Física para bachillerato estudios superiores

1. Semana 1: Tema 1: Vectores
 1.1 Vectores y adición de vectores
 1.2 Componentes de vectores
 1.3 Vectores unitarios
 1.4 Multiplicación de vectores

2. Vectores
 Los vectores son cantidades que tienen
tanto magnitud como dirección y
sentido y que siguen ciertas reglas de
combinación.
 Ejemplos: fuerza, velocidad,
aceleración, campo eléctrico, campo
magnético, etc.

3. Representación gráfica de
un vector

4. Componentes rectangulares

5. En tres dimensiones

6. SUMA DE VECTORES
(GRÁFICAMENTE)

7. SUMA(RESTA) DE VECTORES
(GRÁFICAMENTE)

8. Propiedades de la Suma de Vectores
)
asociativa
(ley
f
)
e
d
(
)
f
e
(
d
b)
a)
commutativ
(ley
a
b
b
a
a)



















9. Vectores unitarios
 Todo vector que tenga magnitud igual a
la unidad de medida se define como
vector unitario.
 Ejemplo:
 En general todo vector es
un vector unitario


 u
n
n

10. Ejemplo 1.1:
¿Cuáles son las componentes de un
vector a en el plano xy si su dirección es
de 252° antihorario del eje x positivo y su
magnitud es de 7.34 unidades?

11. Respuesta :
:
gráfica
siguiente
la
hacer
podemos
piden
que
lo
entender
Para
.
a
y
a
hallar
debemos
,
a
es
vector
nuestro
si
decir,
es
res,
rectangula
s
componente
las
pidiendo
esta
problema
El
:
Solución
Unidades
7.34
Magnitud
,
252
:
Datos
y
x





12. 98
.
6
y
27
.
2
:
obteniendo
)
252
(
34
.
7
y
)
252
cos(
34
.
7
:
valores
do
sustituyen
)
(
y
)
cos(
:
tenemos
gráfica
la
de
partir
A
0
0








y
x
y
x
y
x
a
a
sen
a
a
asen
a
a
a 
















j
i
a
a
a
sen
a
y
x
y
x
98
.
6
27
.
2
a
:
Respuesta
98
.
6
y
27
.
2
:
obteniendo
)
18
cos(
34
.
7
y
)
18
(
34
.
7
decir
es
salen,
no
cálculo
los
en
pues
s
componente
las
de
signos
los
presente
tener
debemos
caso
este
en
,
18
de
ángulo
el
con
trabajar
podemos
también
que
Observen
0
0

13. Ejemplo 1.2:
La componente “x” de cierto vector es de
-25 unidades y la componente “y” es de
43 unidades. ¿Cuál es la magnitud del
vector y el ángulo entre su dirección?

14. Respuesta:
       
83
.
59
)
25
43
(
tan
)
(
tan
74
.
49
43
25
:
que
saber
Debemos
:
Solución
y
piden
nos
,
43
y
25
que
tenemos
b
:
como
vector
nuestro
os
consideram
Si
:
Datos
1
1
2
2
2
2

















x
y
y
x
y
x
b
b
b
b
b
b
b
b



15. :
problema
del
gráfica
ción
representa
una
Hagamos
0
0
0
0
120.17
y
49.74
b
:
Respuesta
17
.
120
83
.
59
180
180
:
tenemos
positivo
x
eje
el
desde
es
respuesta
nuestra
Como











16. Ejemplo 1.3
Una pieza pesada de maquinaria es
elevada y deslizada a lo largo de 13 m en
un plano inclinado orientado a 22° de la
horizontal, como se muestra. (a)¿A qué
altura de su posición original es
levantada? (b)¿A qué distancia se movió
horizontalmente?

