1) El documento describe los errores en sistemas de medición que contienen múltiples elementos. Si los elementos son ideales, el error total del sistema es cero. Si los elementos no son ideales, habrá errores debido a efectos como la no linealidad y las condiciones ambientales. 2) Se explican métodos para calcular el valor medio, la desviación estándar y la densidad de probabilidad del error total del sistema, en base a las características de cada elemento. 3) Se describen técnicas para reducir los errores como la compensación

1. PRECISION DE LOS SISTEMAS DE MEDICION EN EL ESTADO
ESTABLE
1. ERROR DE MEDICION DE UN SISTEMA DE ELEMENTOS IDEALES
En la figura No. 12, se observa n elementos en serie.
Supóngase que cada elemento es ideal, o sea, perfectamente lineal y no
sujeto a entradas ambientales. Suponiendo que la intercepción a = 0,
entonces la ecuación de entrada y salida para un elemento ideal con
intercepción cero es:
 
25



i
i
i I
K
O 
I = I1 O1=I2 O2=I3 O3 Ii Oi In On=O
Valor
medido
Valor verdadero
1
K1
2
K2
3 i n
Figura No. 12: Sistema de elementos ideales
K3 Ki Kn

2. para i = 1, 2, ..., n, donde Ki es la sensibilidad lineal o pendiente.
Se deduce que O2 = K2I2 = K2K1I , O3 = K3I3 =K3 K2K1I , y para todo el sistema:
 
26
3
2
1 



 I
K
K
K
K
K
O
O n
i
n 

Si el sistema de medición es completo, entonces el error del sistema es
E = O – I, lo que da como resultado
   
27
1
3
2
1 


 I
K
K
K
K
E n 

Por lo tanto, si
 
28
1
3
2
1 


 
n
K
K
K
K
se tiene E = 0 y el sistema es perfectamente exacto.
En general, el error de cualquier sistema de medición depende de las
características no ideales (por ejemplo, efectos de no linealidad, ambientales y
estadísticos) de cada elemento del sistema.

3. 2. FUNCION DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE ERROR DE UN SISTEMA DE
ELEMENTOS NO IDEALES
Las ecuaciones para calcular el valor medio, la desviación estándar y la
densidad de probabilidad para un solo elemento y también para un lote de
elementos similares, se aplican a cada elemento de un sistema de medición
de n elementos (ver figura No. 13) y se pueden emplear para calcular la
función densidad de probabilidad de error del sistema, tal como sigue:
I = I1 O1 = I2 O2 = I3 ...... Ii Oi ..... In On=O
1 2 i n
Figura No. 13: Sistema de medición de elementos no ideales
K1
K2 Ki Kn

4. Valores medios de las salidas de los elementos:
 
 
 
  n
n
n
n
i
i
i
i
I
I
n
M
M
n
n
n
n
n
I
I
i
M
M
i
i
i
i
i
i
I
I
M
M
I
I
M
M
I
K
I
I
K
a
I
N
I
K
O
O
I
K
I
I
K
a
I
N
I
K
O
I
I
K
I
I
K
a
I
N
I
K
O
I
I
K
I
I
K
a
I
N
I
K
O
I
I
I






























1
2
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1

5. Valor medio del error del sistema:
 
29



I
O
E 

Desviaciones estándar de las salidas de los elementos:


































































































































































































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
2
1
0
n
n
I
n
n
M
n
n
n
i
i
I
i
i
M
i
i
i
i
I
M
I
M
K
n
n
I
I
n
I
M
n
I
n
n
O
O
K
i
i
I
I
i
I
M
i
I
i
i
O
I
K
I
I
I
M
I
O
I
K
I
I
I
M
I
O
I
I
K
O
I
O
I
O
I
O
K
O
I
O
I
O
I
O
K
O
I
O
I
O
I
O
K
O
I
O
I
O
I
O


























6. Desviación estándar del error del sistema:
 
30



o
E 
 
Función densidad de probabilidad de error:
     
31
2
exp
2
1
2
2








 


E
E
E
E
E
p




7. En casos donde los efectos de no linealidad, histéresis y ambientales en los
elementos son pequeños, su efecto total se cuantifica utilizando bandas de
error.
I =I1
K1
1
O1=I2 O2 ... Ii
K2 Ki
Oi ... In
Kn
On=O
2 i n
Figura No. 14: Sistema descrito por bandas de error
La salida del elemento se describe mediante una función densidad de
probabilidad rectangular, de amplitud 2h, centrado con respecto al valor de la
línea recta ideal OIDEAL = KI + a.
Si n >3, entonces la distribución resultante p(E) se aproxima a una distribución
gaussiana; a mayor valor de n, mayor proximidad de la distribución a una
gaussiana. La desviación estándar de una distribución rectangular de amplitud
2h es h/3.

