Este documento presenta una introducción a las funciones matemáticas y sus tipos principales. Explica que las funciones son herramientas importantes para resolver problemas en diversas áreas. Luego define la noción básica de función y describe varios tipos como funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, crecientes, decrecientes, constantes, periódicas, acotadas y cuadráticas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
UNIDAD DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
ÁREA DE EDUCACIÓN Y SERVICIOS
MÁTEMATICAS
NOMBRE:
Evelyn Albán Evelyn Chisaguano
Mónica Cargua Nataly Cabadiana
PARALELO:
EM2
DOCENTE:
Ing. Paulina Robalino
TEMA:
Proyecto de Matemáticas
2do Semestre 2016

2. INTRODUCCIÓN
El hecho de que hoy la Matemática sea una ciencia en sí misma no debe
hacer olvidar que el pensamiento matemático se ha desarrollado, a lo largo
de la Historia, debido a las necesidades de otras ciencias para explicar los
diferentes fenómenos (tanto físicos como sociales). Por esta razón, las
Matemáticas proporcionan la base necesaria para estructurar y comprender
otras ramas de la Ciencia y para profundizar en el desarrollo de nuestra
Cultura.
Las funciones matemáticas son muy importantes, de mucho
valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de
finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de
química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social
donde haya que relacionar variables.

3. FUNCIÓN
Una función , en matemáticas, es el término usado para indicar la
relación o correspondencia entre dos o más cantidades.
Para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe
cumplir dos condiciones, a saber:
• Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento debe ser única. Es decir, ningún
elemento del dominio puede tener más de una imagen.
• El conjunto formado por todos los elementos de B que son
imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto
imagen o recorrido de f.

4. TIPOS DE FUNCIONES
Sobreyectiva
Biyectiva
Inyectiva Acotada
Constante
Periódica
Par e ImparCreciente y Decreciente

5. Función Inyectiva
• En matemáticas, una función es
inyectiva si a elementos distintos del
conjunto X les corresponden
elementos distintos en el conjunto Y
de f. Es decir, cada elemento del
conjunto Y tiene a lo sumo una pre
imagen en X, o, lo que es lo mismo,
en el conjunto X no puede haber dos
o más elementos que tengan la
misma imagen.
Figura 1: Representación de la función inyectiva y no inyectiva.

6. • De manera más precisa, la función f: XY es inyectiva si, sólo
si a,b son elementos de X tales que f(a)=f(b), entonces a=b.
• Equivalentemente la función f: X Y es inyectiva si, sólo
si a,b son elementos diferentes de X, entonces f(a) no es igual a
f(b)

7. Ejemplo:
X -2 -1 0 1 2
f(x) 2 -1 -2 -1 0
Tabla 1.
Tabla de valores.
Determinar si la siguiente función es o no inyectiva f(x)=x2-2
Figura 2: Representación gráfica de la función sobreyectiva

8. Función Sobreyectiva
• Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación
de elementos del dominio con elementos del condominio,
imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio
con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio
puedan estar relacionados con dos o más del codominio.
• Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para
cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en
otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.
• Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento
del dominio por lo menos.

9. Ejemplo:
g(x) = 𝑥3
− 5
g(x) Y
2 3
1 -4
0 -5
-1 -6
Tabla 2
Tabla de valores.
Figura 3: Representación gráfica de la función sobreyectiva

10. Función Biyectiva
• Una función “ f” es biyectiva si es
al mismo
tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es
decir, si todo elemento del conjunto
final Y tiene un único elemento del
conjunto inicial X al que le
corresponde (condición de función
sobreyectiva) y todos los elementos
del conjunto inicial X tiene una
única imagen en el conjunto
final Y (condición de función
inyectiva).
Figura 4: Conjuntos para reconocer una función biyectiva

11. Ejemplo:
Sea la función f(x) = 2x definida en los números reales. Esta función es biyectiva.
• Figura 5: representación gráfica de una función.

12. Entonces ahí es biyectiva
Determinar si la función f(x) = 3x + 2
es inyectiva:
Solución:
Veamos: f(x) es inyectiva ⇔ f(x1) =
f(x2) ⇒ x1 = x2
↓ ↓
3x1 + 2 = 3x2
+ 2
⇒ x1 = x2 ✓
.:. f(x) = 3x + 2 es
inyectiva
Determinar si: f(x) = 3x + 2 , es
sobreyectiva:
• Hacemos f(x) = y
⇒ y = 3x + 2
Despejamos "x":
⇒ x = (y - 2)/3
Luego, para que f(x) sea sobreyectiva,
debe cumplirse que:
f(x) = f [ (y - 2)/3 ] = y
⇒ 3(y - 2)/3 + 2 = y
⇒ y - 2 + 2 = y
⇒ y = y ✓
Por lo tanto: f(x) es sobreyectiva

13. Función Creciente y Decreciente
Figura 6: representación de una función creciente y decreciente

14. Función Creciente
• Una función f es creciente si al
aumentar la variable independiente x,
aumenta la dependiente y. Es decir la
función f es creciente en un intervalo
[a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera
del mismo, x1 y x2, con la condición
x1 x2, se verifica que f( x1 ) < f( x2 ).
• Se dice estrictamente creciente si de
x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).
Sea la función: y= x2 + 2x
Figura 7: representación gráfica de una función creciente

15. Función Decreciente
Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para
cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 x2,
entonces f(x1 ) f(x2 ).
Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1)> f(x2), la función se
dice estrictamente decreciente.