18. Respuesta
m.
12
b)
y
5m
a)
:
Respuesta
5
86
.
4
)
22
(
13
:
tenemos
caso
este
en
y
opuesto
cateto
el
con
relacionar
puede
se
sube
que
lo
es
Como
12
)
22
cos(
13
:
que
lo
por
dado
ángulo
al
adyacente
cateto
el
con
relacionar
puede
se
pieza
la
avanza
que
lo
es
Como
:
Solución
?
b)
y
?
a)
;
22
;
13
:
Datos
m
sen
L
L
m
L
L
L
L
m
L
y
y
x
x
x
y











 

19. Ejemplo 1.4:
Una partícula viaja 20 km hacia el norte y
después 35 km en dirección 60° al oeste
del norte. Encuentre la magnitud y
dirección del desplazamiento resultante.

20. Respuesta:
Norte
del
Oeste
al
60
;
35
;
90
;
20
:
Datos





 
 km
b
km
a










b
a
c
ento
desplazami
un
de
dirección
y
magnitud
piden
Nos
.
150
90
ángulo
un
de
hablando
estaríamos
x,
las
de
positivo
eje
el
desde
b
de
ángulo
el
tomamos
si
que
decir
es



21.     km
j
i
c
b
a
c
b
a
c
sen
b
b
a
a
y
y
y
x
x
x
y
x
y
x
02
.
48
5
.
37
30
5
.
37
30
5
.
37
y
30
:
decir
es
5
.
17
)
150
(
35
y
-30
)
150
cos(
35
20
y
0
:
Solución
2
2























22. :
que
de
hecho
el
empleamos
ento
desplazami
vector
del
dirección
la
hallar
Para














 

129
48km;
:
Respuesta
128.66
51.34
-
180
:
obtenemos
positivo
x
eje
al
Respecto
;
34
.
51
30
5
.
37
tan
)
(
tan 1
1
x
y
c
c


23. Ejemplo 1.5:
Dos vectores están dados por
y .
Halle:
(a) , (b) ,
( c) un vector tal que .






 k
j
i
a 3
4







 k
j
i
b 4


 b
a


 b
a

c






 0
c
b
a

24. Respuesta:
   
 
   
  .
k
3
j
4
i
5
k
4
1
j
1
3
i
1
4
k
4
j
i
k
j
3
i
4
b
a
b)
.
k
5
j
2
i
3
k
4
1
j
1
3
i
1
4
k
4
j
i
k
j
3
i
4
b
a
a)
:
Solución
0
c
b
a
:
que
tal
c
Hallar
c)
y
?
b
a
b)
;
?
b
a
a)
;
k
4
j
i
b
y
k
j
3
i
4
a
:
Datos




























































































































25. 



























k
3
j
4
i
5
b
a
c
0
c
b
a
c)

26. Ejemplo 1.6:
Hallar el vector unitario que se
encuentra en la dirección del vector
.

u






 k
j
i
n 3
3

27. Respuesta:
:
pide
se
que
lo
ilustrar
a
ayuda
gráfica
idea
La
:
Solución
k
j
3
i
3
n
de
dirección
la
en
cuentra
en
se
;
?
u
:
Datos











28.      
























k
j
i
k
j
i
n
n
u
n
n
n
n
23
.
0
69
.
0
69
.
0
36
.
4
3
3
:
manera
siguiente
la
de
procedemos
,
de
dirección
la
en
unitario
un vector
hallar
Para
unitario.
un vector
es
no
luego
,
1
36
.
4
1
3
3
:
de
magnitud
la
Hallemos
2
2
2

29. Ángulos directores

30. Ejemplo 1.7:
Hallar los ángulos directores del vector
.






 k
j
i
n 3
3

31. Respuesta:

























74
.
76
)
36
.
4
1
(
cos
y
52
.
46
)
36
.
4
3
(
cos
:
te
Análogamen
52
.
46
)
36
.
4
3
(
cos
:
decir
es
)
(
cos
)
cos(
)
cos(
Como
:
Solución
k
j
3
i
3
n
vector
del
y
;
Hallar
:
Datos
1
1
1
1









n
n
n
n
n
n x
x
x

32. Multiplicación de vectores
 Un vector por un escalar
 Producto punto o producto escalar
 Producto cruz o producto vectorial

