Este documento define y proporciona ejemplos de diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones pares e impares, funciones periódicas, funciones sobreyectivas, funciones inyectivas, funciones biyectivas y funciones crecientes y decrecientes. Explica que una función es par si f(-x)=f(x), impar si f(-x)=-f(x), y periódica si f(x+T)=f(x) para algún período T. También define funciones sobreyectivas, inyectivas y biyectivas en términos de

2. 1 Función Par
Una función f se denomina Función Par si:
i) 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 → −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
ii) 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)
Por ejemplo:
𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
Son funciones pares
NOTA.- Su gr ́afica es sim ́etrica respecto al EJE Y

3. 2 Función Impar
Una función f se denomina Función Impar si:
i) 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 → −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
ii) 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
Por ejemplo:
f(x) =x3
f(x) =senx
f(x) =xn, n es impar
Son funciones impares
NOTA.- su gr ́afica es sim ́etrica respecto al origen de coordenadas
Ejemplo1
¿Es par o impar la función 𝑓(𝑥) = (𝑥|𝑥| +
1
𝑥
𝑆𝑒𝑛(𝑥2
)?
Solución
Domf=<−∞,0>⋃<0,∞>. se cumple que:
i) 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 → −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑉á𝑙𝑖𝑑𝑎)
ii) 𝑓 −𝑥 = −𝑥 −𝑥 +
1
−𝑥
𝑆𝑒𝑛 −𝑥 2 − 𝑥 𝑥 +
1
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥2
= −𝑓 𝑥
→f es una funci ́on IMPAR

4. 3 Función Periódica
Una función f en R se denomina Función Periódica si existe un número 𝑇 ≠ 0 tal que:
i) 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 → 𝑥 + 𝑇 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
ii) 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓

5. Toda función periódica tiene su gráfica de tal manera que la misma forma
que tiene en un intervalo de longitud T se repite horizontal y periódicamente
en el anterior y en el siguiente intervalo de longitud T.
Tal númeroT recibe el nombre de Período de f
Las funciones SENO y Coseno tienen un período T= 2π; en efecto,
Sen(x+ 2π) =Sen(x),∀x∈R
Cos(x+ 2π) =Cos(x),∀x∈R
También se ve que ±4π, ±6π, ... , 2nπ,n∈Z, son períodos de Seno y
Coseno,siendo 2π el menor período positivo.
Se define como Período mínimo de f al menor de los períodos positivos.

6. Ejemplo.Halle el período mínimo y las gráficas de las funciones:
a)f(x) =|Senx|
solución:
Gráfica def(x) =|Senx|:
de donde: Período Mínimo def(x) =|Senx|esT=π. En efecto, |𝑆𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋)| = | −
𝑆𝑒𝑛𝑥| = |𝑆𝑒𝑛𝑥| → 𝑓(𝑥 + 𝜋) = 𝑓(𝑥). Algo similiar ocurre con 𝑆𝑒𝑛2
𝑥 , 𝐶𝑜𝑠2
(𝑥).

7. 4 Funciones Sobreyectivas
Una función f :A→B se dice que es una Suryectiva o funci ́on Sobre, si elconjunto
Imagen de A, vía f, CUBRE todo el conjunto de llegada B. Es decir, si:
𝑓(𝐴) = 𝐵
Ejemplos1.
La función 𝑓 ∶< −∞, ∞ >→ [0, ∞ >, 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Es Sobreyectiva pues Dom(f)
=<−∞,∞>=A y Ran(f) = [0,∞>=B, es decir : f(A) =B

8. 5 Función Inyectiva
Una función f es Inyectiva si a cada valor en su rango le corresponde
un ́unicovalor en el dominio.
Es decir, si es que existierandos valores en el dominio cuyaimagen es la misma,
vía f,entonces f no es inyectiva.
Definición.-Una función f es Inyectiva si para todo 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓, se cumple
que:
𝑥1 = 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2
O equivalentemente si para 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓:
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) → 𝑥1 = 𝑥2

9. Ejemplo:
La función
f={(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)} es inyectiva
´
6 Función Biyectiva
Se llaman así a todas aquellas funciones f::A→B que son a la vez Inyectivas y
Sobreyectivas

10. 7 Función Creciente y Decreciente)
a) Una función f::R→R es creciente en el intervaloI si para cada par 𝑥1, 𝑥2 ∈
𝐼 con 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
b) Una función f:R→R es decreciente en el conjunto I si para cada par
𝑥_1, 𝑥_2 ∈ 𝐼 con Escriba aquí la ecuación..
Se observa que una funci ́on es creciente si su gráfica es ascendente (de
izquierda a derecha), y es decreciente si su gr ́afica es descendente.

11. Ejemplo:
La función definida por 𝑓 (𝑥) = |𝑥2
− 4|, es creciente en los
intervalos <−2; 0> y < 2; +∞>,y decreciente en los intervalos
<−∞;−2> y <0; 2>
Los intervalos de crecimiento (intervalos donde la función es
creciente o decreciente) son intervalos abiertos.