El documento describe diferentes tipos de funciones como funciones inyectivas, epiyectivas, biyectivas y funciones inversas. También explica conceptos como traslación y simetría de gráficas de funciones, funciones pares e impares y la función parte entera. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.

1. UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
FUNCIONES II
Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-07
TIPOS DE FUNCIONES
FUNCIÓN INYECTIVA
Una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde un valor distinto en
el recorrido de la función, es decir todos los elementos pertenecientes al dominio de la
función tienen imágenes diferentes.
Una función es inyectiva si x1 ≠ x2, entonces f(x1) ≠ f(x2)
FUNCIÓN EPIYECTIVA
Una función es epiyectiva si cada elemento del codominio tiene una pre-imagen
FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva. Las funciones biyectivas admiten
siempre una función inversa.
EJEMPLO: En la tabla de doble entrada
Tipo de Función Inyectiva No Inyectiva
Epiyectiva
(sobreyectiva)
No epiyectiva
A
B
C
D




A
B
C
D
E









A
B
C
D





A
B
C
D

2. 2
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función inyectiva?
2. En el siguiente diagrama sagital, se muestra una función f : A  B
¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A) El dominio de f es {-1, 1, 3, 7}.
B) La imagen de 1 es -3.
C) El recorrido de f es {-3, 0, 1, 2}.
D) f es una función inyectiva.
E) La preimagen de 2 es 3.
A) B) C)
D) E)
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A B
f
0
-3
1
2
1
-1
3
7

3. 3
3. Siendo g: [-1, 4]  [-3, 3] ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función g
biyectiva?
4. ¿Cuál de las siguientes funciones de dominio real, no es inyectiva?
A) f(x) = x
B) f(x) = 3x – 2
C) f(x) = x2
+ 2
D) f(x) = x3
E) f(x) = 2x
5. ¿Cuáles de las siguientes funciones reales son inyectivas?
I) f(x) = x2
, para x en los números reales
II) f(x) =
1
x + 2
, para x ≠ -2.
III) f(x) = 2x + 1 , para x 
1
- , +
2
 

 
 
.
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
A) B)
2
y
x
-1 4
-3
3
E)
y
x
-1 4
-3
3
D)
y
x
-1
4
-3
3
C)
y
x
-1 4
-3
3
y
x
-1 4
-3
3

4. 4
FUNCIÓN INVERSA
Si la función real f(x) es biyectiva, entonces f(x) tiene función inversa que se denota por
f-1
(x).
EJEMPLOS
1. ¿Cuáles de las siguientes funciones con dominio el conjunto de los números reales,
tienen función inversa?
I) f(x) = 3x – 1
II) f(x) = x2
III) f(x) = 2x3
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
2. Si f(x) = 2x – 1, entonces f-1
(x) =
A) 2x + y
B) y + 1
C)
y + 1
2
D)
x + 1
2
E)
x 1
2

3. Si f(x) =
x
x + 1
, entonces f-1
(x) =
A)
y
y + 1
B)
y + 1
y
C)
x + 1
x
D)
y
y 1

E)
x
1 x


5. 5
TRASLACIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES
Sea y = f(x) una función.
 La función y = f(x) + k es la función f desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el
desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el
sentido negativo (fig. 1 y 2).
 La función y = f(x – h) es la función f trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el
desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo
(fig. 3 y fig. 4).
 La función y = f(x – h) + k es la función f desplazada k unidades en el eje y, y
h unidades en el eje x.
Si h y k son positivos, entonces:
EJEMPLOS
1. En la figura adjunta, se tiene la gráfica de la función f(x) = 3x. ¿Cuál es la gráfica de la
función f(x) = 3x + 3?
A) B) C) D) E)
x
y
y = f(x) – k
fig. 2
f
x
y
y = f (x + h)
fig. 4
f
x
y
y = f(x) + k
fig. 1
f
x
y
y = f(x – h)
fig. 3
f
y
x
-1
-2
-3 1 2 3
-2
-3
1
2
3
y
x
-1
-2
-3 1 2 3
-2
-3
1
2
3
y
x
-1
-2
-3 1 2 3
-2
-3
1
2
3
y
x
-1
-2
-3 1 2 3
-2
-3
1
2
3
y
x
-1
-2
-3 1 2 3
-2
-3
1
2
3
y
x
-1
-2
-3 1 2 3
-2
-3
1
2
3

6. 6
2. La figura adjunta muestra la gráfica de la función y = x2
. ¿Cuál es la gráfica de la
función y = (x + 1)2
?
A) B) C) D) E)
3. La figura adjunta muestra la gráfica de la función y = x . ¿Cuál es la gráfica de
y =-1 + x + 2 ?
A) B) C) D) E)
4. La gráfica de la función y = x3
es la que aparece en la figura adjunta. ¿Cuál es la
gráfica de y = (x – 2)3
+ 2?
A) B) C) D) E)
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y y
x
y
x
2
y
x
-2
y
x
2
y
x
-2
2
y
x
2
1
1
y
x
2
8
-8
-2