33. Un vector por un escalar
 El producto de una escalar por
un vector , escrito , se
define que es un nuevo vector cuya
magnitud es
 . El nuevo vector tiene el
mismo sentido que si es
positivo y el sentido opuesta si es
negativo.
c

a c

a
c a

a
c 
a c
c

34. Producto punto o producto
escalar
 Se define como:
z
z
y
y
x
x b
a
b
a
b
a
b
a 





)
cos( 





ab
b
a

35. Ejemplo 1.8:
Use las ecuaciones anteriores para
calcular el ángulo entre los dos vectores
.













 k
j
i
b
k
j
i
a 3
2
y
3
3
3

36. Respuesta:
         
        
  
















 





















































































26
.
22
45
.
19
18
cos
74
.
3
2
.
5
3
3
1
3
2
3
cos
3
1
2
3
3
3
.
k
3
j
i
2
k
3
j
3
i
3
cos
b
a
cos
)
cos(
b
a
:
despejando
),
cos(
b
a
:
que
Conocemos
:
Solución
.
k
3
j
i
2
b
y
k
3
j
3
i
3
a
vectores
los
entre
o
comprendid
?,
Hallar
:
Datos
1
1
2
2
2
2
2
1
1
ab
ab
ab






37. Producto cruz o vectorial
 Se define como:

z
y
x
z
y
x
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
a
c









)
sen(
ab
b
a
c 





38. Ejemplo 1.9:
Tres vectores suman cero, como se
ilustra. Calcule
(a) ,
(b) , y
( c ) .


 b
a


 c
a


 c
b

39. Respuesta:








































k
12
0
3
0
0
0
4
k
j
i
b
a
luego
j
3
b
y
i
4
a
:
tenemos
,
a
de
inicio
el
en
origen
el
Suponiendo
:
vía
Otra
k
12
k
)
90
(
b
a
:
xy
plano
el
en
están
que
Suponiendo
a)
:
Solución
c
b
c)
y
c
a
b)
;
b
a
a)
hallar
,
0
c
b
a
:
Datos
absen

40. :
decir
es
origen,
mismo
del
saliendo
vectores
los
poner
e
convenient
es
caso
este
para
,
?
b)




 c
a
  


























k
12
k
)
13
.
143
(
5
4
k
)
13
.
143
(
c
a
:
Luego
143.13
36.87
-
180
-
180
luego
,
180
además
,
87
.
36
)
4
3
(
tan
que
Observa 1
sen
acsen






41. :
decir
es
origen,
mismo
del
saliendo
vectores
los
poner
e
convenient
es
caso
este
para
,
?
c)




 c
b
  

















k
99
.
11
k
)
87
.
126
(
5
3
k
)
87
.
126
(
c
b
:
luego
;
87
.
126
87
.
36
90
caso
este
En
sen
bcsen


42. Ejemplo 1.10:
Se tienen dos vectores en el plano, cuya
suma es el vector c=(3, -5), y de tal forma
que uno de los vectores sumando tiene
una magnitud de 3 y su ángulo director es
de 1.3 rad. Determine el ángulo, en rad,
que hace el vector resultante con el
segundo de los vectores.

43. Respuesta:




























j
i
j
sen
i
j
asen
i
a
a
a
b
a z
z
89
.
2
8
.
0
)
3
.
1
(
3
)
3
.
1
cos(
3
)
(
)
cos(
:
decir
es
,
a
vector
del
res
rectángula
s
coordenada
las
hallar
podemos
,
y
a
Con
:
Solución
.
b
y
c
hace
que
radianes
en
,
Hallar
rad.
1.3
,
3
sea
,
c
b
a
que
tal
,
0
donde
,
b
y
a
vectores
dos
los
Sea
:
Datos