8. Analizando el sistema: para los valores medios de los elementos
I
K
K
K
K
O
I
K
O
n
i
i
i
i


2
1


Valor medio del error del sistema:  
32



I
O
E 

para las desviaciones estándar de los elementos:
3
3
3
3
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
3
1
2
1
n
I
n
O
O
i
I
i
O
I
I
O
I
O
I
I
h
K
h
K
h
K
h
n
n
i
i
i






























9. Desviación estándar del error del sistema:
 
33



O
E 
 
Densidad de probabilidad de error del sistema:
     
34
2
exp
2
1
2
2








 


E
E
E
E
E
p




10. 3. TÉCNICAS DE REDUCCIÓN DE ERRORES
• El error de un sistema de medición depende de las características
no ideales de cada elemento del sistema.
• Mediante las técnicas de calibración podemos identificar que
elementos son no lineales.
• Luego, pueden plantearse métodos de compensación para estos
tipos de elementos, como consecuencia reducir
significativamente el error total del sistema.
• Los métodos son los siguientes:
a) Elemento no lineal de compensación.- este método permite
corregir un elemento no lineal del sistema.

11. U(I) C(U)
I U C
Elemento no lineal
descompensado
Elemento no lineal de
compensación
Termistor Puente de deflexión
Temperatura
 (K)
Resistencia
R(k)
Voltaje
ETh(V)
Figura No. 15: Elemento no lineal descompensado
El método se ilustra en la figura No. 15 mediante el uso de un puente de
deflexión para compensar las características no lineales de un termistor.

15. b) El aislamiento.- es un método que permite reducir los efectos de entradas
ambientales, es decir, aislar el transductor de cambios ambientales, de
modo que sea efectivamente IM = II = 0.
c) La sensibilidad ambiental cero.- en este método el elemento es
completamente insensible a entradas ambientales; o sea, KM = KI = 0.
Ejemplos: Tenemos la colocación del empalme de referencia de un
termopar en un contenedor con control de temperatura, y el uso de
montajes de resorte para aislar un transductor de las vibraciones de la
estructura a la cual está fijo.
Ejemplo: el elemento debe poseer una aleación de metales con
coeficientes de expansión y resistencia a temperatura cero como es un
calibrador de deformación. Tal material ideal es difícil de encontrar y, en
la práctica, los cambios en la temperatura ambiental afectan ligeramente
la resistencia de un calibrador metálico de deformación.

16. d) Entradas ambientales opuestas.- es un método más eficiente para controlar
los efectos ambientales. Supóngase que un elemento sufre los efectos de una
entrada ambiental; entonces, se introduce deliberadamente al sistema un
segundo elemento, sometido a la misma entrada ambiental, de modo que los
dos efectos tienden a cancelarse. Este método se ilustra, en la figura No. 16.
KI K´I
II
+
+

+
K
U C = KI
Si KI = K´I
I
Elemento descompensado Elemento de
compensación
Figura No. 16: Compensación para entrada interferente
Ejemplo: es la compensación de variaciones en la temperatura T2 del
empalme de referencia de un termopar.

17. e) Método de la ecuación inversa.- Las características de estado estable de un
elemento también, pueden representarse mediante la ecuación inversa.
Aquí la entrada de señales I es la variable dependiente y la salida O y las
entradas ambientales II , IM son las variables independientes. La forma
general de esta ecuación es:
   
35
´
´
´ ´
´



I
I
M
M I
K
O
I
K
a
O
N
O
K
I 




donde los valores de K´, N´( ), a´, etc., son muy diferentes de los de la
ecuación directa. Aunque la ecuación directa es más útil para el cálculo de
errores, la ecuación inversa lo es para la reducción de errores.

18. PROBLEMA
1. Un sistema de medición de velocidad de fluidos consta de un tubo de Pitot, un
transmisor de presión diferencial, un convertidor de analógico a digital de 8 bits y una
microcomputadora con pantalla de despliegue. La tabla presenta las ecuaciones modelo
y los parámetros para cada elemento del sistema. La microcomputadora calcula el valor
medido de la velocidad, suponiendo una densidad constante. Calcule la media y la
desviación estándar de la función densidad de probabilidad de error, suponiendo que el
valor verdadero de la velocidad vT es 10,0 m s-1. Tratar a las distribuciones
rectangulares como gaussianas con  = h/ 3.