7. 7
SIMETRÍA DE GRÁFICA DE FUNCIONES
Sea y = f(x) una función.
 La función y = - f(x) es simétrica a la función f(x) respecto al eje x. (fig. 1).
 La función y = f(-x) es simétrica la función f(x) respecto al eje y. (fig. 2).
EJEMPLOS
1 La figura adjunta, muestra la gráfica de la función f(x) = x . ¿Cuál es la gráfica
de f(x) = - -x ?
A) B) C) D) E)
2. En la figura adjunta, f(x) = 3
x está representada gráficamente al lado izquierdo (2a), y
g(x) está representada al lado derecho (2b), la cual es una reflexión de f(x) con
respecto del eje y, ¿cuál(es) de las siguientes funciones tienen como gráfico g(x)?
I) h(x) = 3
-x
II) t(x) = - 3
x
III) u(x) = - 3
-x
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
x
y
x
y
x
y
x
y No está
definida
en lR
x
y
(2a)
y
x
f(x)
(2b)
x
y
g(x)
-f(x)
x
y
fig. 1
f(x)
x
y
fig. 2
f(x)
f(-x)

8. 8
FUNCIONES PARES
Son aquellas que al sustituir la variable independiente por un número y su opuesto, resultan
valores iguales.
FUNCIONES IMPARES
Son aquellas que al sustituir la variable independiente por un número y su opuesto, resultan
valores opuestos.
OBSERVACIÓN: Las funciones pares tienen una gráfica que es simétrica respecto al eje de las
ordenadas, mientras que las funciones impares tienen gráficas simétricas con respecto del
origen del sistema de coordenadas.
EJEMPLOS
1. Si f es una función par, tal que f(5) = 9, entonces -f(-5) es
A) 9
B) -9
C) 5
D) -5
E) No se puede determinar
2. ¿Cuál de las siguientes funciones es impar?
A) f(x) = x3
+ 1
B) f(x) = x2
– 1
C) f(x) = x
D) f(x) = x3
+ 2
E) f(x) = 3x4
– 2
3. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor una función par?
A) B) C)
D) E)
f(x) = f(-x)
f(x) = -f(-x)
x
y
x
y
y
x
y
x
x
y

9. 9
FUNCIÓN PARTE ENTERA
Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor
o igual a x.
Su representación gráfica es
f(x) =  x 
OBSERVACIÓN: A esta función se le llama “función escalonada”.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál es el valor de la expresión [0,85] + [-2,1]?
A) -2
B) -3
C) -1
D) 2
E) 3
2. Sea f(x) = [x – 3], entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)
verdaderas(s)?
I) f(1,75) – f(2,8) = -1
II) f(-1,2) – f(-3,7) = 2
III) f(0) + f(7,2) = 1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
f(x) = [x] con x  lR
1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
y
x
x f(x)
-3  x < -2 -3
-2  x < -1 -2
-1  x < 0 -1
0  x < 1 0
1  x < 2 1
2  x < 3 2
3  x < 4 3

10. 10
3. Sea f la función f(x) = [x] + [-x], entonces f(-1,3) + f(3,6) =
A) 1
B) 0
C) -1
D) -2
E) 2
4. ¿Cuál de las siguientes funciones NO puede representar el gráfico de la figura adjunta?
A) f(x) = [x – 1]
B) f(x) = [x] – 1
C) f(x) = [x – 1] + 1
D) f(x) = [x + 1] – 2
E) f(x) = [x – 2] + 1
1 2 3
-1
-2
-1
-2
1
-3
-3
y
x

11. 11
EJERCICIOS
1. Si la función real g(x) se encuentra representada en la figura adjunta, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Es una función creciente.
II) No es una función inyectiva.
III) Es una función biyectiva.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
2. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función inyectiva?
I) II) III)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
3. En el gráfico de la figura adjunta, están representadas las relaciones h(x), j(x) y k(x),
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) h(x) es una función creciente.
II) j(x) es una función decreciente.
III) k(x) es una función par.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
x
y
h(x)
j(x)
k(x)
x
y
g(x)
y
x
y
x
y
x

12. 12
4. ¿Cuál de las siguientes funciones es una función impar?
A) f(x) = x2
+ 2
B) f(x) = x-4
C) f(x) = 2x2
+ x + 5
D) f(x) = 3x
E) f(x) = -x
5. Sea y = g(x) la función representada en el figura adjunta. ¿Cuál es la gráfica
que mejor representa la función y = g(x + 2) – 5?
A) B) C)
D) E) Ninguna de las anteriores.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y

13. 13
6. El gráfico de la figura adjunta representa la función h(x). ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I) h(x) es una función continua.
II) h(x) es una función inyectiva.
III) h(x) es una función biyectiva.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
7. Si f(x) =
1
2x 1

, con x ≠
1
2
, es una función real, entonces (f o f-1
)(x) =
A) x
B)
x + 1
2x
C) y
D)
x
2 + x
E)
y + 1
2y
8. Si f(x) =
5 x
x

, con x ≠ 0, es una función real, entonces f-1
(x) =
A)
5
y + 1
B)
5 x
x

C)
5
x + 1
D)
x
5 x

E)
5
x 1

h(x)
x

14. 14
9. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones reales es (son) biyectiva?
I) f(x) = 2x3
, con dominio los números reales
II) f(x) = x2
, con dominio los números reales
III) f(x) =
x
3x 1