44.   
rad.
26
.
0
)
83
.
5
19
.
8
05
.
46
(
cos
)
(
cos
:
obtenemos
despejando
),
cos(
:
decir
es
escalar,
producto
el
emplear
debemos
vectores
dos
entre
ángulo
el
hallar
Para
89
.
7
y
2
.
2
:
luego
,
89
.
7
2
.
2
)
89
.
2
8
.
0
(
5
3
decir
es
,
5
3
89
.
2
8
.
0
que
tenemos
,
Como
1
-
1
-








































bc
c
b
bc
c
b
b
b
j
i
j
i
j
i
b
j
i
b
j
i
c
b
a
y
x




45. Ejemplo 1.11:
El producto vectorial de dos vectores es
c=(-4, 2, 0) ,de tal forma que uno de los
factores es a =(0,0,-1), determina al
segundo de los factores si su magnitud es
igual a 5.

46. Respuesta:
?
y
4
,
2
:
que
concluye
se
aquí
de
2
4
)
(
1
0
0
b
a
:
Solución
5.
b
si
,
b
hallar
,
c
b
a
que
tal
,
b
y
a
vectores
los
Sean
:
Datos





































z
y
x
x
y
y
x
z
y
x
b
b
b
j
i
j
b
i
b
i
b
j
b
b
b
b
k
j
i

47. 5
4
2
b
y
5
4
2
b
:
problema
el
por
dadas
s
condicione
las
satisfacen
que
vectores
dos
Existen
:
Respuesta
5
:
decir
es
b
5
b
20
25
b
16
4
5
5
b
Como
2
1
2
z
2
z
2
z




























k
j
i
k
j
i
bz

48. Ejemplo 1.12: Cap3 Servey N°4.
Dos puntos en el plano tienen coordenadas polares (2.50m;30.0°)
y (3.80m;120.0°). Determine a) las coordenadas cartesianas de
estos puntos y b) la distancia entre ellos.
Ejemplo 1.13: Cap3 Servey N°10.
Un avión vuela desde su campamento base hasta el lago A, a una
distancia de 280 km en una dirección de 20.0° al norte del este.
Después de dejar caer provisiones vuela hacia el lago B, ubicado
a 190 km y 30.0° al oeste del norte desde el lago A. Determine
gráficamente la distancia y la dirección desde el lago B al
campamento base.
Ejemplo 1.14: Cap3 Servey N°14.
Un perro que busca un hueso camina 3.5 m hacia el sur, después
8.2 m en un ángulo de 30.0° al norte del este y finalmente 15.0 m
al oeste. Encuentre el vector desplazamiento resultante del perro
utilizando técnica gráficas.

49. Ejemplo 1.15: Cap3 Servey N°30.
El vector A tiene componentes y de -8.70 cm y 15.0 cm,
respectivamente; el vector B tiene componentes x y y de 13.2
cm y -6.6 cm, respectivamente. Si A - B + 3C=0, ¿Cuáles son
las componentes de C?
x y
Ejemplo 1.16: Cap3 Servey N°36.
Un mariscal de campo toma el balón desde la linea de golpeo,
corre hacia a tras 10 yardas y después recorre 15 yardas en
paralelo a la misma línea de golpeo. En este punto lanza un
pase recto de 50 yardas dentro del campo, perpendicular a la
línea de golpeo. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento
resultante del balón de futbol?

50. Ejemplo 1.17: Cap3 Servey N°40.
Usted se encuentra de pie sobre el piso en el origen de un
sistema coordenado. Un aeroplano vuela sobre usted con
velocidad constante paralela al eje x y a una altura constante de
. En t = 0 el aeroplano está directamente encima
de usted, por lo que el vector desde usted al aeroplano está
dado por . En t = 30.0 s, el vector de
posición que parte de usted al aeroplano es de
Determine la magnitud y orientación del vector posición del
aeroplano en t = 45 s.
m
10
60
.
7 3




 j
P )
m
10
60
.
7
( 3
0






 j
i
P )
m
10
60
.
7
(
m)
10
04
.
8
( 3
3
30

51. Vectores
 El profesor orientará la tarea y cuando
deberás hacer el examen
correspondiente a esta Tarea.
 Fin del Tema 1