Normalmente los ensanches en los aligerados se utilizan para mejorar la capacidad
de las viguetas frente a los esfuerzos originados por las fuerzas cortantes
En los aligerados, toda la fuerza cortante debe ser resistida por el concreto del alma
de las viguetas, ya que no se utiliza refuerzo de acero para soportar el cortante que
no sea capaz de resistir el concreto. En otras palabras no se utilizan estribos
La fuerza cortante que soporta el concreto del alma de las viguetas de los
aligerados convencionales viene dado, de acuerdo a la Norma, por:
Cuando la fuerza cortante Vu es mayor que φVc será necesario emplear ensanches
en las viguetas.
Ensanches por Cortante

a) Los aligerados no llevan refuerzo corrido en la parte superior, salvo en las
situaciones en las cuales se presente inversión de momentos
e) La armadura negativa debe consistir de, en bastones con barras de a lo sumo
dos diámetros iguales o distintos . Por el punto de inflexión debe pasar por lo
menos la 1/3As- determinado para el apoyo y extenderse más allá de este punto
una distancia no menor de d, 12db ni ln/16
c) La armadura positiva por flexión no debe ser menor al As+min. El
requerimiento de la norma para el As-min, puede resultar excesivo, en estos
casos conviene colocar alrededor de 1.3 As_calculado
b) En la losa superior, perpendicular a la armadura principal, debe colocarse, sin
excepción y como mínimo la armadura de retracción y temperatura
d) Los aligerados se arman, con barras de menor diámetro.
Recomendaciones para aligerados convencionales
f) La armadura positiva consiste en por lo menos una barra corrida y si fuera
necesario un solo bastón adicional. Al apoyo debe llegar por lo menos 1/3𝐴𝑠
+
necesario para la sección de máximo positive.
En la vigueta de 10cm de ancho no se puede acomodar más de dos barras de refuerzo interior.
La selección de los bastones, obedece a las mismas reglas dadas para el acero negative.

Las estructuras de concreto armado poseen monolitismo e hiperestaticidad
(redundancia).
….cuando algunas secciones de un elemento estructural, se sobrecarguen más
allá de su resistencia, este pueda encontrar trayectorias alternas para soportar las
cargas sin colapsar, a esto se le llama redistribución, cuando ésta no es posible
se debe proveer un mayor grado de seguridad.
La redundancia en una estructura permite la redistribución de las fuerzas
internas en la eventualidad de una sobrecarga accidental no prevista, así se
logra un mayor grado de seguridad al colapso.
Los nudos de los pórticos de concreto armado casi siempre son rígidos lo cual
origina una alta redundancia.
Flexión – Redistribución de momentos.

…………..utilizamos métodos de análisis que son aplicables a estructuras con
comportamiento lineal elástico, ignorando por ejemplo el efecto de la
redistribución de fuerzas internas que se produce en una estructura con
comportamiento inelástico.
El alcanzar la capacidad última (resistencia suministrada) de una sección de
un elemento estructural, no significa necesariamente que el elemento en cuestión
falle o colapse
Por ejemplo, en una viga continua o hiperestática se puede alcanzar la
resistencia de una sección y la viga puede seguir recibiendo más carga por su
capacidad de redistribuir los momentos.
….las secciones que primero alcancen su resistencia deben tener ductilidad
suficiente para soportar rotaciones inelásticas sin fallar y permitir así la
redistribución de los momentos hacia otras secciones que tienen reserva de
resistencia.
Cómo ocurre?

Si una estructura hiperestática es dúctil, mediante la redistribución de
momentos, puede modificarse la distribución de momentos flectores que se
obtiene del análisis elástico.
Redistribución de los momentos flectores.
Si las secciones que componen la viga tienen una ductilidad adecuada, puede
modificarse el diagrama de momentos proveniente del análisis elástico aliviando
por ejemplo los momentos negativos y transfiriendo la reducción hacia la zona
de momentos positivos.
Esto se puede lograr solamente si las secciones donde se reducen los momentos
negativos tienen la capacidad de soportar rotaciones inelásticas sin fallar.