19. PROBLEMA
2. Un sistema de medición consta de un termopar hecho de una aleación de cromo,
níquel y aluminio (con compensación de empalme frío), un convertidor de
milivolt a corriente y un registrador. La tabla presenta las ecuaciones modelo y
los parámetros de cada elemento. Suponiendo que todas las distribuciones de
probabilidad son normales, calcule la media y la desviación estándar de la
distribución de probabilidad de error, cuando la temperatura de entrada sea de
117C.
Termopar de cromo, aluminio
y níquel
Convertidor de f.e.m. a corriente Registrador
Ecuación modelo
Valores medios
Desviaciones estándar
2
2
1
0 T
C
T
C
C
E 

 1
1 a
T
K
T
E
K
E
K
i a
I
a
M 




 2
2 a
i
K
TM 

6
2
2
1
0
10
66
.
4
10
017
.
4
00
.
0





x
C
x
C
C
3
4
1
1
10
00
.
2
10
95
.
1
864
.
3
10
893
.
3










x
K
x
K
a
T
K
I
M
a
0
.
25
25
.
6
2
2


a
K
0
10
93
.
6
2
1
0
2


 
C
C
C x



0
10
14
.
0
1
1




 
I
M
a
K
K
K
T
a





0
.
0
30
.
0
2
2


K
a



20. 2
2
1
T
v
p 


Solución problema 1:
CÁLCULO DEL VALOR MEDIO DEL ERROR DEL SISTEMA
 VALOR MEDIO EN LA SALIDA DEL TUBO DE PITOT
2
)
10
)(
2
.
1
(
2
1

p Pa
p 60


 VALOR MEDIO EN LA SALIDA DEL TRANSMISOR DE PRESIÓN DIFERENCIAL
1
1 a
p
K
i 

 4
)
60
)(
064
.
0
( 

i mA
i 84
.
7

 VALOR MEDIO EN LA SALIDA DEL CONVERTIDOR DE ANALÓGICO A DIGITAL
2
2 a
i
K
n 
 0
)
84
.
7
)(
80
.
12
( 

n 100

n
 VALOR MEDIO EN LA SALIDA DE LA MICROCOMPUTADORA CON MONITOR
51
3 
 n
K
vM 51
100
430
.
1 

M
v s
m
vM /
01
.
10

Entonces el valor medio del error del sistema es:
s
m
E /
01
.
0


21. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR DEL ERROR DEL SISTEMA
 DESVIACIÓN ESTANDAR EN LA SALIDA DEL TUBO DE PITOT
Pero :



 












p
p 





























3
2
1 2




h
vT
p
)
3
)(
(
2
1 2 

h
vT
p 
 )
3
1
.
0
(
)
10
(
2
1 2

p

2
2
2
2
T
T
p
v
P
p



  
























0

T


22. 2
2
1
2
2
2
2
1
1
1 a
P
K
i
a
i
p
i
K
i



 
































 
 DESVIACIÓN ESTANDAR EN LA SALIDA DEL TRANSMISOR DE PRESIÓN
DIFERENCIAL
Pero : 0
1

K

2
2
1
1
1
2
2
1
1
3
)
(
)
( 1


































 
a
p
i
h
a
a
p
K
p
a
p
K


 
2
2
2
2
1
3
1 1









 
a
p
i
h
K 


23. 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 a
i
K
n
a
n
i
n
K
n



 






























 DESVIACIÓN ESTANDAR EN LA SALIDA DEL CONVERTIDOR DE
ANALÓGICO A DIGITAL
Pero : 0
2

K

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
a
i
n
a
a
i
K
i
a
i
K


 





















   
2
2
2
2
2
3
1 2










a
i
n
h
K 


24. 2
2
2
2
3
3 n
M
K
M
v
n
v
K
v
M


 



















 DESVIACIÓN ESTANDAR EN LA SALIDA DE LA MICROCOMPUTADORA
CON MONITOR
Pero : 0
3

K
h
2
2
2
2
3 3
3
n
M
K
M
v
n
v
h
K
v
M

 



























DESVIACIÓN ESTANDAR DEL ERROR DEL SISTEMA
DENSIDAD DE PROBABILIDAD DEL ERROR DEL SISTEMA

25. Solución problema 2:
 VALOR MEDIO EN LA SALIDA DEL TERMOPAR
 VALOR MEDIO EN LA SALIDA DEL CONVERTIDOR DE fem a corriente
 VALOR MEDIO EN LA SALIDA DEL REGISTRADOR
Entonces el valor medio del error del sistema es:

26. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR DEL ERROR DEL SISTEMA
 DESVIACIÓN ESTANDAR EN LA SALIDA DEL TERMOPAR
Pero :

27.  DESVIACIÓN ESTANDAR EN LA SALIDA DEL CONVERTIDOR DE fem a corriente
Pero :

28.  DESVIACIÓN ESTANDAR EN LA SALIDA DEL REGISTRADOR
Pero :
DESVIACIÓN ESTANDAR DEL ERROR DEL SISTEMA
DENSIDAD DE PROBABILIDAD DEL ERROR DEL SISTEMA