16. Sea la función: y=
1
4
𝑥2 – 2x
Figura 8: representación gráfica de una función decreciente

17. Función Constante
• En matemática se llama función constante a aquella función que
toma el mismo valor para cualquier valor de la variable
independiente.
• La función constante toma cualquier valor de la variable
independiente (x), la variable dependiente (f(x)) no cambia, es
decir, permanece constante.
• Sea: El dominio de esta función es el conjunto de todos los
reales, y el contra dominio es únicamente el real c.

18. Ejemplo:
Figura 9: Representación de una función constante.
x f(x)
-3 -2
-1.75 -2
-1 -2
0 -2
1 -2
2.99 -2
-3
-2
-1
0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
Sea la función f(x)=-2 , encontrar su representación tabular y
gráfica.
Tabla 3
Tabla de valores

19. Características de una función constante:
• La variable dependiente y toma siempre el mismo valor, sea
cual sea el valor de la variable independiente x.
• Su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas, que corta al
eje de ordenadas en el punto ( 0, k )
• La pendiente m de este tipo de funciones es igual a cero por ser
la diferencia entre las ordenadas, de dos puntos cualesquiera de
la recta, cero.
• Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada
valor de x le corresponde siempre el valor a.
• El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a
“Todos los reales”.
• Es una Función Continua.

20. Función Par o Impar
• Función Par.
Se dice que una función es par si: f(x) = f(-x)
Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con
respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de
una reflexión sobre el eje y.
Figura 10: representación gráfica de una función par

21. • Función Impar.
Una función impar es cualquier función que satisface la relación:
Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría
rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que
su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del
origen.
Figura 11: representación gráfica de una función impar

22. • EJEMPLOS
FUNCIÓN PAR
Figura 12: representación gráfica de una función par.

23. • FUNCIÓN IMPAR
f(x) = x3
f(– x) = (–x)3
f(–x) = –x3
f(–x) = –f(x)
Figura 13: Representación gráfica de una función impar.

24. Función Periódica
• Se denomina función periódica a una función cuya representación gráfica
se repite a intervalos regulares. Esta propiedad las hace muy útiles para
entender la multitud de fenómenos periódicos que se dan en nuestro
mundo. Es la función que repite el mismo valor a intervalos regulares de la
variable. Más formalmente, una función f es periódica si existe un número
real P tal que f(x + P) = f(x) para todas las x. Una función f(x) es periódica
si existe un número p tal que pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x. Al
menor número p se le llama período.

25. Ejemplo:
La función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que:
sen (x + 2π) = sen x
Figura 14: representación gráfica de una función periódica.

26. Función Acotada
Función acotada superiormente
Una función f se dice que está acotada superiormente si
existe un número real M tal que:
Este número real M recibe el nombre de COTA SUPERIOR de la
función f. Geométricamente significa que ninguna imagen es
superior al valor M y, por tanto, la gráfica de la función f estará por
debajo de la recta y = M.

27. Figura 15: Representación de una función acotada superior

28. • Funciones acotadas inferiormente
Una función f se dice que está acotada inferiormente si existe un número real
m tal que-
Este número real m recibe el nombre de COTA INFERIOR de la
función f. Geométricamente significa que ninguna imagen es inferior
al valor m y, por tanto, la gráfica de la función f estará por encima de
la recta y = m.

29. Figura 16: Representación gráfica de una función acotada inferior.

30. Funciones Lineales.
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos
los números reales, cuyo codominio son también todos los
números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio
de primer grado.
Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son
números reales, es una función lineal.
Figura 17. Recorrido de la función.

31. Ejemplo:
y = 2x + 3
Tabla de valores de la función
x 1 0 -1
y 5 3 1
Tabla 4. Valores de una función después de haber realizado el procedimiento.
Figura 18.- grafica del ejercicio propuesto.

32. Funciones Cuadráticas
• Es una función que puede ser descrita por una
ecuación de la forma
donde a ≠ 0.
• Es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente
más alto en la variable es 2.

33. Forma factorizada y canónica
Forma canónica Forma Factorizada Forma Polinómica
y = a ( x - xv )2 + yv y = a.( x - x1 ) . ( x - x2 ) y = ax2 + bx + c
Figura 19.- grafica del ejercicio propuesto.

34. Forma Factorizada
Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces.
Dada:
se puede factorizar como:
Siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre
como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x2 sería siempre 1.
x1 y x2 representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ
sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir:

35. Forma canónica
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un
binomio de la siguiente manera:
Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del
vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma
polinómica y se completan cuadrados.

36. Gráfica de la Función
Cuadrática
Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada
parábola.
La forma estándar de una ecuación cuadrática es
Por ejemplo , el valor del coeficiente a es 1, y b y c son 0. Si bien muchas
ecuaciones cuadráticas presentan valores de b y c diferentes de cero, la
gráfica resultante siempre será una parábola.

37. Las parábolas tienen muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar
ecuaciones cuadráticas. Una parábola tiene un punto especial llamado
vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta". Nota que en el vértice, la
parábola cambia de dirección:
Figura 20.- grafica del ejercicio propuesto.

38. El vértice es el punto más alto o más bajo de la curva,
dependiendo si la U se abre hacia arriba o hacia abajo.
un eje de simetría vertical, es una línea imaginaria que
pasa a través de la mitad de la forma de U y la divide en dos
mitades que son imágenes de espejo una de la otra. El eje
de simetría siempre pasa por el vértice. Cualquier par de
puntos con el mismo valor de y estarán a la misma distancia
del eje.

39. y = x2 –2x + 3.
Figura 21.- grafica del ejercicio propuesto.