Fuente: E-0.60

Norma E.020 – Cargas vivas mínimas repartidas

Metrado de carga
𝑤𝑐𝑚 = 0.40 m x 0.40 tn/m2 = 0.16 tn/m de vigueta
𝑤𝑐𝑣 = 0.40 m x 0.40 tn/m2 = 0.16 tn/m de vigueta
: Carga muerta
: Carga viva
: Carga muerta
Carga por unidad de longitud

Metrado de carga – Franja 1
Cargas de servicio sobre una vigueta
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
b.- carga viva o sobre carga CV
Primer estado: CV1
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
Primer estado: CV2
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
Primer estado: CV3
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
𝑤𝑐𝑚 = 0.16 tn/m
𝑃𝑐𝑚 = 0.27 tn
𝑤𝑐𝑣 = 0.10 tn/m

Combinación de cargas sobre una vigueta
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
b.- carga viva o sobre carga: CV1
Comb1: 1.4 CM +1.7 CV1
a.- carga muerta CM
Comb2: 1.4 CM +1.7 CV2
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
x 1.4
x 1.7
x 1.4
x 1.7
𝑃𝑐𝑚 = 0.27 tn
𝑃𝑐𝑚 = 0.27 tn

Comb3: 1.4 CM +1.7 CV3
b.- carga viva o sobre carga: CV1+CV2
Comb4: 1.4 CM + 1.7 CV1 + 1.7 CV2
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
x 1.4
𝑃𝑐𝑚 = 0.27 tn
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
x 1.4
𝑃𝑐𝑚 = 0.27 tn
x 1.7
x 1.7

Comb5: 1.4 CM +1.7 CV2 + 1.7 CV3
b.- carga viva o sobre carga: CV2 + CV3
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
x 1.4
𝑃𝑐𝑚 = 0.27 tn
x 1.7
Comb6: 1.4 CM + 1.7 CV1 + 1.7 CV2 + 1.7 CV3
b.- carga viva o sobre carga: CV1 + CV2 + CV3
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
x 1.4
𝑃𝑐𝑚 = 0.27 tn
x 1.7

ENVOLVENTE: Comb1 + Comb2 + Comb3 + Comb4 + Comb5

Cargas de servicio sobre una vigueta
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
b.- carga viva o sobre carga CV
Primer estado: CV1
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
Primer estado: CV2
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
Primer estado: CV3
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.

4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
Comb1: 1.4 CM +1.7 CV1
a.- carga muerta CM
Comb2: 1.4 CM +1.7 CV2
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
x 1.4
x 1.7
x 1.4
x 1.7
𝑃𝑐𝑚 = 0.27 tn

Comb3: 1.4 CM +1.7 CV3
b.- carga viva o sobre carga: CV1+CV2
Comb4: 1.4 CM + 1.7 CV1 + 1.7 CV2
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
x 1.4
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
x 1.4
x 1.7
x 1.7

Comb5: 1.4 CM +1.7 CV3
b.- carga viva o sobre carga: CV2 + CV3
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
ENVOLVENTE: Comb1 + Comb2 + Comb3 + Comb4 + Comb5
4.50 m. 4.50 m. 4.50 m.
a.- carga muerta CM
x 1.4
x 1.7

Metrado de carga muerta “CM” – Para un Análisis y diseño con SAP - ETABS
𝑤𝑐𝑚 = 0.40 m x 0.10 tn/m2 = 0.040 tn/m de vigueta
𝑤𝑐𝑚 = 0.008 m/ 0.30 tn/m2 = 0.027 tn/m de vigueta
Carga por unidad de longitud
ൡ
Piso terminado = 0.1 tn/m2
Peso del ladrillo 30x30x15 = 0.008 tn.
Tabiquería 0.15x2.50x1.80 = 0.675 tn/m
Franja tributaria = 0.40 m
Carga Muerta:
𝑃𝑐𝑚 = 0.40 m x 0.675 tn/m2 = 0.270 tn/m de vigueta

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