, con dominio en los números reales distintos de
1
3
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
10. ¿Cuál de las siguientes funciones representa una función sobreyectiva en los números
reales?
A) f: lR:  IR, tal que f(x) = x2
– 1
B) f: lR:  IR, tal que f(x) = |x – 1|
C) f: lR:  IR, tal que f(x) = 3
x + 1
D) f: lR:  IR, tal que f(x) = -x2
– 2x – 1
E) f: lR:  IR, tal que f(x) =
x
1
2
 
 
 
11. Sea f : lR  lR la función definida por f(x) =

-x 4
5
y f-1
su función inversa. ¿Cuál es
el valor de f-1
(-4)?
A) -
8
5
B) 0
C)
26
3
D) -
5
8
E) 16

15. 15
12. Se definen las funciones reales f(x) = x + 1 y h(x) = x – 1. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) f-1
(x) = h(x)
II) h-1
(x) = f(x)
III) (f o h)(x) = x
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
13. Sea la función h : IR IR , tal que h(x) = 3x3
+ 1. ¿Cuál(es) de la(s) siguientes
afirmaciones es (son) verdaderas?
I) h(x) es inyectiva.
II) h(x) es sobreyectiva en los números reales.
III) La función inversa de h(x) es h-1
(x)=
–
3
x 1
3
.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
14. Sea f(x) = (x – 1)2
la función real representada en el gráfico de la figura adjunta. ¿Cuál
de los siguientes gráficos representa al gráfico de la función g(x) = (1 – x)2
?
A) B) C)
D) E)
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x

16. 16
15. Sea f(x) = x + 2, entonces la gráfica de la función g(x) que es simétrica a f(x) con
respecto al eje y es
A) B) C)
D) E)
16. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función inyectiva y no epiyectiva en el
recorrido [a, b]?
A) B) C)
D) E)
1 2 3
-1
-2
-2
1
y
x
2
1 2 3
-1
-2
-2
1
y
x
2
1 2 3
-1
-2
-2
1
y
x
2
1 2 3
-1
-2
-2
1
y
x
2
1 2 3
-1
-2
-2
1
y
x
2
x
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b

17. 17
17. Si la función h(x) = x + 5 se traslada 7 unidades hacia la izquierda y 4 unidades
hacia abajo, entonces la nueva función g(x) corresponde a
A) g(x) = x + 7 + 1
B) g(x) = x 7 + 9

C) g(x) = x 7 + 1

D) g(x) = x 4 2
 
E) g(x) = x + 7 + 9
18. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) a una función f(x) y su función
simétrica g(x) con respecto a la recta y = x?
I) II) III)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
19. El gráfico de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes funciones puede
representar?
I) f(x) = [x + 1]
II) f(x) = [x] + 1
III) f(x) = [x] – 1
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
-2 -1 1 2 3 x
y
-2
4
-3
1
2
3
4
y
f
g
x
1
2
-3
-4 -2 -1 2
1 3 4
3
4
5
y
x
4
1
2
1
-1
-2
4
f
g
f
g
y
x
1
-1
-1
1

18. 18
20. Para que la función h : [2, 
+ [  B, definida por h(x) = 3(x – 2)2
+ 1 sea
sobreyectiva. El conjunto B debe ser igual a
A) [2, +[
B) [1, +[
C) ]-, 2]
D) [0, +[
E) lR
21. Dada la función f: lR  lR dada por f(x) = 5x – 2. ¿Cuál debe ser el valor del
parámetro t de modo que f-1
(x) =
2x – t
10
para todo x real?
A) -4
B) 4
C) 2
D) -2
E) 28
22. Sea f(x) = x + 2, entonces la gráfica de la función f(x – 3) puede estar representada
en
A) B) C)
D) E)
1 2 3
-1
-2
-2
1
y
x
2
1 2 3
-1
-2
-2
1
y
x
2
1 2 3
-1
-2
-2
1
y
x
2
1 2 3
-1
-2
-2
1
y
x
2
1 2 3
-1
-2
-2
1
y
x
2

19. 19
23. Se puede determinar el valor de x, si:
(1) [x] = 3
(2) x es un número entero.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
24. La función f(x) = xn
+ k es una función par, si:
(1) n es par.
(2) k es cero.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
25. La función f(x) es biyectiva, si:
(1) Todos los elementos pertenecientes al dominio de x tienen una imagen distinta.
(2) Todos los elementos del codominio tiene una pre-imagen asociada.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.

20. 20
RESPUESTAS EJEMPLOS
RESPUESTAS EJERCICIOS
PÁG. 11
MT-07
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Ejemplos
Págs.
1 2 3 4 5
2 y 3 A D E C C
4 B D E
5 y 6 B C B E
7 D D
8 B C C
9 y 10 B E D C
1. B 6. E 11. E 16. D 21. A
2. D 7. A 12. D 17. A 22. C
3. A 8. C 13. E 18. C 23. C
4. E 9. C 14. D 19. B 24. A
5. C 10. C 15. A 20. B 25. C